하르 웨이블렛

수학에서, 하르 웨이블렛은 함께 웨이블렛 계열이나 기초를 형성하는 "제곱모양" 함수의 연속이다. 웨이브릿 분석은 간격에 걸친 목표 함수를 정형근거 단위로 나타낼 수 있다는 점에서 푸리에 분석과 유사하다. 하르 시퀀스는 이제 알려진 첫 번째 웨이브릿 기준으로 인식되고 교육 사례로 광범위하게 사용된다.

하르 수열은 1909년 알프레드 하르에 의해 제안되었다.^[1] Haar는 이러한 기능을 사용하여 단위 간격의 사각형 통합 함수의 공간에 대한 정형 시스템의 예를 제공했다[0, 1]. 파도에 대한 연구, 그리고 심지어 파도에 대한 용어조차도 훨씬 늦게야 찾아왔다. 다우베키스 웨이블렛의 특별한 경우로서 하아 웨이블렛은 db1로도 알려져 있다.

하르 웨이블렛은 또한 가능한 가장 단순한 웨이블렛이다. 하르 웨이블렛의 기술적 단점은 연속성이 없고, 따라서 다를 수 없다는 것이다. 그러나 이 특성은 기계의 툴 고장의 모니터링과 같이 갑작스러운 전환(분해 신호)이 있는 신호를 분석하는 데 장점이 될 수 있다.^[2]

Har wavelet의 엄마 wavelet 함수 ${\displaystyle \psi }$( t${\displaystyle }$) ${\displaystyle \psi (t)}$은(는) 다음과 같이 설명할 수 있다$$.

${\displaystyle \cHB(t)={\pases}1\nfrac{1}{1}{{1},\-1&{\frac{1}{1}{1}{1}{1}{1}{1}{1}{1}{1}{1}{1}{1}{1}}}}{1,\0&{\mbox{d}.}}}\end{case}}$

스케일링 함수 ${\displaystyle \phi }$( t${\displaystyle }$) ${\displaystyle \varphi (t)}$은(는) 다음과 같이 설명할 수 있다$$.

${\displaystyle \varphi(t)={\displaysty{case}1\pair &0\leq t<1,\0&{\mbox{mbox{pair.}}}\end{case}}$

하르 함수 및 하르 시스템

모든 쌍 n$,$ Z {\displaystyle \mathb {$Z}의$정수 k에 대해$$Haar 함수 ψ은 $실제{\displaystyle \mathbb{}}$ 라인_n,k R ${\$에 공식으로$$ 정의된다.

${\displaystyle \psi _{n,k}(t)=2^{n/2}\psi(2^{n}t-k),\quad t\in \mathb {R}.}$

이 기능은 오른쪽 열린 간격 I_n,k = [k2⁻ⁿ, (k+1)2)에서⁻ⁿ 지원된다. 즉, 이 간격은 그 간격 밖으로 사라진다. Hilbert 공간² $($R {\$displaystyle \mathb$ {$R}$

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} }\psi _{n,k}(t)\,dt=0,\quad \ \psi _{n,k}\ _{L^{2}(\mathbb {R} )}^{2}=\int _{\mathbb {R} }\psi _{n,k}(t)^{2}\,dt=1.}$

Haar 함수는 쌍방향 직교함수,

${\displaystyle \int _{\mathb {R}}\psi _{n_{1},k_{1}:{1}(t)\psi _{n_{2},k_{2}}(t)\,dt=\delta _{n_{1}n_}}}}delta _{k_{1}k_{1}k_{2}},},},},}},},},},}$

여기서 $\Delta {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\$는 Kronecker 델타를 나타낸다$$. Here is the reason for orthogonality: when the two supporting intervals ${\displaystyle I_{n_{1},k_{1}}}$ and ${\displaystyle I_{n_{2},k_{2}}}$ are not equal, then they are either disjoint, or else the smaller of the two supports, say ${\displaystyle I_{n_{1},$$k_{1}:{$1}}은$($는) 다른 간격의 아래쪽 또는 위쪽 절반에 포함되며, ${\displaystyle {{functionn\mathrm{}}_{}}_{}}$ 2${\displaystyle {{}_{}}_{}}$, k ${\displaystyle {{2\mathrm{}}_{}}_{}}$ ${\$ \ \$\{ _{n_${2},$k_{2}}}$ 기능이 일정하게 유지된다$$. 이 경우에 따라서 이 두 개의 하르 함수의 제품은 첫 번째 하르 함수의 배수이므로 제품에 정수 0이 있다.

