육각 표본 추출

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다차원 신호는 M${\displaystyle 2}$ 2$${\$displaystyle$ M$\geq$2$\}$인 M 독립 변수의 함수입니다.일반적으로 연속적인 시간 신호인 실제 신호는 디지털 시스템을 사용하여 신호를 처리할 수 있도록 분리(샘플링)해야 합니다.이 이산화 과정 중에 샘플링이 구체화됩니다.연속 시간 신호의 이산 표현을 얻는 방법은 여러 가지가 있지만, 주기적인 샘플링은 단연코 가장 간단한 방법입니다.이론적으로 샘플링은 모든 포인트 세트에 대해 실행할 수 있습니다.그러나 실질적으로 샘플링은 특정 대수 구조를 가진 포인트 세트에 대해 수행됩니다.이러한 구조를 ^[1]격자라고 합니다.수학적으로 N$(\displaystyle$ N$)$ 차원$$ $신호$를 샘플링하는 프로세스는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

${{displaystyle w}\hat {t}}=w(V).{\hat {n}}}.$

$여기$서 t$^$ {\$displaystyle {t}}$은 샘플링 중인 연속 도메인 M차원 벡터(M-D)이고${\displaystyle \stackrel{}{,}}$ n $^$ ${\displaystyle {n}}$은 샘플 인덱스에 대응하는 M차원 정수 벡터이며, V는${\displaystyle }$N ×$$(\$displaystyle N\times$ N$)$ $샘플링$ 매트릭스입니다.

동기

다차원 샘플링은 디지털 방식으로 신호를 처리할 수 있는 기회를 제공합니다.디지털 도메인에서 신호를 처리하는 장점으로는 프로그램 가능한 DSP 작업을 통한 유연성, 충실도 저하 없는 신호 저장, 통신 시 암호화 기회, 하드웨어 허용 오차 감소 등이 있습니다.따라서 디지털 방식은 강력하면서도 유연합니다.많은 어플리케이션에서 아날로그 어플리케이션보다 저렴한 대체 어플리케이션으로 동작합니다.디지털 하드웨어를 사용하여 구현되는 알고리즘은 아날로그 대응 알고리즘이 없을 정도로 복잡할 수 있습니다.다차원 디지털 신호 처리는 2-D 시퀀스 또는 샘플링된 이미지와 같은 다차원 배열로 표현되는 신호를 처리합니다.[1] 디지털 영역에서 이러한 신호를 처리하면 신호 처리에서 알고리즘에 의해 지정된 디지털 하드웨어를 사용할 수 있습니다.실제 신호는 연속적인 시간 신호이므로 다차원 샘플링은 실제 신호를 구별하는 데 중요한 역할을 합니다.이산 시간 신호는 디지털 하드웨어를 사용하여 차례로 처리되어 신호에서 정보를 추출합니다.

예단

지원 지역

신호의 샘플이 0 값을 취하는 영역을 지원 영역(ROS)이라고 합니다.정의에서 신호의 지원 영역이 고유하지 않은 것이 분명합니다.

푸리에 변환

푸리에 변환은 신호에 대해 수행되는 수학적 연산을 단순화할 수 있는 도구입니다.변환은 기본적으로 모든 신호를 사인파의 가중 조합으로 나타냅니다.M차원 신호의 푸리에 및 역 푸리에 변환은 다음과 같이 정의할 수 있습니다.

${\displaystyle X_{a}({\hat {Omega })=\int _{-\infty }^{+\infty }\!x_{a}({\hat {t}})e^{-jhat {Omega}}}^{\}T}{\hat {t}}d{\hat {t}}}$

${\displaystyle x_{a}({\hat {t}})=flac {1}{2\pi ^{M}}\int _{-\infty}^{+\infty}\!X({\hat {\Omega })e^{(j{\hat {\Omega }}^{T} {\hat {t}}, \mathrm {d} {\hat {Omega }}$

캡 기호 ^은 작업이 벡터에 대해 수행됨을 나타냅니다.샘플링된 신호의 푸리에 변환은 신호의 연속 시간 푸리에 변환의 주기적인 확장으로 관찰됩니다.이는 수학적으로 다음과 같이 표현됩니다.

$displaystyle X$$$$X_{a}({\hat$ {$Omega$}}-$Uk})$ $여기$서 = $=$ ${\displaystyle V\stackrel{}{}}$ ~ ${\displaystyle \omega \mathrm{}}$ {\$displaystyle$ $\Omega$= V$}\Omega$} 및$$ U ${\displaystyle =}$ 2 ${\displaystyle \pi \stackrel{}{}}$ V ~$$U=$2\pi {tilde {V})$는 행렬 전이를 나타내는 주기 행렬이다.

