산술 제타 함수

수학에서 산술 제타함수는 정수보다 유한형의 체계와 연관된 제타함수다.산술 제타 함수는 리만 제타 함수와 데데킨드 제타 함수를 더 높은 차원으로 일반화한다.산술 제타 함수는 숫자 이론의 가장 근본적인 대상 중 하나이다.

정의

산술 제타 함수 ζ_X(s)는 리만 제타 함수와 유사한 오일러 곱에 의해 정의된다.

${\displaystyle {\zeta _{X}=\prod _{x}{\frac {1}{1-N(x)^{-s}}},}$

여기서 제품은 스키마 X의 모든 닫힌 지점 x를 인수한다.균등하게, 잔여장이 유한한 모든 지점 위에 제품이 있다.이 필드의 카디널리티는 N(x)로 표시된다.

예제 및 속성

한정된 분야에 걸친 품종

X가 q 원소가 있는 유한장의 스펙트럼이라면,

${\displaystyle \zeta _{X}={\frac {1}{1-q^{-s}}.}$

유한한 분야에 걸친 품종 X의 경우, Grotendieck의 추적 공식에 의해 다음과 같이 알려져 있다.

${\displaystyle \zeta _{X}=Z(X,q^{-s})}$

여기서 $Z{\displaystyle (X}$, ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle Z(X,t)}$는 합리적인 함수(즉, 다항식의 지수)이다$$.

유한한 분야에 걸쳐 X와 Y의 두 가지 품종을 부여하면 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$ $[\displaystyle X\time Y}$의 제타 함수는 다음과 같다$$.

$[\displaystyle Z(X,t)\star Z(Y,t)=Z(X\time Y,t),}$

여기서 $\star {\displaystyle }$ ${\displaystyle \star }$은(는) 정수의 Witt 벡터의 링$$ $W{\displaystyle }$( ${\displaystyle Z\mathbf{}}$)${\displaystyle$ W(\$mathbf {Z}$)에 있는 곱셈을 나타낸다$$.^[1]

정수 링

X가 정수 링의 스펙트럼이라면 ζ_X(s)는 리만 제타 함수다.보다 일반적으로 X가 대수적 수장의 정수 링의 스펙트럼이라면 ζ_X(s)는 데데킨드 제타함수다.

분리 유니온의 제타 기능

구조 X에 걸쳐 아핀과 투사 공간의 제타 기능은 다음과 같다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\zeta _{\mathbf {A} ^{n}(X)}(s)&=\zeta _{X}(s-n)\\\zeta _{\mathbf {P} ^{n}(X)}(s)&=\prod _{i=0}^{n}\zeta _{X}(s-i)\end{aligned}}}$

후자 방정식은 각각 폐쇄형 서브시스템 U와 V의 분리된 결합인 X에 대해 전자에서 추론할 수 있다.

$\displaystyle \zeta _{X}=\zeta _{U}\zeta _{V}s.}$

더 일반적으로, 유사한 공식은 무한 분리 연합을 의미한다.특히 X의 제타 기능이 X modulo 감소 p:

${\displaystyle \zeta _{X}=\prod _{p}\zeta _{X_{p}}s.}$

이러한 표현은 각각의 소수 위에 걸쳐 있는 것을 오일러 제품이라고 부르기도 하고 각각의 요소를 오일러 인자라고 부르기도 한다.관심의 많은 경우, 일반 섬유 X는_Q 매끄럽다.그렇다면 미세하게 많은 X만이_p 단수(나쁜 감소)이다.거의 모든 프라임, 즉 X의 감소가 양호할 때 오일러 인수는 X의_Q Hasse-Weil zeta 함수의 해당 인자와 일치하는 것으로 알려져 있다.따라서 이 두 기능은 밀접한 관련이 있다.

주요 추측

정규 불분명한 등차원표 X의 제타함수의 거동에 관한 여러 가지 추측이 있다(정수에 걸친 유한형).이러한 추측의 많은 (전부는 아니지만) 오일러-리만-데데킨드 제타 함수에 대해 잘 알려진 이론의 1차원 사례를 일반화한다.

이 계획은 Z에 대해 평평할 필요는 없으며, 이 경우 일부 F에_p 대한 유한 유형의 체계다.이것을 아래의 특징 p 사례라고 한다.후자의 경우, 이러한 추측(버치와 스윈너튼-다이어 추측, 즉 특수 가치에 대한 연구)의 많은 부분이 알려져 있다.Z 위에 평평하고 차원 2 이상인 계획에는 거의 알려져 있지 않다.

메로모르픽 지속과 기능 방정식

Hasse와 Weil은 ζ_X (s)가 복잡한 평면에 대한 meromphic 연속성을 가지며, n이 X의 절대 치수인 s → n - s에 대한 함수 방정식을 만족한다고 추측했다.