실제 라인의 하어 시스템은 기능들의 집합이다.

${\displaystyle \{1\}\cup \{\psi _{n,k}(t)\;:\n\in \mathb {Z},\;k\in \mathb {Z}\}}$

L²(${\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$로 완료됨:$$ 라인의 Haar 시스템은 L²(${\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$의 정형 기반이다.

하르 파장 특성

하르 웨이블렛에는 다음과 같은 몇 가지 주목할 만한 성질이 있다.

1. Any continuous real function with compact support can be approximated uniformly by linear combinations of ${\displaystyle \varphi (t),\varphi (2t),\varphi (4t),\dots ,\varphi (2^{n}t),\dots }$ and their shifted functions. 이것은 그 안에 있는 어떤 기능도 연속적인 기능에 의해 근사치가 될 수 있는 기능 공간으로 확장된다.
2. Any continuous real function on [0, 1] can be approximated uniformly on [0, 1] by linear combinations of the constant function 1, ${\displaystyle \psi (t),\psi (2t),\psi (4t),\dots ,\psi (2^{n}t),\dots }$ and their shifted functions.^[3]
3. 양식의 직교성

${\displaystyle \int _{-\infit _{}^{{n+n_{1}/2^{n-k)/2}\beat (2^{n_{1}t-k_{1}}\,dt=\n_{n_{1}}\n_{k_{1}}}.$

여기서 $\Delta {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\$은 크로네커 델타를 나타낸다. ψ(t)의 이중 기능은 ψ(t) 그 자체다.

1. 다른 스케일의 웨이브/스케일링 함수는 기능 관계를 가지고 있다:^[4] 그 이후

${\displaystyle {\barphi(t)&=\varphi(2t)+\varphi(2t-1)\\[.2em]\barphi(t)&=\varphi(2t-1)\end{arliged}}}}}$

척도 n 계수는 척도 n+1 계수로 계산할 수 있다.

만약 ${\displaystyle w_{}}$ w${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle k}$ ,${\displaystyle n}$) = ${\displaystyle {2n}^{}}$/ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}{}_{-}^{}}$ - ${\displaystyle {\mathrm{\infty }}_{\mathrm{}}^{}x}$x (${\displaystyle t}$ ) ${\displaystyle (}$ ( ${\displaystyle {}^{}}$t -${\displaystyle k}$ ) ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle t}${\$displaystyle \chi$ _${w}(k,n)=2^{n/$2}\$int$ _${-\nft(t){}^{x(t)\varphi(2^{n$},$t-k)\d$)\d$}$

and ${\displaystyle \mathrm {X} _{w}(k,n)=2^{n/2}\int _{-\infty }^{\infty }x(t)\psi (2^{n}t-k)\,dt}$

그때

${\displaystyle \chi _{w}(k,n)=2^{-1/2}{\bigl (}\bigl (}\chi_{w}(2k,n+1)+\chi _{w}(2k+1,n+1){\bigr )}}}}}}}}$

${\displaystyle \mathrm {X} _{w}(k,n)=2^{-1/2}{\bigl (}\chi _{w}(2k,n+1)-\chi _{w}(2k+1,n+1){\bigr )}.}$

장치 간격의 Har 시스템 및 관련 시스템

이 절에서 논의는 [0, 1] 단위 간격과 [0, 1]에서 지원되는 Haar 함수로 제한된다. 이 글에서 [0, 1]에 있는 하르 계통이라 ^[5]불리는 1910년 하르에 의해 고려된 기능 체계는 다음과 같이 정의된 하르 파장의 하위 집합으로 구성되어 있다.

${\displaystyle \{t\in [0,1]\mapsto \psi _{n,k}(t)\;:\;n\in \mathb {N} \cup \}\cup \{0\}\;leq k<2^{n}}}}}}}$

[0, 1]에 상수함수 1을 추가하여.

힐버트 공간 용어에서 [0, 1]의 이 Haar 시스템은 단위 간격의 정사각형 통합 기능의 공간 L²([0, 1])을 위한 완전한 정형 시스템이다.

