등분할

기하학에서 등분면은 다각형에서 동일한 면적의 삼각형으로 분할된 것입니다.등거리에 대한 연구는 1960년대 후반에 정사각형을 홀수 ^[1]삼각형으로 나눌 수 없다는 몬스키의 정리와 함께 시작되었다.사실 대부분의 폴리곤은 ^[2]등분할 수 없습니다.

많은 문헌들이 몬스키의 정리를 더 넓은 다각형 클래스로 일반화하는 것을 목표로 하고 있다.일반적인 질문은 다음과 같습니다.어떤 폴리곤을 몇 조각으로 등분할 수 있습니까?사다리꼴, 연, 정다각형, 중심 대칭 다각형, 폴리미노 및 하이퍼큐브에 ^[3]특히 주의를 기울였습니다.

이퀄리세스는 직접적인 응용이 ^[4]많지 않다.처음에는 결과가 직관에 어긋나기 때문에 흥미로운 것으로 간주되며, 이러한 단순한 정의의 기하학적 문제에 대해서는 이론이 놀랍도록 정교한 대수적 도구를 필요로 합니다.많은 결과는 p-adic 평가를 실제 수치로 확장하고 Sperner의 보조항목을 보다 일반적인 색 ^[5]그래프로 확장하는 데 의존한다.

개요

정의들

폴리곤 P의 해부는 겹치지 않고 결합이 모두 P인 유한한 삼각형 집합이며, n개의 삼각형으로 이루어진 해부를 n개의 단면이라고 하며, n이 짝수인지 ^[5]홀수인지에 따라 짝수 단면 또는 홀수 단면이라고 한다.

등분면은 모든 삼각형이 동일한 면적을 갖는 단면이다.폴리곤 P의 경우, P의 n-등분면이 존재하는 모든 n의 집합을 P의 스펙트럼이라고 하며, S(P)로 표기한다.일반적인 이론적 목표는 주어진 ^[6]폴리곤의 스펙트럼을 계산하는 것입니다.

삼각형이 공통 모서리만 따라 만나는 경우 절개를 단순이라고 합니다.일부 저자는 특히 이차 문헌에서 다루는 것이 더 쉽기 때문에 단순 해부에 주의를 제한한다.예를 들어, Sperner의 보조명언은 단순한 해부에만 적용된다.삼각형의 정점은 폴리곤의 정점 또는 모서리로 제한되지 않지만 단순 절개를 삼각 측량이라고 하는 경우가 많습니다.따라서 간단한 등가식을 등면적 삼각 ^[7]측량이라고도 합니다.

항은 고차원 폴리토프까지 확장할 수 있습니다. 등분면은 동일한 ^[8]n-부피를 가진 단순체의 집합입니다.

예단

모든 n에 대해 삼각형의 n등분면을 찾는 것은 쉽다.그 결과 폴리곤에 m-등분면이 있는 경우에는 모든 n에 대한 mn-등분면도 있습니다.사실, 종종는 다각형의 주파수 정확하게 몇가지 m의 배수, 이 사건의 기반이 되는 스펙트럼에 의해 그리고 다각형 원금과 주파수 예를 들어 ⟨ m⟩{\langle m\rangle\displaystyle}.[2]표시됩니다, 삼각형의 주파수가⟨ 1⟩{\displaystyle \langle 1\rangle}. 단순한 예라고 불린다로 구성되어 있다.a비직접 다각형은 정점(0, 0), (1, 0), (0, 1) (3/2, 3/2)이 있는 사각형이며 스펙트럼은 2와 3을 포함하지만 ^[9]1은 포함하지 않습니다.

평면의 아핀 변환은 변환, 균일 및 불균일 스케일링, 반사, 회전, 가위 및 기타 유사점과 선형 지도를 포함한 등분석을 연구하는 데 유용합니다.아핀 변환은 면적의 직선과 비율을 유지하므로 등분산 값을 등분산 값으로 보냅니다.즉, 폴리곤에 아핀 변환을 자유롭게 적용할 수 있으므로 폴리곤을 보다 관리하기 쉬운 형태로 만들 수 있습니다.예를 들어, 폴리곤의 세 꼭지점 중 (0, 1), (0, 0) 및 (1, 0)^[10]이 되도록 좌표를 선택하는 것이 일반적입니다.

아핀 변환이 등식을 유지한다는 사실은 또한 특정 결과가 쉽게 일반화될 수 있다는 것을 의미합니다.정규 폴리곤에 대해 기술된 모든 결과는 아핀 정규 폴리곤에도 적용됩니다. 특히 단위 사각형에 관한 결과는 직사각형 및 마름모를 포함한 다른 평행사변형에도 적용됩니다.정수 좌표가 있는 폴리곤에 대해 명시된 모든 결과는 합리적인 좌표가 있는 폴리곤 또는 정점이 다른 격자에 ^[11]있는 폴리곤에도 적용됩니다.

