로클린의 정리

수학의 한 분야인 4차원 위상에서, Rokhlin의 정리는 매끄럽고 닫힌 4-manifold M이 회전 구조(또는 동등하게, 제2의 Stiefel–)를 가지고 있다면, Rokhlin의 정리를 말한다.휘트니 클래스 $w{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$( ${\displaystyle M}$) ${\displaystyle w_{2}(M)})$가 소멸된$$ 후, 두 번째 코호몰로지 그룹 H ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$( M${\displaystyle }$) ${\displaystyle H^{2}(M$의 2차 형태인 교차 형식의 서명은 16으로 나눌 수 있다.이 정리는 1952년에 그것을 증명했던 블라디미르 로클린의 이름을 따서 명명되었다.

예

• M의 교차로 양식

${\displaystyle Q_{M}\colon H^{2}(M,\mathb {Z})\time H^{2}(M,\mathb {Z})\오른쪽 화살표 \mathb {Z}}}}$

Poincaré 이중성에 의한$$ $Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ {$Z}$에 단수형이며, ${\displaystyle {w\mathrm{}}_{}}$ 2${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle }$M ) ${\displaystyle w_{2}(M)}$의 소멸은 교차로 형태가 짝수임을 의미한다$$.카히트 아르프의 정리에 의해 어떤 단변형 격자라도 8로 나누어질 수 있는 시그니처를 가지고 있기 때문에, 로클린의 정리는 그 시그니처를 2의 1의 추가 인자를 억지로 나누게 된다.

• K3 표면은 콤팩트하고 ${\displaystyle \mathrm{4차원}}$이며 $w{\displaystyle {}_{}}$ 2${\displaystyle {}_{}}$( M${\displaystyle }$) ${\displaystyle w_{2}(M)}$이 사라지며$$, 서명은 -16이므로 16은 Rokhlin의 정리상 가장 좋은 숫자다.
• $C{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathbb{P}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$ 도 $d{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $d$$}$의 복잡한 표면은 $d{\displaystyle }$ ${\displaystyd}$이(가) 짝수인$$ 경우에만 회전한다$$.프리드리히 히르제브루치의 ${\displaystyle 시그니처\mathrm{}}$ 정리$({\displaystyle 4}$- ${\displaystyle {}^{}}$ 2)${\displaystyle {}^{}d}$/ 3 ${\dapplaystyle$ ($4-d^{2}d/3})$를 가지고 있다$.$사례 $d{\displaystyle }$= ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle d=4}$는 K3 표면의 마지막 예를 보여준다$$.
• Michael Freedman의 E8 다지관은 ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ (${\displaystyle {}_{}M}$) ${\displaystyle w_{2}(M)}$ $및{\displaystyle {}_{}}$ 시그니처$$ 8의$$ 교차 ${\displaystyle {형태\mathrm{}}_{}}$ E 8$${\$displaystyle E_{$8}}이(가) 있는 단순하게 연결된 소형 위상학적 다지관이다.Rokhlin의 정리는 이 다지관의 구조가 매끄럽지 않다는 것을 암시한다.이 다지관은 Rokhlin의 정리가 단지 위상학적 다지관의 집합에 실패한다는 것을 보여준다.
• 다지관 M이 단순히 연결되어 있는 경우(또는 더 일반적으로 첫 번째 호몰로지 그룹에 ${\displaystyle {2-토션}_{}}$이 없는 경우), w 2${\displaystyle {}_{}}$( M${\displaystyle }$) ${\displaystyle w_{2}(M)}$의 소멸은 교차로 형태가$$ 짝수인 것과 동일하다.이것은 일반적으로 사실이 아니다: Enriques 표면은 콤팩트한 평활 4 다지관이고 심지어 기호 -8의 교차 형태_1,9 II를 가지고 있지만 (16으로 구분되지 않음) w $2{\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle M}$) ${\디스플레이$ 스타일 $w_{2}(M)}$ 등급은 사라지지 않고$$ 제2의 동족학 그룹에서 비틀림 요소로 표현된다.

교정쇄

Rokhlin의 정리는 3 ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$의 세 번째 안정적인 호모토피 그룹 $\pi {\displaystyle {}_{}^{}}$ 3 S {\displaysty \pi _{3}^{S}}}가$$ 순서 24의 순환이라는 사실에서 추론할 수 있는데, 이것이 Rokhlin의 원래 접근법이다.

아티야-싱어 지수 정리에서도 추론할 수 있다.genus속과 로클린의 정리를 보라.

로비온 커비(1989)는 기하학적 증거를 제시한다.