[0, 1]의 Haar 시스템은 일정한 기능 1을 첫 번째 요소로 하고, 커플의 사전 순서에 따라 순서가 정해진 Haar 함수를 따르는 것으로서 1 ≤ p < ∞^[6] ∞ when when when when의^p 공간 L([0, 1])을 위한 모노톤 Schauder 기반이기도 하다. 이 근거는 1 < p < ∞>^[7]일 때 무조건이다.

하르 함수의 합계로 구성된 관련 라데마허 시스템이 있다.

${\displaystyle r_{n}(t)=2^{-n/2}\sum _{k=0}^{2^{n1}-1}\reason _{n,k}(t),\display t\in [0,1],\geq 0.}$

r_n(t) = 1 on [0, 1)이라는 점에 유의하십시오. 이것은 정형화된 시스템이지만 완전하지는 않다.^[8][9] 확률론 언어에서 라데마허 수열은 평균 0을 갖는 독립 베르누이 난수열의 한 예다. 킨치네 불평등은 모든 공간 L^p([0, 1]), 1 ≤ p < ∞에서 라데마허 수열이 ℓ의² 단위 벡터 기반과 동등하다는 사실을 표현한다.^[10] 특히 L^p([0, 1])에서 라드마커 수열의 닫힌 선형경간, 1 ≤ p < ℓ은 ℓ에² 대해 이형성이 있다.

파버-쇼더 시스템

Faber-Schauder 시스템은^[11][12][13] 상수함수 1로 구성된 [0, 1]의 연속함수 및 [0, 1]의 Haar 시스템 내 함수의 무한 통합 배수로 이루어진 집합으로, 최대 표준에서 표준 1을 갖도록 선택되었다. 이 시스템은 s₀ = 1로 시작하고₁, s(t) = t는 [0, 1]에 있는 하르 시스템의 첫 번째 요소인 함수 1의 0에서 비한정 적분 소멸이다. 다음으로, 모든 정수 n ≥ 0에 대해 함수 s는_n,k 공식에 의해 정의된다.

${\displaystyle s_{n,k}(t)=2^{1+n/2}\int _{0}^{t}\int_{n,k}(u)\,du,\propert t\in[0,1]\leq<2^{n}.}$

이러한 함수의 s는_n,k 연속적이고 단편적인 선형이며, 또한 ψ을_n,k 지원하는 구간 I에_n,k 의해 지지된다. 함수 s는_n,k 구간 I의_n,k 중간점 x에서_n,k 1과 같으며, 해당 구간 양쪽 모두에서 선형이다. 어디에서나 0과 1 사이의 값을 취한다.

Faber-Schauder 시스템은 [0, 1]^[6]의 연속 기능 공간 C([0, 1])를 위한 Schauder 기반이다. C([0, 1])의 모든 f에 대해 부분 합

${\displaystyle f_{n+1}=a_{0}s_{0}+a_{1}s_{1}+\sum _{m=0}^{n-1}{\Bigl (}\sum _{k=0}^{2^{m}-1}a_{m,k}s_{m,k}{\Bigr )}\in C([0,1])}$

Faber-Schauder 시스템에서 f의 직렬 확장 중 f는ⁿ 2 + 1 k2에서⁻ⁿ f와 일치하는 연속적인 조각 선형함수로, 여기서 0 ≤ k ≤ 2ⁿ. 다음은 공식이다.

${\displaystyle f_{n+2}-f_{n+1}=\sum _{k=0}^{2^{n}-1}{\bigl (}f(x_{n,k})-f_{n+1}(x_{n,k}){\bigr )}s_{n,k}=\sum _{k=0}^{2^{n}-1}a_{n,k}s_{n,k}}$

차근차근 f의 확장을 계산하는 방법을 제공한다. f는 균일하게 연속적이므로, {f_n} 시퀀스는 f로 균일하게 수렴된다. 이어서 F c([0, 1])에서 f conversion의 F-Schauder 시리즈 확장이 이루어지며, 이 시리즈의 합은 f와 같다.

