고렌슈타인 반지

정류 대수학에서 고렌슈타인 국부 링은 R-모듈로서 주입 치수가 유한한 정류 노메테리아 국부 링 R이다.많은 동등한 조건들이 있는데, 그 중 일부는 고렌슈타인 반지는 어떤 의미에서는 자기이중이라고 종종 말한다.

고렌슈타인 링은 그로텐디크가 1961년 (하트쇼른 1967년) 세미나에서 소개한 것이다.이 이름은 고렌슈타인(1952)이 연구한 단수 평면 곡선의 이중성 특성에서 유래한다(고렌슈타인 반지의^{[citation needed]} 정의를 이해하지 못한다고 주장하기를 좋아했다).0차원 사건은 맥컬레이(1934년)에 의해 연구되었다.세레(1961년)와 바스(1963년)는 고렌슈타인 반지의 개념을 공론화했다.

프로베니우스 링은 0차원 고렌슈타인 링의 비확정적 아날로그다.고렌슈타인 계략은 고렌슈타인 고리의 기하학적 버전이다.

노메테리아 지방 고리에 대해서는 다음과 같은 포함 사슬이 있다.

보편적으로 코헨-맥컬레이 링 고렌슈타인 링 고렌슈타인 링 고렌스테인 링 완전 교차 링 regular 일반 지역 링

정의들

고렌슈타인 링(Gorenstein ring)은 위에서 정의한 바와 같이 원시 이상에서 각각의 국산화(localization)가 고렌슈타인 국부 반지일 정도로 교감형 노메트리안 링이다.고렌슈타인 반지는 특히 코헨-매컬레이이다.

한 가지 기본적인 특성: 치수 0의 노메트리안 국부 링 R(동일하게, R-모듈로 길이가 유한한 R)이 K-벡터 공간으로 치수 1을 갖는 경우 고렌슈타인이어야 하며, 여기서_R k는 동등하게 R.모듈의 잔류장이다.^[1]보다 일반적으로, 노에테리아 지방 링 R은 Gorenstein이다. 만약 정규₁ 시퀀스 a, ...,a가_n R의 최대 이상에 있을 경우에만, 그래서 지수 링 R/(a₁,...,a_n)는 차원 0의 Gorenstein이다.

예를 들어, R이 k-벡터 공간으로서 유한한 치수를 갖는 필드 k에 대한 역차급 대수라면, R = k k₁ R ⊕ ...⊕ R_m, 그 다음 R은 Poincaré의 이중성을 만족하는 경우에만 고렌슈타인이 된다. 즉, 최상위 등급의 조각_m R은 치수 1을 가지고 있고 제품_a R × R_m−a → R은_m a마다 완벽한 짝을 이룬다.^[2]

Another interpretation of the Gorenstein property as a type of duality, for not necessarily graded rings, is: for a field F, a commutative F-algebra R of finite dimension as an F-vector space (hence of dimension zero as a ring) is Gorenstein if and only if there is an F-linear map e: R → F such that the symmetric bilinear form (x, y) := e(xy) on R(F-벡터 공간으로서) 비감속형이다.^[3]

Krull 치수 n의 정류 노메테리아 로컬 링(R, m, k)의 경우, 다음과 같다.^[4]

• R은 R-모듈로서 유한한 주입 치수를 가진다.
• R에는 R-모듈로서 주입 치수 n이 있다.
• The Ext group ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{i}(k,R)=0}$ for i ≠ n while ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{n}(k,R)\cong k;}$
• ${\displaystyle {}_{}^{}}$일부 i > n에 대한$$ ${\displaystyle {\mathrm{Ext}}_{}^{}}$ R ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle (k}$, R${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{i}(k,R)=0};$
• ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{i}(k,R)=0}$ for all i < n and ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{n}(k,R)\cong k;}$
• R은 n차원 고렌슈타인 링이다.

좌측 R-모듈로서나 우측 R-모듈로서 모두 R이 유한한 주입 치수를 가지면 (상호응용될 필요는 없음) 링 R을 고렌슈타인이라고 한다.R이 국부 반지라면 R은 국부 고렌슈타인 반지라고 한다.

예

• 모든 지역 전체 교차로 고리, 특히 모든 일반 지역 고리들은 고렌슈타인이다.
• 링 R = k[x,y,z]/(x²², y, xz, yz, z-xy²)는 완전한 교차 링이 아닌 0차원 고렌슈타인 링이다.자세한 내용: k-벡터 공간으로서의 R에 대한 근거는 다음과 같이 제시된다$:{\displaystyle }$ {${\displaystyle 1,}$ x${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle y,}$ ${\displaystyle z,}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}\}.}$ ${\displaystyle$\{$1,x,y,z^{2}\}$ $R$은 socle이 k-벡터 공간으로서 치수 1을 가지므로² gorenstein이다.또는, R이 같은 정도의 x, y, z가 모두 있는 등급의 링으로 볼 때 푸앵카레 이중성을 만족시키는 것을 관찰할 수 있다.드디어.R은 발전기가 3개 있고 최소 5개(3개가 아닌)의 관계를 가지고 있기 때문에 완전한 교차로라고 할 수 없다.