로클린 불변제

Rokhlin의 정리에서는 스핀 매끄러운 다지관의 서명은 16으로 나눌 수 있다고 되어 있으므로 Rokhlin 불변성의 정의는 다음과 같이 추론한다.

For 3-manifold ${\displaystyle N}$ and a spin structure ${\displaystyle s}$ on ${\displaystyle N}$, the Rokhlin invariant ${\displaystyle \mu (N,s)}$ in ${\displaystyle \mathbb {Z} /16\mathbb {Z} }$ is defined to be the signature of any smooth compact spin 4-manifold with spin boundary${\displaystyle (N}$, ${\displaystyle s}$) ${\displaystyle$ ($N,s)}$.

N이 스핀 3-매니폴드인 경우 스핀 4-매니폴드 M을 경계한다.M의 서명은 8로 나눌 수 있으며, Rokhlin의 정리를 쉽게 적용하면 그 값모드 16은 M의 선택이 아닌 N에만 의존한다는 것을 알 수 있다.Homology 3-spheres have a unique spin structure so we can define the Rokhlin invariant of a homology 3-sphere to be the element ${\displaystyle \operatorname {sign} (M)/8}$ of ${\displaystyle \mathbb {Z} /2Z}$, where M any spin 4-manifold bounding the homology sphere.

예를 들어, Poincaré homology 구체는 교차로 ${\displaystyle {형태\mathrm{}}_{}}$ $E{\displaystyle {}_{}}$8 {\$displaystyle$ E_${8}$를 가진 스핀 4-매니폴드의 경계를 이루므로 Rokhlin 불변량은 1이다$.$이 결과는 몇 가지 기본적인 결과를 가지고 있다: 푸앵카레 호몰로지 영역은 $S{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {4\mathrm{}}^{}}$ ${\$에 매끄럽게 내장되어 있지 않으며$,$ Mazur 다지관을 묶지도 않는다.

More generally, if N is a spin 3-manifold (for example, any ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ homology sphere), then the signature of any spin 4-manifold M with boundary N is well defined mod 16, and is called the Rokhlin invariant of N. On a topological 3-manifold N, the generalized Rokhlin invariant refers to the function은 N의 스핀 구조이고, s는 N의 스핀 구조인 경우$$ 쌍${\displaystyle (N}$ , ${\displaystyle s}$) ${\displaystyle(N,s)}$의 Rokhlin 불변성에 대해 평가한다.

M의 Rokhlin 불변량은 Casson 불변량 모드 2의 절반과 같다.카손 불변제는 통합 호몰로지 3-sphere의 Rokhlin 불변성의 Z 값 상승으로 간주된다.

일반화

케르베어-밀너 정리(Kervaire & Milnor 1960) harv error: no target: CATEREFKervaire Milnor1960(도움말)은 $\sigma {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Sigma}}$이(가) 부드러운 콤팩트 4-매니폴드 M에 있는 특성 구체라고 기술하고 있다.

${\displaystyle \mathrm{시그너처}}$ ${\displaystyle (}$M${\displaystyle }$) ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle \mathrm{\sigma }}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle \mathrm{mod}}$ ${\displaystyle mod}$ ${\displaystyle 1\mathrm{}}$ ${\displaystyle 6\mathrm{}}$ ${\displaystyle \operatorname {signature}(M)=\Sigma \cdot \Sigma {\bmod{1$

특징적인 영역은 내재된 2-sphere로, 호몰로지 클래스는 스티펠-을 나타낸다.휘트니 ${\displaystyle \mathrm{클래스}}$ $w{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$( M${\displaystyle }$) ${\displaystyle w_$${$$2}(M)}$. $w{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 2}$( M ) {\$displaystyle$ w_${2}(M)}$이 소멸되면 우리는 $\sigma {\displaystyle \mathrm{}}${\$displaystyle \Sigma}$을 작은 구체로$$ 가져갈 수 있는데, 이 구형은 자기교차로 번호가 0이므로 Rokhlin의 정리를 따른다.

프리드먼-키르비 정리(Freedman & Kirby 1978) harv error: no target: CITREFreedmanKirby1978 (도움말)은 $states{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Sigma}}$이(가) 매끄러운 콤팩트 4-매니폴드 M의 특성 표면이라고$$ 기술하고 있다.

