16진수(보드 게임)

Hex (board game)
이 기사는 추상 전략 게임에 관한 것입니다.기타 용도는 16진수 게임(동음이의)을 참조하십시오.
16진수
Hex-board-11x11-(2).jpg
11×11 블루의 우수한 구성을 보여주는 16진수 게임 보드
액티브 년수1942년 ~ 현재
장르보드 게임
추상 전략 게임
커넥션 게임
플레이어2
셋업 시간없음.
재생 시간30분~2시간 (11×11 보드)
랜덤 찬스없음.
필요한 기술전략, 전술

헥스는 플레이어가 육각형 셀로 만들어진 마름모꼴 보드의 반대쪽을 연결하는 2인용 추상 전략 보드 게임이다.헥스는 1942년 수학자이자 시인인 피에트 하인(Piet Hein)에 의해 발명되었고 후에 존 포브스 내쉬 주니어에 의해 재발견되고 대중화 되었다.

13×13과 19×19 보드도 인기가 있지만, 전통적으로 11×11 마름모꼴 보드로 플레이됩니다.그 보드는 셀 또는 헥사곤이라고 불리는 육각형으로 구성되어 있다.각 플레이어는 보드의 반대쪽 한 쌍이 할당되어 있으며, 각 플레이어는 자신의 색깔의 돌을 빈 16진수 위에 번갈아 놓음으로써 연결하려고 시도해야 합니다.돌은 한 번 놓이면 절대 이동하거나 제거되지 않습니다.인접한 돌의 사슬을 통해 양 옆구리를 성공적으로 연결했을 때 플레이어가 승리합니다.Hex에서는 게임 보드의 토폴로지로 인해 추첨이 불가능합니다.

게임의 규칙은 단순하지만, 그 게임은 깊은 전략과 날카로운 전략을 가지고 있다.그것은 또한 심오한 수학적 토대를 가지고 있다.이 게임은 1942년 12월 26일 덴마크 신문 Politiken에 폴리곤이라는 이름으로 처음 게재되었다.이후 덴마크에서 '콘택틱스(Con-tac-tix)'라는 이름으로 보드게임으로 판매됐으며 파커 브라더스는 1952년 '헥스(Hex)'라는 버전을 출시했다.16진법은 또한 6각형 모양의 그래프 용지에 종이와 연필로 연주할 수 있다.

게임 종류

헥스는 유한한 2인용 퍼펙트 정보 게임으로 커넥션 [1]게임의 일반적인 카테고리에 속하는 추상 전략 게임이다.그것은 특정 유형의 포지션 게임인 메이커-브레이커 [1]: 122 게임으로 분류될 수 있다.이 [1]: 99 게임은 결코 무승부로 끝날 수 없기 때문에 헥스 또한 결연한 게임이다.

Hex는 섀넌 스위칭 게임의 [1]: 122 "노드" 버전의 특별한 경우입니다.헥스는 보드 게임이나 종이와 연필 게임으로 할 수 있습니다.

규칙.

Hex 보드의 검정과 흰색 비교

헥사곤은 일반적으로 11x11 크기의 마름모꼴의 육각형 그리드에서 재생되지만, 다른 사이즈도 가능하다.각 플레이어에는 할당된 색상이 있으며, 일반적으로 빨간색과 파란색 또는 검은색과 [2]흰색입니다.각 플레이어에게는 두 개의 마주보는 보드 모서리도 할당됩니다.4개의 모서리 각각에 있는 육각형은 양쪽 인접한 보드 가장자리에 속합니다.

선수들은 번갈아 가면서 보드 위의 하나의 셀에 그들 색깔의 돌을 놓습니다.가장 일반적인 관례는 레드 또는 블랙이 먼저라는 것입니다.한 번 배치한 돌은 이동, 교체 또는 보드에서 제거되지 않습니다.각 플레이어의 목표는 두 개의 보드 모서리를 연결하는 그들 자신의 돌로 연결된 경로를 형성하는 것입니다.이러한 연결을 완료한 플레이어가 게임에서 승리합니다.

