프로베니우스 대수

수학에서, 특히 표현 이론과 모듈 이론의 분야에서, 프로베니우스 대수학은 알헤브라에게 특히 멋진 이중성 이론을 부여하는 특별한 종류의 이선형 형태의 유한 차원 단항 연관 대수학이다. 프로베니우스 알헤브라는 1930년대에 리처드 브라워와 세실 네스빗에 의해 연구되기 시작했고 페르디난드 프로베니우스의 이름을 따서 명명되었다. 나카야마 다다시는 풍부한 이중성 이론(나카야마 1939), (나카야마 1941)의 시작을 발견했다. 장 디우도네(Jean Dieudonné)는 이것을 프로베니우스 알헤브라스(Dieudonné 1958)의 특징을 나타내기 위해 사용했다. 프로베니우스 알헤브라는 준프로베니우스 고리로 일반화되었는데, 그 노메테리아 고리는 규칙적으로 주사를 놓는다. 근래에는 위상 양자장 이론과의 연관성 때문에 프로베니우스 알헤브라에 대한 관심이 새로워지고 있다.

정의

필드 k에 대해 정의된 유한차원, 단이탈적 연관 대수 A는 다음과 같은 방정식을 만족하는 비탈면체 이선형식 : : A × A → k를 갖추면 프로베니우스 대수학이라고 한다. 이 이선형식을 대수학의 프로베니우스형이라고 한다.

동등하게, A에 선형 기능 kernel : A → k를 장착하여 λ의 커널이 A의 비제로 좌편향 이상을 포함하지 않도록 할 수 있다.

프로베니우스 대수학(Probenius 대수학)은 σ(a·b) = λ(b·a)를 만족하면 대칭이라고 한다.

벡터 공간의 대칭 대수학에는 다른, 대부분 관련이 없는 개념도 있다.

나카야마오토모피즘

위와 같은 σ을 가진 프로베니우스 대수 A의 경우, σ(a, b) = ((b), a가 A와 σ과 연관된 나카야마 오토모프리즘과 같은 A의 오토모프리즘 ν이다.

예

필드 k에 대해 정의된 모든 행렬 대수학은 프로베니우스가 σ(a,b)=tr(a,b)를 갖는 프로베니우스 대수학이며 tr은 추적을 나타낸다.
임의의 유한차원 단수적 연관 대수 A는 그 자체의 내형성 고리 End(A)에 대한 자연적인 동형성을 가진다. 이선형식은 앞의 예에서 A에 정의될 수 있다. 만약 이 이선형식이 비데오네이션이라면, 그것은 A에 프로베니우스 대수학의 구조를 갖추게 된다.
한 분야를 넘는 유한집단의 모든 집단 링은 프로베니우스 대수인데, 프로베니우스는 a·b에 있는 정체성 원소의 계수 ((a,b)를 형성한다. 이것은 사례 2의 특별한 경우다.
필드 k의 경우 4차원 k-알제브라 k[x,y]/ (x²², y)는 프로베니우스 대수학이다. 이 반지는 x와 y에 의해 생성되는 최대 이상과 xy에 의해 생성되는 고유한 최소 이상을 가진 국소적인 링이기 때문에 이는 아래의 지역적인 프로베니우스 링의 특성화에 따른 것이다.
필드 k의 경우 3차원 k-알제브라 A=k[x,y]/ (x, y)²는 프로베니우스 대수학이 아니다. xA에서 x ↦ y에 의해 유도된 A 동형성은 A에서 A로 확장될 수 없으며, 이는 반지가 자기주장이 아니므로 프로베니우스가 아님을 보여준다.
1969년 Hopf 모듈 및 통합에 대한 Larson-Sweedler의 정리에 의한 모든 유한 차원 Hopf 대수.

특성.

