스트렝베르그 웨이블렛

수학에서 스트렝베르그 웨이브는 얀-올로프 스트렝베르그에 의해 발견되어 1983년에 발표된 논문에 제시된 어떤 정형화된 웨이브다.^[1]하르 파장은 일찍이 직교 파장으로 알려져 있었지만, 스트롱베르그 파장은 최초의 매끄러운 직교 파동이었다.웨이블렛이라는 용어는 스트렝베르그 웨이블렛의 발견을 출판할 당시에는 만들어지지 않았으며 스트렝베르그의 동기는 하디 공간의 정형화된 기초를 찾는 것이었다.^[1]

정의

Le m은 음이 아닌 정수다.V를 실제 숫자의 집합 R의 개별적인 하위 집합으로 두십시오.그런 다음 V는 R을 겹치지 않는 간격으로 분할한다.V의 임의 r에 대해, r이 왼쪽 끝점으로 V가 결정한 간격을 표시한다_r.P^(m)(V)는 다음 조건을 만족하는 R에 대한 모든 기능 집합을 나타내도록 한다.

• f(t)는 정사각형 통합이 가능하다.
• f(t)는 m까지 모든 주문의 연속적인 파생상품을 가지고 있다.
• f(t)는 각 구간 I에서_r 도 m + 1의 다항식이다.

만약₀ A = {. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A = 순서₁₀ m의 Strömberg wavelet은 다음 조건을 만족하는 함수^m S(t)이다.^[1]

• ${\displaystyle S^{m}(t)\in P^{(m)}(A_{1}).}$
• ${\displaystyle \Vert$$Vert =1},$즉 $\int {\displaystyle {}_{}}$ R ${\displaystyle S^{}}$ ${\displaystyle m{}_{}{}^{}}$( t${\displaystyle }$) ${\displaystyle {}^{\mathrm{}}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle t{}^{}}$= 1${\displaystyle \int _{R}\vert$ S$^{m}(t)\vert ^{2}\,dt=1.}$
• ${\displaystyle S^{m}(t)}$ is orthogonal to ${\displaystyle P^{(m)}(A_{0})}$, that is, ${\displaystyle \int _{R}S^{m}(t)\,f(t)\,dt=0}$ for all ${\displaystyle f(t)\in P^{(m)}(A_{0}).$$}$

설정된^(m) P(V)의 속성

다음은 설정된 P^(m)(V)의 속성 중 일부다.

1. V에 있는 구별되는 원소의 수를 두 개로 한다.그런 다음 f(t) ∈ P^(m)(V) 모든 t에 대해 f(t) = 0인 경우에만 해당된다.
2. V의 요소 수가 3개 이상일 경우, P^(m)(V)가 0이 아닌 함수를 포함하는 경우.
3. V와₁ V가₂ V₁ ⊂ V와₂ 같은 R의 이산 하위 집합이면 P(V^(m)₁) ) P(V^(m)₂)이다.특히 P^(m)(A₀) ⊂ P^(m)(A₁)이다.
4. f(t) ∈ P^(m)(A₁)인 경우 f(t) = g(t) + α(t) λ(t) 여기서 α는 일정하고 g(t) ∈ P^(m)(A₀)는 r₀ = A에 대해 g(r) = f(r)로 정의된다.

직교 파장으로서의 스트렝베르그 파장

다음 결과는 스트렝베르그 웨이브를 정형 웨이브로 설정한다.^[1]

정리

S를^m 주문 m의 스트렝베르그 물결이 되게 하라.그 다음 세트는

${\displaystyle \left\{2^{j/2}S^{m}(2^{j}t-k):j,k{\text{정수 }\오른쪽\}}}$

R에 대한 정사각형 통합 함수의 공간에 완전한 정사각형 시스템이다.

순서 0의 스트렝베르그 물결표

순서 0의 Strömberg 웨이블렛의 특별한 경우, 다음과 같은 사실을 관찰할 수 있다.

1. f(t) ∈ P⁰(V)인 경우 f(t)는 R의 이산 하위 집합 {f(r) : r ∈ V}에 의해 고유하게 정의된다.
2. 각 s ∈ A에는₀ A의₀ 특수 함수 λ이_s 연관되어 있다.r = s인 경우 ((r) = 1이고 s인 경우 λ_ss(r₀) = 0으로 정의된다.P(A₀)에 있는 이러한 특별한 요소들을 단순한 텐트라고 부른다.특수 단순 텐트 λ_1/2(t)는 λ(t)로 표시된다.

순서 0의 Strömberg 파랑의 연산

이미 관측한 바와 같이 스트롱베르크 파장⁰ S(t)는⁰ 세트 {S(r₁) : r }. A }에 의해 완전히 결정된다. 스트롱베그 파장의 정의 특성을 이용하여 이 세트의 원소에 대한 정확한 표현을 계산할 수 있으며, 그것들은 아래에 제시되어 있다.^[2]

${\$$S^{0}(1)({\sqrt{3}-2)^{k-1}$ $k{\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle 2}$,${\displaystyle }$3${\displaystyle }$,${\displaystyle }$… ${\displaystyle k=1,2,3,\$ldots $}$에 대해$$ {\displaystyle k$=1$,2,3,\$ldots$}

${\displaystyle S^{0}({\tfrac {1}{2}})=-S^{0}(1)\좌측({\sqrt{3}+{\tfrac {1}{1}:{2}}\오른쪽)}$

${\displaystyle S^{0}(0)=S^{0}(1)(2{\sqrt{3}-2)}$

${\$$S$$^{0}(1)(2{\sqrt{3}-2)({\sqrt{3}-2)^{k}}:$ $k{\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle 2}$,${\displaystyle 3}$,${\displaystyle }$… ${\displaystyle k=1,2,3,\ldots }}}$

여기서 S⁰(1)는 S⁰(t) = 1처럼 일정하다.

주문 0의 Strömberg 웨이브에 대한 일부 추가 정보

순서 0의 Strömberg 웨이브에는 다음과 같은 특성이 있다.^[2]

• Strömberg 파장 S⁰(t)는 t 축에 대하여 진동한다.
• Strömberg 파도 S⁰(t)는 기하급수적인 붕괴를 가지고 있다.
• t의 양의 적분 값과 t의 음의 반 적분 값에 대한 S⁰(t) 값은 다음과 같다.${\displaystyle S^{0}(-k/2)=(10-6{\sqrt{3})$$k$ = ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle 2}$,${\displaystyle 3}$, …에 대한 S$^{0}(k)},$${\displaystyle k=1,2,3,\ldots \,.}$

참조