테이트 모듈

수학에서, 존 테이트의 이름을 딴 아벨 그룹 테이트 모듈은 아벨 그룹 A로 만들어진 모듈이다.흔히, 이 구성은 다음과 같은 상황에서 이루어진다. G는 필드 K에 대한 상호 교환적인 집단 체계, K는^s K의 분리 가능한 닫힘, A = G(K^ss) (G의 K 값 포인트)이다.이 경우 A의 테이트 모듈에는 K의 절대 갈루아 그룹의 작용이 탑재되어 G의 테이트 모듈이라고 한다.

정의

아벨 그룹 A와 프라임 번호 p를 부여하면 A의 p-adic Tate 모듈은

${\displaystyle T_{p}(A)={\underset {\long 왼쪽 화살표 {}{\lim }}A[p^{n}]}}$

여기서 A[pⁿ]는 A의 p 비틀림(즉ⁿ, 곱셈-by-p 맵의ⁿ 커널)이며, 역한계는 곱셈-by-p 맵 A[pⁿ⁺¹] → A[pⁿ]에 의해 주어진 전이 형태와 함께 양의 정수 n을 초과한다.따라서 테이트 모듈은 A의 모든 p-파워 비틀림을 인코딩한다.을 통해 Z모듈의_p 구조를 갖추고 있다.

${\displaystyle z(a_{n})_{n}=(z{\text{mod }}}}p^{n}a_{n}}}}$

예

테이트 모듈

아벨 그룹 A가 K의 분리 가능한 폐쇄 K에^s 있어서의 통합의 뿌리의 그룹일 때, A의 p-adic Tate 모듈을 테이트 모듈(p와 K의 선택이 암묵적으로 이해되는 곳)이라고 부르기도 한다.K의 절대 갈루아 그룹 G의_K 선형 작용으로 Z보다_p 자유 순위 1 모듈이다.따라서 K의 p-adic cyclotomic 문자라고도 하는 갈루아 표현이다.K에 대한 승법군 계략_m,K G의 테이트 모듈로도 생각할 수 있다.

아벨 종족의 테이트 모듈

필드 K에 대한 아벨의 다양성 G를 주어, G의^s K 값 점수는 아벨의 집단이다.G의 p-adic Tate 모듈 T_p(G)는 갈루아(K의 절대 갈루아 그룹 G_K)의 표현이다.

아벨리아 품종에 대한 고전적인 결과를 보면 K가 소수 p p ℓ인 특성 0 또는 특성 ℓ을 가지고 있다면 T_p(G)는 2d 등급의 Z를_p 넘는 자유 모듈이고, 여기서 d는 G의 치수라는 것을 알 수 있다.^[1]다른 경우에는 여전히 자유지만, 등급은 0에서 d까지의 값을 취할 수 있다(예: Hasse-Witt 행렬 참조).

In the case where p is not equal to the characteristic of K, the p-adic Tate module of G is the dual of the étale cohomology ${\displaystyle H_{\text{et}}^{1}(G\times _{K}K^{s},\mathbf {Z} _{p})}$.

테이트 추측의 특별한 사례는 테이트 모듈로 표현될 수 있다.^[2]K가 p와 다른 특성의 원시 영역(예: 유한 영역, 대수적 수 영역, 전역 함수 영역)에서 미세하게 생성되고, A와 B가 K보다 두 개의 아벨리안 품종이라고 가정하자.그러자 테이트의 추측에 의하면

${\displaystyle \mathrm {Hom} _{K}(A,B)\otimes \mathbf {Z} _{p}\cong \mathrm {Hom} _{G_{K}}(A),T_{p}(B)}$

여기서 Hom_K(A, B)은 A에서 B까지의 아벨 품종의 형태론 그룹이며, 오른쪽은 T_p(A)에서 T_p(B)까지의 G-선형_K 지도 그룹이다.K가 유한한 분야인 경우는 1960년대에 테이트가 직접 입증했다.^[3]게르트 팔팅스는 그의 유명한 "모델 논문"^[4]에서 K가 숫자 분야라는 사실을 증명했다.

특성 프라임에서 p까지의 유한한 필드 k에 대한 곡선 C를 넘는 자코비안의 경우, 복합 익스텐션의 갈루아 그룹으로 테이트 모듈을 식별할 수 있다.

${\displaystyle k(C)\subset {\hat {k}(C)\subset A^{(p)\}}$

여기서 $k{\displaystyle \hat{}}$ ${\$은(는) 통합의 모든 p-파워 루트를 포함하는 k의 확장이며$$, $A$는^(p) k${\displaystyle \stackrel{}{^}}$( $){\displaystyle {\hat}(C)$의 최대 미RAM 아벨리안 p-확장이다$.$^[5]

숫자 필드의 테이트 모듈

유한한 분야에 걸친 곡선의 기능장에 대한 테이트 모듈의 설명은 이와사와 겐키치가 도입한 지구 분야의 다른 등급인 대수적 수장의 테이트 모듈에 대한 정의를 제안한다.숫자 필드 K의 경우^m, K_m ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ ${\$ K의_m $조합$과 A의^(p) 최대 미라벨 p-확장 $K{\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ ${\$

${\displaystyle T_{p}(K)=\mathrm {Gal}(A^{(p)/{\hat {K})\ .}$

그렇다면 T_p(K)는 프로p-p-group이므로 Z-module이다_p.클래스 필드 이론을 사용하면 표준에 따라_m K 클래스 그룹_m C의 역한계에 대한_p T(K)를 이소모르픽으로 설명할 수 있다.^[5]

이와사와는 완성 Z_p[T] 위에 T_p(K)를 모듈로 전시하였는데, 이는 형태 C의 순서로_m p의 지수를 나타내는 공식을 함축하고 있다.

$\displaystyle \lambda m+\mu p^{m}+\kappa \ .}$

페레로-워싱턴의 정리에는 μ는 0이라고 되어 있다.^[6]

참고 항목

• 테이트 추측
• 테이트 트위스트

메모들

참조

• Faltings, Gerd (1983), "Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern", Inventiones Mathematicae, 73 (3): 349–366, doi:10.1007/BF01388432
• "Tate module", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Murty, V. Kumar (2000), Introduction to abelian varieties, CRM Monograph Series, vol. 3, American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-1179-5
• 제13절
• Tate, John (1966), "Endomorphisms of abelian varieties over finite fields", Inventiones Mathematicae, 2: 134–144, doi:10.1007/bf01404549, MR 0206004