${\displaystyle \mathrm{시그너처}(}$M )${\displaystyle }$= ${\displaystyle \mathrm{\sigma }}$ ${\displaystyle \cdot }$+ + 8 ${\displaystyle \mathrm{Arf}}$m ${\displaystyle (M}$ ,${\displaystyle \mathrm{\sigma }}$ ) ${\displaystyle mod\mathrm{}}$ 1 6$${\$displaystyle \operatorname$ {$signature}(M)=\Sigma \cdot \Sigma$+8\$operatorname$ {$Arf}{\bmod{1}:{1$

where ${\displaystyle \operatorname {Arf} (M,\Sigma )}$ is the Arf invariant of a certain quadratic form on ${\displaystyle H_{1}(\Sigma ,\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}$.이 아르프 불변제는 $\sigma {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Sigma}}$이 구면$$ 분명히 0이므로 케르베레르-밀노르 정리는 특수한 경우다.

Freedman-Kirby 정리를 위상학적(매끄러운 것이 아니라) 다지관으로 일반화하면 다음과 같이 기술된다.

${\displaystyle \operatorname {signature} (M)=\Sigma \cdot \Sigma +8\operatorname {Arf} (M,\Sigma )+8\operatorname {ks} (M){\bmod {1}}6}$,

여기서 ${\displaystyle \mathrm{ks}}$ ${\displaystyle }$( ${\displaystyle M}$) ${\displaystyle \operatorname {ks}(M)}$은 M의 Kirby-Siebenmann 불변성분이다.M이 부드럽다면 M의 Kirby-Siebenmann 불변성은 0이다.

아르망 보렐과 프리드리히 히르제브루치는 다음과 같은 정리를 증명했다.X가 4로 나눌 수 있는 치수의 부드러운 콤팩트 스핀 다지관이라면, X의 치수가 4모드 8인 경우에도 X 속은 정수다.이는 아티야-싱어 지수 정리에서 추론할 수 있다.Michael Atiyah와 Isadore Singer는 Atiyah-Singer 연산자의 지수라는 것을 보여주었는데, 이것은 항상 통합되어 있으며, 치수 4 mod 8에도 있다.4차원 다지관의 경우, 히르제브루치 시그니처 정리는 서명이 â종의 -8배임을 나타내므로 차원 4에서는 이것은 로클린의 정리를 암시한다.

Ochanine(1980) harvtxt error: no target: CATEREFOchanine1980(도움말)은 X가 치수 4 modd 8의 콤팩트 지향 매끄러운 스핀 다지관일 경우 그 서명은 16으로 분할된다는 것을 증명했다.

참조

• 프리드먼, 마이클; 커비, 로비온, "로클린의 정리를 보여주는 기하학적 증거"에서: 대수학과 기하학적 위상 (Proc)심포즈.Pure Math, Stanford Univ, Stanford, Califor, 1976), Part 2, 페이지 85–97, Proc.심포즈.순수 수학, XXXII, 아머.수학, 과학, 프로비던스, R.I., 1978.MR 0520525ISBN0-8218-1432-X
• Kirby, Robion (1989), The topology of 4-manifolds, Lecture Notes in Mathematics, vol. 1374, Springer-Verlag, doi:10.1007/BFb0089031, ISBN 0-387-51148-2, MR 1001966
• 케르베어, 미셸 A.; 밀너, 존 W. "베르누엘리 숫자, 호모토피 그룹, 그리고 로울린의 정리" , 1960 Proc.인터내타트.1958 페이지 454–458, 뉴욕 캠브리지 대학 출판부.MR0121801
• 케르베어, 미셸 A; 밀너, 존 W, 온은 4마니폴드로 2회전한다.프로크. 나틀Acad. U.S.A. 47 (1961), 1651-1657.MR0133134
• Matsumoto, Yoichirou (1986). "An elementary proof of Rochlin's signature theorem and its extension by Guillou and Marin" (PDF). {{cite journal}}: Cite 저널 요구 (도움말); 외부 링크 (도움말)
• Michelsohn, Marie-Louise; Lawson, H. Blaine (1989), Spin geometry, Princeton, N.J: Princeton University Press, ISBN 0-691-08542-0, MR 1031992 (특히 280페이지)
• 오차닌, 세르게이, "시그니처 모듈로 16, 불변가 데 케르베레 게넬리스테스 등 명사 카락테리스티크 단스 라 K-테오르 레엘", Mem. Soc.수학. 프랑스 1980/81번, 5, 142 pp.MR1809832
• Rokhlin, Vladimir A, New는 4차원 다지관 이론인 Doklady Acad의 결과를 낳는다.Nauk. SSSR (N.S.) 84 (1952) 221–224.MR0052101
• Scorpan, Alexandru (2005), The wild world of 4-manifolds, American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-3749-8, MR 2136212.
• Szűcs, András (2003), "Two Theorems of Rokhlin", Journal of Mathematical Sciences, 113 (6): 888–892, doi:10.1023/A:1021208007146, MR 1809832