프로베니우스 알헤브라의 직접 생산품과 텐서 제품은 프로베니우스 알헤브라스다.
한 분야에 걸친 유한 차원 교환 국소 대수학은 적절한 정규 모듈이 주입되는 경우 및 주입되는 경우에만 프로베니우스(Frobenius)이다. 만약 대수가 고유한 최소 이상을 갖는 경우 및 그 경우에만 그렇다.
교감적인, 지역적인 프로베니우스 알헤브라는 정확히 그들의 잔여장이 들어 있는 0차원 지역 고렌슈타인 고리이며 그 위에 유한한 차원이다.
프로베니우스 알헤브라는 준프로베니우스 고리인데, 특히 좌·우 아르티니아어, 좌·우 자기주장을 한다.
필드 k의 경우, 주입 우측 A-module_k Hom(A,k)이 A의 올바른 정규 표현에 이형인 경우에만 유한 차원, 단수 결합 대수학은 프로베니우스다.
무한 영역 k의 경우, 유한 차원, 단위적, 연상적 k-algebra는 프로베니우스 대수학이다. 만약 그것이 미세하게 많은 최소한의 권리 이상을 가지고 있다면 말이다.
F가 k의 유한차원 확장장이라면, 유한차원 F-알제브라는 스칼라의 제약을 통해 자연적으로 유한차원 k-알제브라가 되며, 프로베니우스 k-알제브라일 경우에만 프로베니우스 F-알제브라가 된다. 즉, 프로베니우스 속성은 대수가 유한차원 대수학으로 남아 있는 한 그 분야에 의존하지 않는다.
마찬가지로 F가 k의 유한한 차원 확장장이라면 모든 k-알지브라 A는 F 대수 F _ka A로 자연발생하며, A는 F ⊗_k A가 프로베니우스 F-알지브라일 경우에만 프로베니우스 k-알지브라일 것이다.
프로베니우스 알헤브라스 A는 규칙적인 표현이 주입식인 유한차원, 일이탈적, 연상적 알헤브라스 중에서, 정밀하게 간단한 모듈 M이 그들의 A-듀얼인 Hom_A(M,A)과 같은 차원을 가진 알헤브라스들이다. 이 알헤브라스 중에서, 간단한 모듈의 A-dual은 항상 간단하다.

범주-이론적 정의

카테고리 이론에서 프로베니우스 개체의 개념은 카테고리 내 프로베니우스 대수학의 추상적인 정의다. 프로베니우스 물체 $(A,\mu ,\eta ,\delta ,\varepsilon )$ $(A,\mu ,\eta ,\delta ,\varepsilon )$ $(A,\mu ,\eta ,\delta ,\varepsilon )$ , $(A,\mu ,\eta ,\delta ,\varepsilon )$ ) {\ $displaystyle (A,\mu$ $(C,\otimes ,I)$ $eta ,\delta ,\varemsilon )}$ 단면체 범주 $(A,\mu ,\eta ,\delta ,\varepsilon )$ $C,\otimes ,I)$ 는 C의 물체 A와 4개의 형태와 함께 구성된다 $(C,\otimes ,I)$ .

\displaystyle \mu :A\to A,\qquad \eta :I\to A,\qquad \delta :A\to A\to A\qquad \mathrm {and} \qquad \varepsilon :A\to I}

그런

$(A,\mu ,\eta )\,$ , $(A,\mu ,\eta )\,$ , $(A,\mu ,\eta )\,$ ) ${\$ 은 $(A,\mu ,\eta )\,$ (는) C의 단조형 물체다.
$(A,\delta ,\varepsilon )$ , $(A,\delta ,\varepsilon )$ , $(A,\delta ,\varepsilon )$ ) $(A,\delta ,\varepsilon )$ 은 $(A,\delta ,\varepsilon )$ C,
도표

그리고

통근(단일화 범주 C가 엄격한 경우 여기서 도표가 제공됨) 및 프로베니우스 조건이라고 알려져 있다.^[1]

보다 압축적으로 말하면 C에서 프로베니우스 대수학은 이른바 프로베니우스 모노이드 펑터 A:1 → C인데, 여기서 1은 하나의 물체와 하나의 화살표로 구성된 범주다.

프로베니우스 대수학은 $\mu \circ \delta =\mathrm {Id} _{A}$ = I $\mu \circ \delta =\mathrm {Id} _{A}$ $\mu \circ \delta =\mathrm {Id} _{A}$ ${\$ { $Id}$ 일 경우 등축 또는 특수라고 불린다.

적용들

프로베니우스 알헤브라는 원래 유한집단의 대표이론에 대한 조사의 일환으로 연구되었으며, 수 이론, 대수 기하학, 조합론 연구에 기여하였다. 그들은 콤팩트 지향 다지관의 홉프 알제브라, 코딩 이론, 코호몰로지 링을 연구하는 데 사용되어 왔다.

위상 양자장 이론

프로베니우스 대수학의 제품과 공동효과는 바지 한 벌에 적용되는 (1+1)차원 위상 양자장 이론의 functor로 해석할 수 있다.