첫 번째 플레이어의 이점을 보완하기 위해 일반적으로 스왑 규칙이 사용됩니다.이 규칙에 따라 두 번째 선수는 첫 번째 선수가 움직인 후 첫 번째 선수와 포지션 전환 여부를 선택할 수 있습니다.

두 선수 모두 경기에서 이길 것이 확실할 때 지는 선수는 사퇴하는 것이 관례이지만 필수는 아니다.실제로, 헥스의 대부분의 경기는 선수 중 한 명이 사임하는 것으로 끝난다.

역사

발명.

이 게임은 1942년 닐스 보어 연구소에서 소개한 수학자 피에트 하인(Piet Hein)에 의해 발명되었다.비록 하인(Hein)이 나중에 콘택틱스(Con-tac-tix)[3][4]로 이름을 바꾸었지만, 1942년 12월 26일자 덴마크 신문 폴리티켄(Politiken)에 실린 하인(Hein)의 기사로 인해 덴마크에서 폴리곤(Polygon)이라는 이름으로 알려지게 되었다.

내쉬의 주장

이 게임은 1948년 또는 1949년에 프린스턴 [2][5]대학의 수학자 존 내쉬에 의해 재발견되었다.1957년 7월 수학 게임 칼럼에서 헥스를 특집한 마틴 가드너에 따르면, 내쉬의 동료 선수들은 이 게임을 내쉬 또는 존이라고 불렀고, 후자의 이름은 육각형 화장실 [2]타일 위에서 게임을 할 수 있다는 사실을 언급하였다.내쉬는 하인으로부터 독립적으로 게임을 발견했다고 주장했지만 1940년대 프린스턴에서 헥스 역을 맡았던 아이지 보어 등 덴마크인이 있어 내쉬가 무의식적으로 아이디어를 얻었을 수도 있다는 점에서 의구심이 든다.1957년 하인 박사는 가드너에게 편지를 보내 내쉬가 독립적으로 헥스를 발견했다는 것에 의문을 표시했다.가드너는 내쉬의 [6]주장을 독립적으로 검증하거나 반박할 수 없었다.가드너는 개인적으로 하인에게 편지를 썼다: "편집자와 논의했고, 우리는 내쉬에게 의심을 주는 것을 자선적으로 하기로 결정했다...당신이 다른 누구보다 먼저 게임을 발명했다는 사실은 의심의 여지가 없다.많은 사람들이 나중에 와서 나중에 같은 생각을 했다고 말할 수 있지만, 이것은 거의 의미가 없고 아무도 신경 [1]: 134 쓰지 않습니다.가드너는 하인씨에게 보낸 편지 중 "당신과 나 사이에, 그리고 공식적으로, 당신이 덴마크 정보원으로부터 내쉬에게 온, 그리고 그가 나중에 잊어버린 '제안서'를 언급했을 때 정곡을 찌른 것 같다"고 덧붙였다.가장 그럴듯한 [1]: 136 설명이라고 말했다.

퍼블리시된 게임

게임의 Parker Brothers 에디션

1942년에 처음 Hain은 Polygon으로 불렸던 게임을 50장짜리 게임 패드의 형태로 배포했다.각 시트에는 연필이나 [1]펜으로 칠 수 있는 빈 11x11 판이 들어 있었다.1952년 파커 브라더스는 "헥스"라는 이름으로 이 게임의 버전을 출시했고 그 이름은 그대로 [2]유지되었다.파커 브라더스는 1968년 "[3]콘택틱스"라는 이름으로 버전을 판매하기도 했다.Hex는 또한 1974년 3M 페이퍼 게임 시리즈의 게임 중 하나로 발행되었다.5+1⁄2×8+1⁄2인치(140mm×220mm)의 헥스 그리드의 50매 시트 패드.Hex는 현재 Nestorgames에 의해 11x11 사이즈와 14x14 [7]사이즈로 발행되고 있습니다.