프랭클린 제도

프랭클린 시스템은 그램-슈미트 맞춤법 절차에 의해 파버-슈워더 시스템에서 얻는다.^[14][15] 프랭클린 시스템은 Faber-Schauder 시스템의 그것과 같은 선형 스팬을 가지고 있기 때문에, 이 스팬은 C([0, 1])로 밀도가 높으며, 따라서² L([0, 1])로 된다. 따라서 프랭클린 시스템은 L²([0, 1])의 직교 기준이며, 연속적인 조각 형태의 선형 함수로 구성된다. P. 프랭클린은 1928년에 이 시스템이 C([0, 1])^[16]를 위한 Schauder 기반이라는 것을 증명했다. 프랭클린 시스템은 또한 1 < p < ∞>^[17]일 때 공간 L^p([0, 1])에 대한 무조건적인 쇼더 기반이다. 프랭클린 시스템은 디스크 대수 A(D)에 Schauder 기초를 제공한다.^[17] 이는 1974년 보치카레프에 의해 증명되었는데, 디스크 대수학의 기초가 40년 이상 열린 후였다.^[18]

Bochkarev가 A(D)에서 Schauder 기반을 구축한 것은 다음과 같다:f는 [0, π]에서 복합적으로 가치 있는 립슈비츠 함수가 되게 하고, f는 절대적으로 포괄적인 계수를 가진 코사인 시리즈의 합이다. T(f)를 계수가 동일한 복합 파워 시리즈로 정의한 A(D)의 요소가 되도록 한다.

${\displaystyle \left\{f:x\in [0,\pi ]\rightarrow \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\cos(nx)\right\}\longrightarrow \left\{T(f):z\rightarrow \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n},\quad z \leq 1\right\}.}$

A(D)에 대한 Bochkarev의 기초는 [0, π]에 있는 프랭클린 시스템의 기능 T에 따른 영상에 의해 형성된다. Bochkarev의 매핑 T에 대한 등가 설명은 F를 [-115, ,]의 짝수 Lipschitz 함수 g까지₁ 확장하는 것으로 시작한다. 이는 유닛 서클 T의 Lipschitz 함수와 동일하다. 다음으로 g를₂ g의₁ 결합함수로 하고, D의 경계 T의 값이 g₁ + ig인₂ A(D)의 함수로 T(f)를 정의한다.

1주기 연속함수 또는 f(0) = f(1)와 같은 [0, 1]의 연속함수 f를 처리할 때, 주기적인 Faber-Schauder 시스템을 얻기 위해 Faber-Schauder 시스템에서 s₁(t) = t 함수를 제거한다. 주기적인 프랭클린 시스템은 주기적인 Faber-Schauder 시스템에서 직교화를 통해 얻는다.^[19] [0, 2π]의 주기적인 프랭클린 시스템이 A(D)에 대한 Barnach 공간_r A의 이형체 기반임을 증명함으로써 Bochkarev의 결과를 A(D)에 증명할 수 있다.^[19] 공간 A는_r 결합 기능도 연속적인 유닛 서클 T의 복잡한 연속 기능으로 구성된다.

하르 행렬

하르 파장과 관련된 2×2 하르 매트릭스는

${\displaystyle H_{2}={\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}.}$

Using the discrete wavelet transform, one can transform any sequence ${\displaystyle (a_{0},a_{1},\dots ,a_{2n},a_{2n+1})}$ of even length into a sequence of two-component-vectors ${\displaystyle \left(\left(a_{$$0},a_{1}\right),\dots ,\left(a_{2n},a_{2n+1}\right)\right)}$. If one right-multiplies each vector with the matrix ${\displaystyle H_{2}}$, one gets the result ${\displaystyle \left(\left(s_{0},d_{0}\right),\dots ,\left(s_{n},d_{n}\right)\right)}$ of one stage of 빠른 하르 웨이브 변형 보통 s와 d를 분리하고 s를 변환한다. 시퀀스 s는 흔히 평균 부품으로 언급되는 반면 d는 상세 부품으로 알려져 있다.^[20]

길이 순서가 4배수인 경우 4원소 블록을 쌓고 4×4 하어 매트릭스와 비슷한 방식으로 변형할 수 있다.

${\displaystyle H_{4}={\begin{bmatrix}1&1&1&1&1\\1&1-1&-1\\1&1&0&0\\\0&1&1\end{bmatrix},},}$

빠른 하르-웨이브 변환의 두 단계를 결합한 것이다.

지역화되지 않은 1/–1 행렬인 월시 행렬과 비교해 보십시오.

일반적으로 2N×2N Haar 행렬은 다음과 같은 방정식으로 도출할 수 있다.