최근에는 위상 양자장 이론의 대수학적 치료와 자명적 기초에 중요한 역할을 하는 것으로 보여지고 있다. 정류형 프로베니우스 대수학에서 a(1+1)차원 TQFT를 고유하게 결정한다. 더 정확히 말하면, 교감형 프로베니우스 K-algebras 범주는 2-Cob(1차원 다지관 사이의 2차원 자갈의 범주)부터 벡트_K(K 위에 있는 벡터 공간의 범주)까지 대칭적인 강한 단원형 functors 범주에 해당한다.

TQFTs와 프로베니우스 알헤브라스 간의 통신 내용은 다음과 같다.

1차원 다지관은 원의 분리된 결합이다: TQFT는 벡터 공간을 원과 결합하고, 벡터 공간의 텐서 생산물은 원의 분리된 결합을 결합한다.
TQFT는 벡터 공간 사이의 지도, 다지관 사이의 각 거미줄에 (직접적으로) 연관된다.
바지의 한 쌍과 관련된 지도(1원 2원 사이의 거미줄)는 경계 구성요소의 그룹화에 따라 제품 맵 V v V → V or 또는 공동 유도 맵 V → V ⊗ V를 제공하는데, 이 맵은 유사하거나 유사하며,
디스크와 관련된 지도는 경계 그룹에 따라 상담(교차) 또는 단위(교차)를 제공한다.

프로베니우스 알헤브라와 (1+1)차원 TQFT 사이의 이러한 관계는 Khovanov의 존스 다항식 분류에 대해 설명하는 데 사용될 수 있다.^[2]^[3]

일반화: 프로베니우스 연장

B를 단성 연관 고리 A의 정체성 요소를 공유하는 하위 링이 되게 하라. 이것은 링 익스텐션 A B로도 알려져 있다. 그런 고리 연장을 프로베니우스라고 한다.

모든 b,c ∈ B와 ∈ A에 대해 바이모듈 조건 E(bac) = bE(a)c를 만족하는 선형 매핑 E: A → B가 있다.
$\{x_{i}\}_{i=1}^{n}$ 에는 { $\{x_{i}\}_{i=1}^{n}$ $\{x_{i}\}_{i=1}^{n}$ $\{x_{i}\}_{i=1}^{n}$ i $\{x_{i}\}_{i=1}^{n}$ = $\{x_{i}\}_{i=1}^{n}$ ${\$ $\{y_{i}\}_{i=1}^{n}$ 및 { $\{y_{i}\}_{i=1}^{n}$ } $\{y_{i}\}_{i=1}^{n}$ = $\{y_{i}\}_{i=1}^{n}$ ${\$ \{ $y_{i}\}_{i=$ 1}^{ $n}}}}}$ 에 다음과 같은 요소가 있다 $\{y_{i}\}_{i=1}^{n}$ .

\sum \sum _{i=1}^{n(ax_{i}y_{n}=a=\sum _{i=1}x_{i}E(y_{i}a)}}

지도 E는 때때로 프로베니우스 동형성(Frobenius homomorphism)으로, $x_{i},y_{i}$ $x_{i},y_{i}$ i $x_{i},y_{i}$ y $x_{i},y_{i}$ , ${\$ 를 이중 베이스로 언급하기도 $x_{i},y_{i}$ 한다. (연습으로서, 방금 주어진 방정식이 카운티 E의 카운슬 방정식이 된 B-B-비모듈의 범주에서 프로베니우스 대수-석탄거 물체로서 프로베니우스 확장의 동등한 정의를 내릴 수 있다.)

예를 들어, 연상 비데오제 이선형(-,-) 및 투사형 K-bases $x_{i},y_{i}$ $x_{i},y_{i}$ $x_{i},y_{i}$ i ${\$ }, $y_{i}}}}}$ 과(a,1)가 있는 프로베니우스 확장형 A K이다 $x_{i},y_{i}$ . 프로베니우스 확장의 다른 예로는 유한지수의 하위그룹과 연관된 그룹 알헤브라의 쌍, 세미이행 호프 대수학의 호프 하위게브라의 쌍, 갈루아 확장 및 유한지수의 특정 폰 노이만 대수 하위요소가 있다. 프로베니우스 확장의 또 다른 예로는 프로베니우스 알헤브라의 특정 아발지브라 쌍이 있는데, 여기서 아발지브라 쌍은 오버발지브라(overalgebra)의 대칭 자동형성에 의해 안정화된다.