섀넌 헥스 머신

1950년경, Claude Shannon과 E. F. Moore는 아날로그 헥스 플레이 머신을 개발했는데, 이는 본질적으로 모서리에는 저항기, [8]정점에는 전구가 있는 저항 네트워크였다.네트워크 내의 특정 새들포인트에 대응하는 이동입니다.그 기계는 헥스 게임을 꽤 잘 했다.나중에, 게임을 풀고 헥스 플레이 컴퓨터 알고리즘을 개발하려는 연구원들은 섀넌의 네트워크를 모방하여 강력한 컴퓨터 [9]플레이어를 만들었다.

조사 일정

1942년 하인에게는 헥스가 무승부로 끝날 수 없다는 것이 알려졌고, 사실 그의 게임의 디자인 기준 중 하나는 "두 선수 중 한 명이 정확히 양 [1]: 29 측면을 연결할 수 있다"는 것이었다.

첫 번째 선수가 이론적인 승리 전략을 가지고 [1]: 42 있다는 것도 하인에게는 알려졌다.

1952년 존 내쉬는 대칭형 보드에서 첫 번째 선수가 승리 [1]: 97 전략을 가지고 있다는 존재 증거를 작성했다.

1964년 수학자 알프레드 리만은 헥스가 이진 매트로이드로 표현될 수 없다는 것을 보여 주었기 때문에 일반 직사각형 그리드에서의 섀넌 전환 게임과 같은 결정적인 승리 전략을 사용할 수 없었다.

1981년 Stefan Reish는 [10]헥스가 PSPACE-완전임을 보여주었다.

2002년, 7×7 보드에서의 최초의 명시적인 승리 전략(감축형 전략)이 설명되었습니다.

2000년대 들어서는 브루트 포스 서치 컴퓨터 알고리즘을 사용하여 9×9 사이즈(2016년 기준)까지의 헥스 보드가 완전히 해결되었습니다.

2019년까지 인간은 적어도 19x19와 같은 큰 보드에서는 컴퓨터보다 나은 상태를 유지했지만, 2019년 10월 30일, 프로그램 무투는 다양한 토너먼트의 우승자이기도 한 리틀골렘에서 최고의 엘로 랭킹으로 인간 플레이어를 물리쳤다(여기서 게임을 구할 수 있다).이 프로그램은 Polygames[11](Facebook 인공지능 리서치 및 여러 대학에서[12] 개발한 오픈 소스 프로젝트)를 기반으로 합니다.[13]

  • Alpha Zero와 같은 제로 러닝
  • 보드 크기 불변성 완전 컨볼루션 뉴럴 네트워크(U-Net과 같은) 및 풀링
  • 아키텍처(이 프로그램은 원래 AlphaGo와 같은 초기 인공지능 방법에 대한 일반적인[14] 주장과는 달리 작은 보드에서 학습한 후 큰 보드에서 추정할 수 있습니다.)

컴퓨터의 16진수

1980년대 초에 Dolphin Micrownare는 Atari 8비트 [15]컴퓨터용 구현인 Hexmaster를 발표했습니다.2000년 경부터 시작된 디지털 컴퓨터 헥스 플레이 프로그램을 만들기 위해 게임에 대한 연구를 통해 만들어진 다양한 패러다임이 사용되었습니다.첫 번째 구현에서는 손으로 만든 지식 기반 패턴을 사용하여 알파 베타 검색 프레임워크에 내장된 섀넌과 무어의 전기 회로 모델을 에뮬레이트하는 평가 함수를 사용했다.2006년경부터, Go의 성공적인 컴퓨터 구현으로부터 차용된 몬테카를로 트리 검색 방법이 도입되었고 곧 이 분야를 지배하였다.나중에 수작업으로 만든 패턴은 패턴 발견을 위한 기계 학습 방법으로 보완되었습니다.이 프로그램들은 이제 숙련된 인간 선수들과 경쟁할 수 있습니다.Elo에 근거한 평가는 다양한 프로그램에 할당되어 있으며, 기술 진척도를 측정하고 Elo 등급의 인간에 대한 플레이 강도를 평가하는 데 사용할 수 있습니다.현재의 연구는 ICGA 저널 또는 컴퓨터 게임의 연차 발전 시리즈(van den Herik 등)에 게재되는 경우가 많습니다.