${\displaystyle H_{2N}={\begin{bmatrix}H_{N}\여러 번 [1,1]\\I_{N}\otimes [1,-1]\end{bmatrix}}}$

where ${\displaystyle I_{N}={\begin{bmatrix}1&0&\dots &0\\0&1&\dots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\dots &1\end{bmatrix}}}$ and ${\displaystyle \otimes }$ is the Kronecker product.

$A{\displaystyle }$${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A\otimes B}$의 Kronecker 제품, 여기서 A {\$displaystyle A}$은 m$×n$ 행렬이고 B {\displaystyle B$}$은 p×q 행렬로 표현된다$.$

${\displaystyle A\otes B={\begin{bmatrix}a_{11}B&\dots &a_{1n}B\\\vdots &\a_{m1}B&\dots &a_{mn}B\end{bmatrix}.}$

비정규화된 8점 Har 매트릭스 ${\displaystyle {H\mathrm{}}_{}}$ 8 ${\$H_${8$}}이$$(가) 아래에 표시되어 있다.

${\displaystyle H_{8}={\begin{bmatrix}1&, 1&, 1&, 1&, 1&, 1&, 1&, 1\\1&, 1&, 1&, 1&, -1&, -1&, -1&, -1\\1&, 1&, -1&, -1&, 0&, 0&, 0&, 0&, \\0&, 0&, 0&, 0&, 1&, 1&, -1&, -1\\1&, -1&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, \\0&, 0&, 1&, -1&, 0&, 0&, 0&, 0\\0&, 0&, 0&, 0&1&, -1&, 0&, 0&, \\0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 1&, -1\end{bmatrix}}.}$

위의 행렬은 정규화되지 않은 하르 행렬이라는 점에 유의하십시오. Har 변환에 필요한 Har 행렬은 정규화되어야 한다.

Haar $매트릭스{\displaystyle }$H {\$displaystyle$H}의 정의에서 보면 푸리에 변환과는 달리 $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$에는 실제 요소(즉, 1, -1 또는 0)만 있고$$ 비대칭성이 있음을 알 수 있다.

8점 Har 매트릭스 $H{\displaystyle {}_{}}$ ${\$을 예로$$ 들어보자. $H{\displaystyle {}_{}}$ ${\$의 첫 번째 행은 평균값을 측정하고$$, $H{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {8\mathrm{}}_{}}$ ${\$의 두 번째 행은 입력 벡터의 저주파 성분을 측정한다$$. 다음 두 행은 각각 입력 벡터의 전반부와 후반부에 민감하며, 이는 중간 주파수 성분에 해당한다. 나머지 4개 행은 고주파 성분에 해당하는 입력 벡터의 4개 섹션에 민감하다.^[21]

하르 변환

하르 변환은 웨이블렛 변환 중 가장 간단한 것이다. 이 변환은 푸리에 변환과 같이 다양한 이동과 스트레칭을 가진 하르 파장에 대해 함수를 곱하고, 2상 및 많은 스트레칭을 가진 사인파에 대해 함수를 곱한다.^{[22][clarification needed]}

소개

하르 변환은 헝가리 수학자 알프레드 하르가 1910년에 제안한 가장 오래된 변환 함수 중 하나이다. 그것은 신호의 국소적 측면을 분석하기 위한 단순하고 계산적으로 효율적인 접근법을 제공하기 때문에 전기 및 컴퓨터 공학에서 신호와 이미지 압축과 같은 응용 분야에서 효과적이라고 발견된다.

하르 변환은 하르 행렬에서 파생된다. 4x4 Har 변환 매트릭스의 예는 다음과 같다.

${\displaystyle H_{4}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&1&-1&-1\\{\sqrt {2}}&-{\sqrt {2}}&0&0\\0&0&{\sqrt {2}}&-{\sqrt {2}}\end{bmatrix}}}$

하르 변환은 변환 매트릭스의 행이 보다 미세하고 미세한 분해능의 표본으로 작용하는 샘플링 과정으로 생각할 수 있다.

월시 변환과 비교해 보십시오. 월시 변환 역시 1/-1이지만 국부화되지 않은 변환.

속성

Har 변환에는 다음 속성이 있음

1. 승수는 필요 없다. 추가만 필요하며, 하르 행렬에는 값이 0인 원소가 많아 연산 시간이 짧다. 매트릭스가 +1과 -1로 구성된 월시 변환보다 빠르다.