그룹 링 사례의 세부적인 내용은 그룹 이론에서 다음과 같은 기본 개념의 적용이다. G는 집단이 되고 H는 G에서 유한 지수 n의 하위집단이 되게 하라; g₁, ..., g_n.는 코제트 대표자를 남겨두게 하여 G는 코제트 gH₁, ..., gH의_n 분리 결합이 되게 한다. 어떤 교호적 베이스 링 k에 걸쳐서 그룹 알제브라 A = k[G]와 B = k[H]를 정의하므로 B는 B의 하위집단이 된다. E(h) = H의 모든 H에 대해 h가 되도록 하여 프로베니우스 동형성 E: A → B를 정의하고, H의 모든 H에 대해 E(g) = g가 아닌 0: 이것을 기본 그룹 요소에서 A의 전체로 선형적으로 확장하여 B-B-비모듈 투영을 얻는다.

E\left(\sum _{g\in G}n_{g}g\right)=\sum _{h}n_{h}h\\\\{n_{g}\in k}의 경우 {\text{

(정형도 $E(g_{i}^{-1}g_{j})=\delta _{ij}1$ E $E(g_{i}^{-1}g_{j})=\delta _{ij}1$ i $E(g_{i}^{-1}g_{j})=\delta _{ij}1$ - 1 $E(g_{i}^{-1}g_{j})=\delta _{ij}1$ $E(g_{i}^{-1}g_{j})=\delta _{ij}1$ ) $E(g_{i}^{-1}g_{j})=\delta _{ij}1$ = $E(g_{i}^{-1}g_{j})=\delta _{ij}1$ $E(g_{i}^{-1}g_{j})=\delta _{ij}1$ j $E(g_{i}^{-1}g_{j})=\delta _{ij}1$ ${\displaystyle E(g_{i}^{-1g_{j}}=\delta _{ij}1}})$ 뒤에 $E(g_{i}^{-1}g_{j})=\delta _{ij}1$ 온다.) 이중 베이스는 x $x_{i}=g_{i},y_{i}=g_{i}^{-1}$ = $x_{i}=g_{i},y_{i}=g_{i}^{-1}$ $x_{i}=g_{i},y_{i}=g_{i}^{-1}$ $x_{i}=g_{i},y_{i}=g_{i}^{-1}$ $x_{i}=g_{i},y_{i}=g_{i}^{-1}$ = $x_{i}=g_{i},y_{i}=g_{i}^{-1}$ $x_{i}=g_{i},y_{i}=g_{i}^{-1}$ - $x_{i}=g_{i},y_{i}=g_{i}^{-1}$ ${\$ i}^{- $1}$ 이 다음부터 주어진다 $x_{i}=g_{i},y_{i}=g_{i}^{-1}$

\sum _{i=1}^{n}g_{i}E\left(g_{i}^{-1}\sum _{g\in G}n_{g}g\right)=\sum _{i}\sum _{h\in H}n_{g_{i}h}g_{i}h=\sum _{g\in G}n_{g}g

다른 이중 베이스 방정식은 G $Hg_{1}^{-1},\ldots ,Hg_{n}^{-1}$ 오른쪽 코스메츠 $Hg_{1}^{-1},\ldots ,Hg_{n}^{-1}$ $Hg_{1}^{-1},\ldots ,Hg_{n}^{-1}$ $Hg_{1}^{-1},\ldots ,Hg_{n}^{-1}$ - 1 $Hg_{1}^{-1},\ldots ,Hg_{n}^{-1}$ , $Hg_{1}^{-1},\ldots ,Hg_{n}^{-1}$ … $Hg_{1}^{-1},\ldots ,Hg_{n}^{-1}$ H $Hg_{1}^{-1},\ldots ,Hg_{n}^{-1}$ - $Hg_{1}^{-1},\ldots ,Hg_{n}^{-1}$ ${\$ 1}- $1},\dots ,Hg_{n}^{1}-1$ }의 분리 결합이라는 관측에서 도출될 수 있다 $Hg_{1}^{-1},\ldots ,Hg_{n}^{-1}$

또한 홉프-갈루아 확장자는 1989년부터 크레이머와 타케우치의 정리에 의한 프로베니우스 확장이다. 이것의 간단한 예는 불변성의 하위격자(subalgebra)가 있는 대수 A에서 자동화에 의해 작용하는 유한군 G이다.