전략.

(스왑 규칙이 없는) 첫 번째 플레이어가 이론적으로 승리 전략을 가지고 있는 것으로 알려져 있지만, 매우 작은 보드를 제외하고는 그 전략이 무엇인지 알 수 없다.그러나 Hex 플레이어에게는 유용한 전술 및 전략적 개념이 많이 있습니다.

가상 연결 및 템플릿

그림 1: 일부 내부 템플릿
그림 2: 일부 엣지 템플릿

한 가지 색깔의 돌 세트는 상대가 무엇을 하든 돌의 소유자가 그것들을 연결할 수 있다면 사실상 연결되어 있다고 한다.가상 접속의 가장 간단한 예는 그림 1에 나타낸 브릿지입니다.브릿지의 두 레드 스톤은 인접해 있지 않지만, 레드 스톤은 브릿지의 빈 셀 중 하나에서 블루가 플레이하면 레드 스톤은 다른 셀에서 플레이할 수 있습니다.가상 접속에는 2개의 빨간색 돌뿐만 아니라 브릿지의 빈 셀도 필요합니다.가상 접속의 일부인 셀(빈 셀 또는 다른 셀)을 가상 접속의 캐리어라고 부릅니다.

템플릿은 돌과 빈 셀의 패턴으로 가상으로 연결되어 있으며 최소입니다(즉, 돌이나 빈 셀을 캐리어에서 제거하면 가상 연결이 끊어집니다).템플릿은 내부 템플릿(두 개 이상의 스톤 간 연결 보장)과 가장자리 템플릿(하나 이상의 스톤과 같은 색상의 보드 모서리 간 연결 보장)으로 특징지을 수 있습니다.내부 템플릿과 가장자리 템플릿의 예를 그림 1과 그림 2에 [16]각각 나타냅니다.

수학 이론

결정성

헥스가 무승부로 끝날 수 없다는 것을 증명하는 것은 어렵지 않다. 즉, 보드가 아무리 돌로 채워져 있어도, 그들의 가장자리를 연결한 선수는 항상 한 명뿐일 것이다.이 사실은 1942년 피에트 하인(Piet Hein)에게 알려졌는데, 그는 원래 Politiken [1]: 29 기사에서 헥스에 대한 그의 설계 기준 중 하나로 언급했다.하인 역시 이 사실을 "상대의 장벽은 당신을 [1]: 35 위한 연결"이라고 말했다.존 내쉬는 [17]1949년경에 이 사실에 대한 증거를 썼지만, 분명히 그 증거를 발표하지 않았다.1952년 [18]사내 기술보고서에 첫 번째 설명이 등장했는데, 내쉬는 "상대방을 연결하는 것과 차단하는 것은 동등한 행위"라고 말했다.더 엄격한 증거가 존 R에 의해 출판되었다. 그의 1961년 책인 "기호, 신호, 소음"[19]에 구멍을 뚫어라.1979년 데이비드 게일은 또한 그것이 2차원 브루어 고정점 정리를 증명하는데 사용될 수 있다는 것과 고차원 변형의 결정성이 일반적으로 [20]고정점 정리를 증명한다는 것을 보여주는 증거를 발표했다.