따라서 공간 영역에서 샘플링하면 푸리에 영역에서 주기성이 발생합니다.

앨리어싱

대역제한신호는 여러 가지 방법으로 정기적으로 복제될 수 있다.레플리케이션으로 인해 레플리케이션된 영역 간에 오버랩이 발생할 경우 신호는 에일리어싱이 발생합니다.이러한 상황에서는 연속 시간 신호를 샘플에서 완벽하게 복구할 수 없습니다.따라서 연속신호의 완벽한 회복을 보증하기 위해서는 변환된 도메인 내의 복제영역의 중복된 다차원 샘플링이 0개 존재해야 합니다.1차원 신호의 경우와 마찬가지로 연속시간 신호를 충분히 높은 속도로 샘플링하면 앨리어싱을 방지할 수 있다.

샘플링 밀도

단위 면적당 샘플 수를 측정한 값입니다.다음과 같이 정의됩니다.

$display style$$$$D$=$specfrac {$1} ${$det($V)$ }} =$specfrac$ {$det($U) } {$4\pi ^{$2$\}\}\}\}.$

연속 시간 신호를 완전히 복구하는 데 필요한 단위 면적당 최소 샘플 수를 최적 샘플링 밀도라고 합니다.메모리 또는 처리 시간이 제한된 응용 프로그램에서는 신호를 완전히 나타내기 위해 필요한 샘플 수를 최소화하는 데 중점을 두어야 합니다.

기존 접근법

대역 제한 파형의 경우 푸리에 도메인에서 에일리어스를 생성하지 않고 신호를 샘플링할 수 있는 방법은 무한히 많습니다.그러나 일반적으로 사용되는 전략은 직사각형 표본 추출과 육각형 표본 추출 두 가지뿐입니다.

직사각형 및 육각형 표본 추출

직사각형 샘플링에서는 예를 들어 2차원 신호는 다음 V 매트릭스에 따라 샘플링됩니다.

$=$$T2\end{bmatrix}}$ (여기서 T1과 T2는 각각 ^[2]수평방향과 수직방향에 따른 샘플링 기간)

육각형 표본 추출에서 V 행렬은 다음과 같은 일반적인 형태를 취합니다.

$({displaystyle V_{hex}=(begin{bmatrix})T1&T1\-T2&T2\end{bmatrix})$

두 방식의 효율 차이는 반지름 R의 원형 지원 영역을 가진 대역 제한 신호를 사용하여 강조 표시됩니다.원은 길이 2R의 정사각형 또는 $길이{\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}}$의$$정육각형({$displaystyle\frac {2R}{\sqrt {3$으로 새겨질 수 있으며, 따라서 지지 영역은 정사각형과 육각형으로 각각 변환됩니다.이러한 영역이 주파수 영역에서 주기적으로 복제되어 두 영역 사이에 오버랩이 없는 경우, 지원의 사각 영역을 주기적으로 복제함으로써 직사각형 격자에서 연속 신호를 효과적으로 샘플링할 수 있습니다.마찬가지로 지원의 육각 영역의 주기적인 복제는 육각 격자에서 연속 신호를 샘플링하는 데 매핑됩니다.

주기성 행렬인 U에서 직사각형 및 육각형 체계에 대한 최적 샘플링 밀도를 계산할 수 있습니다.원형 대역 제한 신호를 완전히 복구하기 위해 육각형 샘플링 방식은 직사각형 샘플링 방식보다 샘플 수가 13.4% 적은 것으로 나타났다.이 감소는 2차원 신호에는 별로 중요하지 않은 것으로 보일 수 있습니다.그러나 신호의 차원이 증가함에 따라 육각형 샘플링 방식의 효율성은 훨씬 더 분명해질 것입니다.예를 들어 8차원 신호의 감소율은 93.8%입니다.얻은 결과 [2]의 중요성을 강조하려면 이미지를 무한한 수의 샘플 집합으로 시각화합니다.시력을 담당하는 1차 실체, 즉 광수용체(소체 및 원추체)는 모든 ^[3]포유류의 망막에 존재한다.이러한 셀은 행과 열에 배열되지 않습니다.육각형 표본 추출 방식을 채택함으로써 우리의 눈은 훨씬 더 효율적으로 영상을 처리할 수 있다.육각 표본 추출의 중요성은 인간 시각계의 광수용체가 육각 표본 추출 격자에 놓여 있기 때문에 육각 표본 추출을 수행한다는 데 있다.[3] 사실, 육각형 샘플링 방식이 원형 대역 제한 ^[4]신호에 대한 최적의 샘플링 방식임을 알 수 있다.