이것은 n = 1에 대해 입증되며, n > 1은 Z에 대한 평면도와 모든 n에 대한 긍정적인 특성에 대해 입증된다.제타함수가 > - 1 ${\$1}{$1}:{$2}}까지 영형적인 연속성을 갖는다는 것은 Weil 추측의 결과(더 정확히 말하면 리만 가설 부분

일반화된 리만 가설

According to the generalized Riemann Hypothesis the zeros of ζ_X (s) are conjectured to lie inside the critical strip 0 ≤ Re(s) ≤ n lie on the vertical lines Re(s) = 1/2, 3/2, ... and the poles of ζ_X (s) inside the critical strip 0 ≤ Re(s) ≤ n lie on the vertical lines Re(s) = 0, 1, 2, ....

이것은 (에밀 아르틴, 헬무트 하세, 안드레 웨일, 알렉산더 그로텐디크, 피에르 들랭) 모든 n에 대해 긍정적인 특징으로 증명되었다.그것은 Z보다 평평한 어떤 계획에도 입증되지 않았다.리만 가설은 추측2의 부분적인 경우다.

폴 오더

분석적 연속성에 따라 임계 스트립 내부의 정수 지점에서 영점 또는 극의 순서와 ζ_X(s)의 잔류물은 X의 중요한 산술적 불변수로 표현 가능한 것으로 추측된다.위의 기초적 특성과 노에더 정규화에 기초한 세레로 인한 논쟁은 X의 제타 함수가 s = n에 극을 가지고 있다는 것을 보여준다. 그 순서는 최대 치수를 가진 X의 수정 불가능한 성분 수와 같다.^[2]두 번째로 테이트는 추측했다^[3].

${\displaystyle \mathrm {ord} _{s=n-1}\zeta _{X}=rk{\mathcal{O}_{X}^{\time }}}}(X)-rk\mathrmat {Pic}(X)}$

즉, 폴 순서는 되돌릴 수 없는 정규 함수 그룹과 피카르 그룹의 순위에 의해 표현할 수 있다.버치와 스윈너튼-다이어의 추측은 이 추측은 부분적인 경우다.사실 테이트의 이런 추측은 버치와 스윈너튼-다이어의 일반화에 해당한다.

더 일반적으로, 소울레는 추측했다^[4].

${\displaystyle \matrm {ord} _{s=n-m}\zeta _{X}=-\sum _{i}-(1)^{i}rK_{i}(X)^{(m)}}}}}}}}}}}$

오른쪽은 X의 대수학 K 이론의 아담스 아이겐스페이스를 나타낸다.이 등급들은 Bass 추측으로는 한정되어 있다.

이러한 추측들은 n = 1, 즉 유한한 분야에 걸쳐 숫자 링과 곡선의 경우에 알려져 있다.n > 1에 대해서는, 버치·스위너튼-다이어 추측의 부분적인 사례가 증명되었지만, 긍정적인 특성에서도 추측의 여지는 열려 있다.

방법 및 이론

크론커 치수 n의 규칙적으로 연결된 등차원 산술 체계의 산술 제타 함수는 적절하게 정의된 L-요인과 보조 인자의 곱으로 인자화할 수 있다.따라서 L-기능에 대한 결과는 산술 제타 함수에 대한 해당 결과를 의미한다.그러나 특성 0과 치수 2 이상의 산술 체계 L-요인에 대해서는 아직 입증된 결과가 거의 없다.Ivan Fesenko는 산술 제타 함수를 그들의 L-요인과 함께 일하지 않고 직접 연구하는 이론을 시작했다^[5].그것은 테이트의 논문의 고차원적인 일반화, 즉 더 높은 아델 그룹, 더 높은 제타 적분 및 더 높은 계급의 장 이론에서 나온 물체를 사용한다.이 이론에서, 지구영역에 걸친 타원곡선의 적절한 정규모델의 공상 연속성과 기능 방정식은 경계함수의 평균 주기성 속성과 관련이 있다.^[6]M. 스즈키, G. 리코타와의 공동 연구에서는 기하급수적 성장의 실제 라인에서 매끄러운 함수의 공간에 산술 제타 함수와 평균 주기 함수의 사이에 숫자 이론의 새로운 대응성이 제안된다.^[7]이 서신은 랭글랜드 통신과 관련이 있다.페센코 이론의 다른 두 가지 적용은 지구 영역 위에 있는 타원곡선의 적절한 모델의 제타함수의 극과 중심점에서의 특수 값에 있다.^[8]

참조

원천

• François Bruhat (1963). Lectures on some aspects of p-adic analysis. Tata Institute of Fundamental Research.
• Serre, Jean-Pierre (1969–1970), "Facteurs locaux des fonctions zeta des varietés algébriques (définitions et conjectures)", Séminaire Delange-Pisot-Poitou, 19