16진수 비그림 속성의 증명은 다음과 같이 스케치할 수 있습니다.빨간색 가장자리 중 하나의 연결된 구성 요소를 고려하십시오.이 구성 요소에는 반대쪽 빨간색 모서리가 포함되어 있습니다. 이 경우 빨간색이 연결되거나 연결되지 않은 경우 연결된 구성 요소의 경계를 따라 파란색 돌이 파란색의 당첨 경로를 형성합니다.연결된 구성요소의 개념은 잘 정의되어 있습니다. 육각형 그리드에서는 두 셀이 모서리에서만 만날 수 있거나 전혀 만날 수 없기 때문입니다. 셀이 단일 점에서 겹칠 수는 없습니다.

1인자 승리 전략

nxn 크기의 보드에 스왑 규칙이 없는 16진수에서는 첫 번째 플레이어가 이론적으로 승리하는 전략을 가지고 있습니다.이 사실은 1943년 그가 강연한 그의 노트에서 언급되었다: "대부분의 다른 게임들과 달리, 이론상 첫 번째 선수가 항상 이길 수 있다는 것을 증명할 수 있다. 즉,[1]: 42 그녀가 가능한 모든 플레이의 끝을 볼 수 있다면 말이다.

이 사실에 대해 알려진 모든 증거는 비건설적입니다. 즉, 그 증거는 실제 승리 전략이 무엇인지에 대한 어떠한 지시도 제공하지 않습니다.다음은 John Nash c.[2] 1949에 기인한 증거의 요약본이다.이 증명은 Hex를 포함한 많은 게임에서 유효하며, 전략 도용 논쟁으로 불리게 되었다.

  1. 경기가 무승부로 끝나는 것은 불가능하기 때문에(위 참조), 첫 번째 또는 두 번째 선수가 승리해야 한다.
  2. 헥스는 완벽한 정보게임인 만큼 1인자든 2인자든 승리전략이 있어야 한다.
  3. 두 번째 선수가 승리 전략을 가지고 있다고 가정해 봅시다.
  4. 이제 첫 번째 플레이어는 다음과 같은 전략을 채택할 수 있습니다.그들은 제멋대로 움직인다.그 후 위에서 가정한 2인자 전략을 펼칩니다.이 전략을 실행할 때 임의의 이동이 이루어진 셀에서 플레이해야 하는 경우, 다른 임의의 동작을 수행합니다.이런 식으로 그들은 항상 보드 위에 한 조각의 추가 정보를 가지고 승리 전략을 펼칩니다.
  5. 이 추가 피스는 첫 번째 선수의 승리 전략 모방을 방해할 수 없습니다. 추가 피스는 항상 자산일[clarification needed] 뿐 결코 핸디캡이 되지 않기 때문입니다.그러므로 첫 번째 선수가 이길 수 있다.
  6. 두 번째 플레이어의 승리 전략이 있다는 가정과 모순되기 때문에 두 번째 플레이어의 승리 전략은 없다고 결론짓습니다.
  7. 따라서 첫 번째 선수의 승리 전략이 있어야 한다.

계산의 복잡성

1976년 Simon Even과 Robert Tarjan은 임의의 그래프에서 일반화된 헥스의 게임에서 위치가 승리 위치인지 여부를 결정하는 것은 [21]PSPACE-complete라는 것을 증명했다.이 결과의 강화는 결합 정규 형태의 정량화된 부울 공식 문제를 [22]Hex로 감소시킴으로써 Reisch에 의해 증명되었다.계산 복잡도 이론에서 PSPACE-완전 문제는 효율적인 (다항 시간) 알고리즘으로는 해결할 수 없다고 널리 추측된다.이 결과, 무한 크기의 보드에서 임의의 위치를 고려할 때 가능한 최선의 알고리즘의 효율은 제한되지만, 초기 위치(무제한 크기의 보드)에 대한 단순한 승리 전략 또는 특정 크기의 보드 상의 모든 위치에 대한 단순한 승리 전략 가능성을 배제하지는 않습니다.