• R = k[x,y]/(x², y², xy)는 0차원 코헨-매컬레이 링으로 고렌슈타인 링이 아니다.자세한 내용: ${\displaystyle \mathrm{k-벡터}}$ 공간으로서의 R에 대한 근거는 다음과 같다:${\displaystyle }${ 1,${\displaystyle x,}$ y${\displaystyle \}.}$ ${\displaystyle \{1,x,y\}.}$ $R$은 x와 y로 확장된 k-벡터 공간으로서 치수 2를 가지고 있기 때문에 고렌슈타인이 아니다.

특성.

• 노메테리아 지방반지는 고렌슈타인이면 완성되는 경우에만 고렌슈타인이다.^[5]

• 고렌슈타인 국부 링 R의 정식 모듈은 R과 이형성이다.기하학적으로 볼 때, 필드 위에 놓인 고렌슈타인 체계 X의 표준 이원화 콤플렉스는 단순히 선다발(dimm(X)으로 보기)이며, 이 선다발을 X의 표준다발이라고 한다.세레 이중성은 정식 번들을 사용하여, 부드러운 케이스에서와 마찬가지로 고렌슈타인 계략에 대해서도 같은 형태를 취한다.

등급이 매겨진 링 R의 맥락에서, 고렌슈타인 링 R의 표준 모듈은 어느 정도 이동하면 R과 이형화된다.^[6]

• 치수 n의 고렌슈타인 국부 링(R, m, k)에 대해 그로텐디크 국부 이중성은 다음과 같은 형태를 취한다.^[7]E(k)를 R-모듈로서 잔류장 k의 주입 선체가 되게 한다.Then, for any finitely generated R-module M and integer i, the local cohomology group ${\displaystyle H_{m}^{i}(M)}$ is dual to ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{n-i}(M,R)}$ in the sense that:

${\displaystyle H_{m}^{i}(M)\cong \operatorname {Hom} _{R}^{R}^{n-i}(M,R),E(k)}$

• 스탠리는 R이 필수 영역인 필드 k에 대해 정밀하게 생성된 정류 대수 R의 경우, 고렌슈타인 속성은 힐버트 시리즈와 함께 코헨-매컬레이 속성에만 의존한다는 것을 보여주었다.

${\displaystyle f(t)=\sum \nolimits _{j}\dim _{k}(R_{j}t^{j}.}$

즉, 등급화된 도메인 R은 코헨-매컬레이이고 힐버트 시리즈가 대칭인 경우에만 고렌슈타인이다.

${\displaystyle f\left({\tfrac {1}{t}\right)=(-1)^{n}t^{s}f(t)}$

일부 정수 s에 대해, 여기서 n은 R의 치수다.^[8]

• Let (R, m, k)는 c = 딤_k(m/m²) - 딤(R)을 포함하는 노메트리안 지역 고리인 것이다.기하학적 용어로, 이것은 규칙적인 구조에서 코디멘션 c의 지역적 고리를 위한 것이다.c의 경우, 세레는 R이 완전한 교차로일 경우에만 고렌슈타인임을 보여주었다.^[9]부크스바움, 아이젠부드 등에 의한 대칭행렬의 파피안(Pafifians)의 관점에서 코다이멘션 3의 고렌슈타인 고리에 대한 구조 정리도 있다.^[10]

메모들

참조

• Bass, Hyman (1963), "On the ubiquity of Gorenstein rings", Mathematische Zeitschrift, 82: 8–28, CiteSeerX 10.1.1.152.1137, doi:10.1007/BF01112819, ISSN 0025-5874, MR 0153708
• Bruns, Winfried; Herzog, Jürgen (1993), Cohen–Macaulay rings, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 39, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-41068-7, MR 1251956
• Eisenbud, David (1995), Commutative Algebra with a View toward Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, vol. 150, Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-4612-5350-1, ISBN 978-0-387-94268-1, MR 1322960
• Gorenstein, Daniel (1952), "An arithmetic theory of adjoint plane curves", Transactions of the American Mathematical Society, 72: 414–436, doi:10.2307/1990710, ISSN 0002-9947, JSTOR 1990710, MR 0049591
• Hartshorne, Robin (1967), Local Cohomology. A seminar given by A. Grothendieck, Harvard University, Fall 1961, Lecture Notes in Mathematics, vol. 41, Berlin-New York: Springer-Verlag, MR 0224620
• "Gorenstein ring", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Huneke, Craig (1999), "Hyman Bass and ubiquity: Gorenstein rings", Algebra, K-Theory, Groups, and Education, American Mathematical Society, pp. 55–78, arXiv:math/0209199, doi:10.1090/conm/243/03686, MR 1732040
• Lam, Tsit Yuen (1999), Lectures on modules and rings, Graduate Texts in Mathematics, vol. 189, Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-4612-0525-8, ISBN 978-0-387-98428-5, MR 1653294
• Macaulay, Francis Sowerby (1934), "Modern algebra and polynomial ideals", Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 30 (1): 27–46, Bibcode:1934PCPS...30...27M, doi:10.1017/S0305004100012354, ISSN 0305-0041, JFM 60.0096.02
• Matsumura, Hideyuki (1989), Commutative Ring Theory, Cambridge Studies in Advanced Mathematics (2nd ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-36764-6, MR 0879273
• Serre, Jean-Pierre (1961), Sur les modules projectifs, Séminaire Dubreil. Algèbre et théorie des nombres, vol. 14, pp. 1–16
• Stanley, Richard P. (1978), "Hilbert functions of graded algebras", Advances in Mathematics, 28: 57–83, doi:10.1016/0001-8708(78)90045-2, MR 0485835