B=\{x\in A\mid \forall g\in G,g(x)=x\

DeMeyer의 기준 A에 따르면 A에 $\{a_{i}\}_{{i=1}}^{n},\{b_{i}\}_{{i=1}}^{n}$ 만족스러운 요소가 $\{a_{i}\}_{i=1}^{n},\{b_{i}\}_{i=1}^{n}$ { $\{a_{i}\}_{i=1}^{n},\{b_{i}\}_{i=1}^{n}$ $\{a_{i}\}_{i=1}^{n},\{b_{i}\}_{i=1}^{n}$ $\{a_{i}\}_{i=1}^{n},\{b_{i}\}_{i=1}^{n}$ = $\{a_{i}\}_{i=1}^{n},\{b_{i}\}_{i=1}^{n}$ { b $\{a_{i}\}_{i=1}^{n},\{b_{i}\}_{i=1}^{n}$ $\{a_{i}\}_{i=1}^{n},\{b_{i}\}_{i=1}^{n}$ $\{a_{i}\}_{i=1}^{n},\{b_{i}\}_{i=1}^{n}$ = $\{a_{i}\}_{i=1}^{n},\{b_{i}\}_{i=1}^{n}$ ${\$ \{ $a_{i}\}{i=1}^{n},\{b_{i}\}}_{i=$ 1}^{ $n}}}}}.$

\forall g\in G:\\\sum _{i=1}^{n}a_{i}g(b_{i})=\delta _{g,1_{G1}_{A}}}

언제 또한

\forall g\in G:\\\sum _{i=1}^{n1}g(a_{i}b_\i}=\delta _{g,1_{G}1_{A}.

그 다음에 A는 프로베니우스 확장자로 E: A → B가 정의되어 있다.

E(a)=\sum _{g\in G}g(a)

만족스러운

\forall x\in A:\ \sum _{i=1}{n1}^{n(xa_{i})b_{i}=x=\sum _{i=1}a_{n}E(b_{i}x)

(Furthermore, an example of a separable algebra extension since ${\textstyle e=\sum _{i=1}^{n}a_{i}\otimes _{B}b_{i}}$ is a separability element satisfying ea = ae for all a in A as well as ${\textstyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}=1}$ . Also an example of a dep이후 두 개의 서브링(B in A)

a\otimes _{B}1=\sum _{g\in G}t_{g}g(a)

어디에

t_{g}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}\otimes _{B}g(b_{i}}}}}}}}

G와 A의 각 G에 대해)

프로베니우스 연장은 1950년대와 1960년대에 카슈와 파리지스, 나카야마, 쯔주쿠가 논문에서 조사한 유도표현 이론이 잘 발달되어 있다. 예를 들어 각 B-모듈 M에 대해 유도 모듈 A ⊗_B M(M이 왼쪽 모듈인 경우)과 공동 유도 모듈 Hom_B(A, M)은 A-모듈로서 자연적으로 이형성(E와 이중 베이스가 주어진 이형성을 정의한다)이다. 1960년 카슈의 내형성 고리 정리는 만약 AB가 프로베니우스 연장이라면, A → End(A_B)도 마찬가지라고 기술하고 있는데, 여기서 각 a,x ∈ A에 대해 )(x)와 λ_a_a(x) = 도끼에 의해 매핑이 주어진다. 내형성 고리 이론과 대화는 나중에 뮬러, 모리타, 오노데라 등이 조사하였다.

참고 항목

참조

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^ Bar-Natan, Dror (2005), "Khovanov's homology for tangles and cobordisms", Geom. Topol., 9 (3): 1443–1499, arXiv:math/0410495, Bibcode:2004math.....10495B, doi:10.2140/gt.2005.9.1443, S2CID 1247623
^ Paul Turner (2006), Five Lectures on Khovanov Homology, arXiv:math/0606464v1, Bibcode:2006math......6464T

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DeMeyer, F., Ingraham, E. (1971), Separable Algebras over Commutative Rings, Lect. Notes Math, 181, Springer
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Frobenius, Ferdinand Georg (1903), "Theorie der hyperkomplexen Größen I", Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften (in German): 504–537, JFM 34.0238.02
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외부 링크

로스 스트리트, 프로베니우스 알헤브라스 및 단면체 범주

[1] Pavlovic, Dusko (2013), "Monoidal computer I: Basic computability by string diagrams", Information and Computation, 226: 94–116, arXiv:1208.5205, doi:10.1016/j.ic.2013.03.007, S2CID 17127693

[2] Bar-Natan, Dror (2005), "Khovanov's homology for tangles and cobordisms", Geom. Topol., 9 (3): 1443–1499, arXiv:math/0410495, Bibcode:2004math.....10495B, doi:10.2140/gt.2005.9.1443, S2CID 1247623

[3] Paul Turner (2006), Five Lectures on Khovanov Homology, arXiv:math/0606464v1, Bibcode:2006math......6464T

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