게임 트리 11 x 11 헥스

11×11 16진수에서는 약 2.4×10의56 법적 [23]위치가 있습니다. 이는 [24]체스의 4.6×10의46 법적 위치와 비교됩니다.

소형 보드를 위한 계산된 전략

2002년, 징양, 사이먼 랴오, 미렉 폴락은 재사용 가능한 로컬 [25]패턴 세트를 가진 분해 방법을 사용하여 7×7 크기의 헥스 보드에서 첫 번째 선수를 위한 명시적인 승리 전략을 발견했습니다.이들은 2002년 8×8 보드의 중앙 쌍과 2003년 [26]9×9 보드의 중앙 개도를 약하게 해결하도록 방법을 확장했다.2009년에는 Philip Henderson, Broderick Arneson, Ryan B.Hayward는 컴퓨터 검색으로 8×8 보드의 분석을 완료하여 가능한 모든 [27]빈자리를 해결했습니다.2013년에는 Jakub Pawlewicz와 Ryan B.Hayward는 9×9 보드의 모든 개구부를 해결했으며, 10×[28]10 보드의 1개(가장 중앙)의 개구부를 해결했습니다.N1010마다 N×N Hex에서의 입상 제1이 가장 중심이며, 이는 N11마다 해당된다는 추측을 나타낸다.

변종

목적은 비슷하지만 구조가 다른 커넥션 게임으로는 섀넌 스위칭 게임과 트윅스T가 있다.이 두 가지 모두 고대 아시아의 바둑과 어느 정도 유사하다.

직사각형 격자, 종이와 연필

체스, 체커, 바둑판 같은 직사각형 격자 위에서 공간( 바둑의 경우 교차점)이 대각선 방향으로 연결되지만 다른 방향은 연결되지 않는다는 점을 고려하여 게임을 진행할 수 있다.이 게임은 두 개의 다른 색연필을 사용하여 직사각형으로 배열된 점이나 그래프 용지에 종이와 연필로 플레이할 수 있습니다.

보드 크기

표준 11x11 이외의 일반적인 치수는 13×13과 19×19로, 바둑의 오래된 게임과의 관계에서 기인한다.'뷰티풀 마인드(A Beautiful Mind)'라는 책에 따르면, 존 내쉬(John Nash)는 14×14를 최적의 크기로 내세웠다.

렉스(역 16진수)

헥스의 미셀 변형입니다.각 플레이어는 상대에게 체인을 만들도록 강요합니다.크기가 동일한 빈 보드에서는 지는 플레이가 보드 전체가 가득 [29]찰 때까지 손실을 지연시킬 수 있기 때문에 렉스는 헥스보다 느립니다.치수가 다른 보드에서는 누가 먼저 [30]하든지 간에 양 옆이 더 멀리 떨어져 있는 플레이어가 승리할 수 있습니다.동일 치수의 보드에서는, 1명의 플레이어는 1개의 면당 짝수 셀의 보드에서, 2명의 플레이어는 홀수 [31][32]셀의 보드에서 승리할 수 있다.짝수가 있는 보드에서는 첫 번째 선수의 승리 동작 중 하나는 항상 날카로운 [29]모서리에 돌을 놓는 것이다.

블록버스터

헥스는 텔레비전 게임 쇼 블록버스터즈에서 질문 게시판으로 활약했다."동작"을 하기 위해, 참가자들은 질문에 정확하게 대답해야 했다.이 보드에는 4개의 육각형으로 이루어진 5개의 컬럼이 번갈아 있었다.솔로 플레이어는 위에서 아래로 4개의 동작으로 연결할 수 있었고, 2개의 팀은 왼쪽에서 오른쪽으로 5개의 동작으로 연결할 수 있었다.