2. 입력과 출력 길이가 같다. 단, $길이$는 2, 즉 N${\displaystyle }$= 2 k${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle kk\mathbb{}}$ N ${\$\mathb ${N}$의 검정력이어야 한다$.$

3. 신호의 국부적 특징을 분석하는 데 사용할 수 있다. Haar 함수의 직교 특성 때문에 입력 신호의 주파수 성분을 분석할 수 있다.

Har 변환 및 역Har 변환

n입력함수 x의_n Har 변환 y는_n

${\displaystyle y_{n}=H_{n}x_{n}}}$

하르 변환 매트릭스는 실제적이고 직교적이다. 따라서 역 하르 변환은 다음과 같은 방정식에 의해 도출될 수 있다.

${\displaystyle H=H^{*}, H^{-1}=H^{T},{\text{{}.{.ex.}H^{}}}T}=I}$

$여기$서 I ${\displaystyle I}$은(는) ID 행렬이다. 예를 들어, n = 4인 경우

${\displaystyle H_{4}^{T}H_{4}={\frac{1}{2}}{\begin{bmatrix}1&, 1&,{\sqrt{2}}&0\\1&, 1&, -{\sqrt{2}}&0\\1&, -1&, 0&,{\sqrt{2}}\\1&, -1&, 0&, -{\sqrt{2}}\end{bmatrix}}\cdot\;{\frac{1}{2}}{\begin{bmatrix}1&, 1&, 1&, 1\\1&, 1&, -1&, -1\\{\sqrt{2}}&-{\sqrt{2}}&0&, 0\\0&, 0&,{\sqrt{2}}&am.p/&-{\sqrt{2}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&, 0&, 0&, 0\\0&, 1&, 0&, 0\\0&, 0&, 1&, 0\\0&, 0&, 0&, 1\end{bmatrix}}}$

따라서 역 하르 변환은

${\displaystyle x_{n}=H^{T}y_{n}}}$

예

n=4 포인트 신호 ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ 4${\displaystyle {}_{}}$=${\displaystyle }$[ ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle }$2,${\displaystyle 3}$,${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle T^{}}$ ${\$의 Har 변환 계수는 다음과 같이 확인할 수 있다$$.

${\displaystyle y_{4}=H_{4}x_{4}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&1&-1&-1\\{\sqrt {2}}&-{\sqrt {2}}&0&0\\0&0&{\sqrt {2}}&-{\sqrt {2}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1\\2\\3\\4\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}5\\-2\\-1/{\sqrt {2}}\\-1/{\sqrt {2}}\end{bmatrix}}}$

그러면 입력 신호는 역방향 Har 변환에 의해 완벽하게 재구성될 수 있다.

${\displaystyle {\hat {x_{4}}=H_{4}^{}T}y_{4}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1&1&{\sqrt {2}}&0\\1&1&-{\sqrt {2}}&0\\1&-1&0&{\sqrt {2}}\\1&-1&0&-{\sqrt {2}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}5\\-2\\-1/{\sqrt {2}}\\-1/{\sqrt {2}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\2\\3\\4\end{bmatrix}}}$

참고 항목

• 치수축소
• 월시 행렬
• 월시 변환
• 웨이블렛
• 시르플렛
• 신호
• 하르와 같은 특징
• 스트렝베르그 웨이블렛
• 디아딕트 변환

메모들

참조

• Haar, Alfréd (1910), "Zur Theorie der orthogonalen Funktionensysteme", Mathematische Annalen, 69 (3): 331–371, doi:10.1007/BF01456326, hdl:2027/uc1.b2619563
• 찰스 K. 추이, 웨이블렛 소개, (1992년), 샌디에이고 아카데미 프레스, ISBN 0-585-47090-1
• 하어의 영어 번역본: https://www.uni-hohenheim.de/~gzim/홍보/har.pdf^{[permanent dead link]}

외부 링크

위키미디어 커먼즈에는 하르 웨이브렛과 관련된 미디어가 있다.

• "Haar system", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• 무료 Har wavelet 필터링 구현 및 대화형 데모
• 자유 하르 파장 디노이즈 및 손실 신호 압축

하르 변환

• [1]
• [2]
• [3]
• [4]
• [5] Wayback Machine에 2012년 8월