적용들

최적의 샘플링 그리드를 사용하여 앨리어싱 효과를 최소화합니다.

최근 CCD 기술의 발전으로 실제 응용 분야에서 육각형 샘플링이 가능해졌습니다.역사적으로 기술 제약으로 인해 검출기 어레이는 직사각형 형상 검출기가 있는 2차원 직사각형 표본 추출 격자에만 구현되었다.그러나 후지사가 도입한 슈퍼[CCD] 검출기는 육각형 격자 안에 8각형 모양의 픽셀을 가지고 있다.이론적으로, 검출기의 성능은 8각형 픽셀을 도입함으로써 크게 향상되었다.샘플을 나타내는 데 필요한 픽셀 수가 감소했으며 직사각형 ^[5]픽셀과 비교하여 신호 대 잡음 비율(SNR)이 크게 향상되었습니다.그러나 육각형 픽셀을 사용할 때의 단점은 관련 채우기 비율이 82% 미만이라는 것입니다.대체 방법은 최종적으로 직사각형 그리드로 끝나는 방식으로 육각형 픽셀을 보간하는 것입니다.Spot 5 위성은 두 개의 동일한 선형 CCD가 두 개의 준동일 이미지를 전송하여 픽셀 반만큼 이동시키는 유사한 기술을 통합합니다.2개의 화상을 보간해 처리할 때, 육각형 픽셀을 가지는 검출기의 기능을 모방한다.

지능형 시야를 위한 육각형 구조

컴퓨터 그래픽스 분야에서 직면하는 주요 과제 중 하나는 실제 연속 신호를 물리적 화면에 개별 포인트 세트로 표현하는 것입니다.육각형 샘플링 그리드는 직사각형 그리드에 비해 몇 가지 이점이 있는 것으로 오랫동안 알려져 왔다.피터슨과 미들턴은 파수 제한 M 차원 함수의 샘플링과 재구성을 조사했고, 최적의 샘플링 격자는 일반적으로 ^[6]육각형이 아니라는 결론에 도달했다. 러셀 M. 메르세로는 육각 이산 푸리에 변환(DFT)과 육각 유한 익스텐트 임펄스 응답 필터를 개발했다.그는 원형 대역 제한 신호의 경우 직사각형 표본 추출보다 육각형 표본 추출이 더 효율적이라는 것을 보여줄 수 있었다.Cramblitt와 Allebach는 최적의 육각형 시계열 샘플링 패턴을 설계하기 위한 방법을 개발했으며 직사각형 샘플링 그리드를 위해 설계된 방법과 비교하여 장점을 논의했다.^[7]

육각형 샘플링 그리드의 고유한 특징 중 하나는 푸리에 변환이 여전히 육각형이라는 것입니다.연속된 행과 열 사이의 거리에도 역관계가 있습니다(표본이 육각형의 중심에 있다고 가정).이 역관계는 에일리어싱을 최소화하고 최소 샘플링 밀도를 최대화하는 데 큰 역할을 합니다.연속적인 실세계 신호를 이산화할 때는 양자화 오류가 발생하기 마련이다.양자화 오류를 최소화하는 검출기 구성을 결정하기 위한 실험이 수행되었습니다.육각 공간 표본 추출은 주어진 센서 분해능에 대해 최소 양자화 오차를 발생시키는 것으로 밝혀졌다.

육각형 그리드의 일관된 연결:육각형 그리드에서는 6개의 이웃 샘플의 배경만 정의할 수 있습니다.단, 사각 그리드에서는 4개 또는 8개의 인접 샘플[4]의 배경을 정의할 수 있습니다(대각 연결이 허용되는 경우).육각형 그리드에는 이러한 선택이 없기 때문에 효율적인 알고리즘을 설계할 수 있습니다.일관성 있는 연결은 각도 분해능을 향상시킵니다.그래서 육각형 격자는 직사각형 격자보다 곡선을 그리는 것이 훨씬 더 잘 표현되는 것이다.이러한 몇 가지 이점에도 불구하고 육각형 그리드는 육각형 기반 이미지를 처리, 캡처 및 표시할 하드웨어가 부족하기 때문에 컴퓨터 비전에서는 최대한의 잠재력을 발휘할 수 있도록 실질적으로 사용되지 않았습니다.앞서 Spot 5 위성에서 강조했듯이 이 하드웨어 문제를 해결하기 위해 검토 중인 방법 중 하나는 정사각형 픽셀을 사용하여 육각형 픽셀을 모방하는 것입니다.

레퍼런스