Y

주요 기사 : Y (게임)

Y의 게임은 헥사곤의 삼각형 격자 위에서 플레이하는 것으로, 어느 한쪽의 플레이어가 삼각형의 세 변을 모두 연결하는 것입니다.Y는 Hex 보드의 모든 위치가 더 큰 Y 보드의 동등한 위치로 표시될 수 있을 정도로 Hex의 일반화입니다.

하반나

주요 기사:하반나

Havannah는 [33]Hex를 기반으로 한 게임입니다.헥사곤의 육각형 격자 위에서 플레이하고 세 가지 패턴 중 하나를 형성하여 승리를 거둔다는 점에서 헥사스와 다르다.

프로젝스

Projex는 실제 투영 평면에서 플레이되는 Hex의 변형으로, 플레이어들은 계약 불가능한 [34]루프를 만드는 것을 목표로 하고 있습니다.헥스처럼 동점자도 없고 두 선수 모두 승부가 나지 않는 포지션도 없다.

경쟁.

2016년 현재 브라질, 체코, 덴마크, 프랑스, 독일, 이탈리아, 네덜란드, 노르웨이, 폴란드, 포르투갈, 스페인, 영국, 미국에서 보고된 토너먼트가 있다.가장 큰 헥스 대회 중 하나는 2013년부터 매년 열리는 프랑스 파리에서 열리는 국제수학게임위원회에 의해 조직되었다.헥스 또한 컴퓨터 올림피아드의 일부입니다.

「 」를 참조해 주세요.

레퍼런스

  1. ^ a b c d e f g h i j k l m Hayward, Ryan B.; Toft, Bjarne (2019). Hex, Inside and Out: The Full Story. CRC Press.
  2. ^ a b c d e Gardner, M. (1959). The Scientific American Book of Mathematical Puzzles & Diversions. N.Y., N.Y.: Simon and Schuster. pp. 73–83. ISBN 0-226-28254-6.
  3. ^ a b Con-tac-tix manual (PDF). Parker Brothers. 1968.
  4. ^ Hayward, Ryan B.; Toft, Bjarne (2019). Hex, inside and out : the full story. Boca Raton, Florida: CRC Press. p. 156. ISBN 978-0367144258.
  5. ^ Nasar, Sylvia (13 November 1994). "The Lost Years of a Nobel Laureate". The New York Times. Retrieved 23 August 2017.
  6. ^ Hayward, Ryan B.; Toft, Bjarne (2019). Hex, inside and out : the full story. Boca Raton, Florida: CRC Press. pp. 127–138. ISBN 978-0367144258.
  7. ^ "nestorgames - fun to take away". www.nestorgames.com. Retrieved 3 September 2020.
  8. ^ Shannon, C. (1953). "Computers and Automata". Proceedings of the Institute of Radio Engineers. 41 (10): 1234–41. doi:10.1109/jrproc.1953.274273. S2CID 51666906.
  9. ^ 안슐레비치, V. (2002)컴퓨터의 16진수에 대한 계층적 접근법.
  10. ^ Reisch, Stefan (1981). "Hex ist PSPACE-vollständig". Acta Informatica. 15: 167–191. doi:10.1007/BF00288964.
  11. ^ facebookincubator/Polygames, Facebook Incubator, 28 May 2020, retrieved 29 May 2020
  12. ^ "Open-sourcing Polygames, a new framework for training AI bots through self-play". ai.facebook.com. Retrieved 29 May 2020.
  13. ^ Cazenave, Tristan; Chen, Yen-Chi; Chen, Guan-Wei; Chen, Shi-Yu; Chiu, Xian-Dong; Dehos, Julien; Elsa, Maria; Gong, Qucheng; Hu, Hengyuan; Khalidov, Vasil; Li, Cheng-Ling (27 January 2020). "Polygames: Improved Zero Learning". arXiv:2001.09832 [cs.LG].
  14. ^ Marcus, Gary (17 January 2018). "Innateness, AlphaZero, and Artificial Intelligence". arXiv:1801.05667 [cs.AI].
  15. ^ Kucherawy, Murray (January 1984). "Hexmaster". Antic. p. 112. Retrieved 18 January 2019.
  16. ^ M. Seymour, Hex: A Strategy Guide, 온라인 책, http://www.mseymour.ca/hex_book/
  17. ^ Hayward, Ryan B.; Rijswijck, van, Jack (6 October 2006). "Hex and combinatorics". Discrete Mathematics. 306 (19–20): 2515–2528. doi:10.1016/j.disc.2006.01.029.
  18. ^ 내쉬, 존(1952년 2월).랜드사의 기술 보고서 D-1164: 게임과 게임을 위한 기계.https://www.rand.org/content/dam/rand/pubs/documents/2015/D1164.pdf
  19. ^ Hayward, Ryan B.; Toft, Bjarne (2019). Hex, inside and out : the full story. Boca Raton, Florida: CRC Press. p. 99. ISBN 978-0367144258.
  20. ^ David Gale (1979). "The Game of Hex and Brouwer Fixed-Point Theorem". The American Mathematical Monthly. Mathematical Association of America. 86 (10): 818–827. doi:10.2307/2320146. JSTOR 2320146.
  21. ^ Even, S.; Tarjan, R. E. (1976). "A Combinatorial Problem Which is Complete in Polynomial Space". Journal of the ACM. 23 (4): 710–719. doi:10.1145/321978.321989. S2CID 8845949.
  22. ^ Stefan Reisch (1981). "Hex ist PSPACE-vollständig (Hex is PSPACE-complete)". Acta Informatica. 15 (2): 167–191. doi:10.1007/bf00288964. S2CID 9125259.
  23. ^ Browne, C (2000). Hex Strategy. Natick, MA: A.K. Peters, Ltd. pp. 5–6. ISBN 1-56881-117-9.
  24. ^ Tromp, J. "Number of chess diagrams and positions". John's Chess Playground. Archived from the original on 29 June 2011.{{cite web}}: CS1 maint: bot: 원래 URL 상태를 알 수 없습니다(링크).
  25. ^ Wayback Machine에서 Hex게임에서 승리전략을 찾는 분해방법 2012년 4월 2일, Jing Yang, Simon Liao 및 Mirek Pawlak, 2002
  26. ^ 미발표 백서, formerly@www.ee.umanitoba.com/~진양/
  27. ^ 8x8 Hex, P. Henderson, B를 해결합니다.아르네손, 그리고 R.헤이워드, 형사님IJCAI-09 505-510 (2009)
  28. ^ Pawlewicz, Jakub; Hayward, Ryan (2013). "Scalable Parallel DFPN Search" (PDF). Proc. Computers and Games. Retrieved 21 May 2014.
  29. ^ a b Hayward, Ryan B.; Toft, Bjarne (2019). Hex, inside and out : the full story. Boca Raton, Florida: CRC Press. p. 175. ISBN 978-0367144258.
  30. ^ Hayward, Ryan B.; Toft, Bjarne (2019). Hex, inside and out : the full story. Boca Raton, Florida: CRC Press. p. 154. ISBN 978-0367144258.
  31. ^ 가드너(1959) 페이지 78
  32. ^ 브라운 (2000) 페이지 310
  33. ^ Freeling, Christian. "How I invented games and why not". MindSports. Retrieved 19 October 2020.
  34. ^ "Projex". BoardGameGeek. Retrieved 28 February 2018.

추가 정보

  • 16진수 전략: 올바른 연결 만들기, Browne C.(2000), A.K. Peters Ltd.네이틱, 매주. ISBN 1-56881-117-9(트레이드 페이퍼백, 363pgs)
  • HEX: The Full Story, Hayward R. with Toft B. (2019), CRC Press Boca Raton, FL. ISBN 978-0-367-14422-7 (페이퍼백)

외부 링크