최고의 결과

몬스키의 정리에 따르면 정사각형은 홀수 등식이 없기 때문에 스펙트럼은${\displaystyle \mathrm{\theta 2}}${\(\$style \langle$ 2$\rangle$^[1]이다.더 일반적으로 중심 대칭 폴리곤과 폴리오미노에는 홀수 ^[12]등식이 없는 것으로 알려져 있다.셔먼 K의 추측입니다. 스타인은 어떤 특별한 폴리곤도 홀수 등분면을 가지고 있지 않다고 제안합니다.여기서 특별한 폴리곤은 각각 0 벡터에 대한 평행 모서리의 동등성 클래스가 있는 폴리곤입니다.정사각형, 중심 대칭 폴리곤, 폴리미노 및 폴리헥사스는 모두 특수 폴리곤입니다.^[13]

n>로 n을 들어 4, 보통 n-gon의 주파수가⟨ n⟩{\langle n\rangle\displaystyle}.[14], n.[15]의 n!는 계승과 다차원 cross-polytope의 스펙트럼 1일 다차원 큐브의 주파수가⟨ n!⟩{\displaystyle\langle n!\rangle}, ⟨ 2n− 1⟩{\displaystyle\langle 2^{n.1}\rangle}.후자는 의 팔면체에 대한 증명에서 참조된다.

T(a)를 사다리꼴로 하자. 여기서 a는 평행 변 길이의 비율이다.a가 유리수이면 T(a)가 주체입니다.실제로 r/s가 최소값의 분수일 경우${\displaystyle }$S${\displaystyle }$(${\displaystyle T}$ (${\displaystyle r}$/ ${\displaystyle s}$ )$=$ r + s$$ { $displaystyle S ($ T ( r / s ) = \ $langle r$ + s \ rangle $\}$^[16] 입니다.좀 더 일반적으로, 모든 볼록한 폴리곤이 위의 주요 예와 ^[17]동일하다고는 할 수 없습니다.

다른 극단에서는 a가 초월수이면 T(a)는 등분할이 없다.보다 일반적으로, 정점 좌표가 대수적으로 독립적인 폴리곤은 ^[18]등분할면을 가지지 않는다.즉, 3개 이상의 변을 가진 거의 모든 폴리곤을 등분할 수 없습니다.대부분의 폴리곤은 등면적 삼각형으로 절단할 수 없지만 모든 폴리곤은 등면적 4변수로 ^[19]절단할 수 있습니다.

만약 a가 대수적 무리수라면, T(a)는 까다로운 경우이다.만약 a가 2차 또는 3차 대수이고, 그 공역체가 모두 양의 실수부분을 갖는다면, S(T(a)는 n/(1+a)^[20]가 대수정수일 정도로 충분히 큰 n을 포함한다.안정적인 다항식을 포함하는 유사한 조건이 모든 ^[21]차수의 대수적 숫자 a에 대해 스펙트럼이 비어 있는지 여부를 결정할 수 있을 것으로 추측된다.

역사

등분면의 개념은 꽤 오래된 기본적인 기하학적 개념처럼 보인다.아이그너&지글러(2010)는 몬스키의 정리에 대해 "정답은 오랫동안 (^[22]그리스인이 아니더라도) 확실히 알고 있었을 것이라고 추측할 수 있었다"고 말했다.그러나 등거리에 대한 연구는 프레드 리치먼이 뉴멕시코 주립대학에서 석사학위를 준비하고 있던 1965년에야 시작되었다.

몬스키의 정리

리치만은 기하학에 관한 문제를 시험에 포함시키고 싶었고, 그는 정사각형의 기묘한 등분면을 찾는 것이 어렵다는 것을 알아차렸다.리치만은 3이나 5가 불가능하고, n-등분면의 존재는 (n + 2)-단면의 존재를 의미하며, 임의로 제곱에 가까운 어떤 4변수는 기묘한 ^[23]등분차를 갖는다는 것을 스스로에게 증명했다.하지만, 그는 홀수 제곱의 일반적인 문제를 풀지 못했고, 그는 그것을 시험에서 제외했다.리치먼의 친구 존 토마스는 그 문제에 관심을 갖게 되었다; 그의 기억에서,

이 문제를 제기한 모든 사람은 (나 자신도 포함) "그것은 내 분야가 아니지만 분명히 고려가 됐을 것이고 아마 답은 잘 알려져 있을 것이다"라고 말했다.일부는 그것을 봤다고 생각했지만, 어디에 있었는지 기억할 수 없었다.저는 그것이 토폴로지에서의 Sperner의 Lema를 떠올리게 해서 흥미로웠습니다.그것은 기발한 ^[24]홀짝수 증거를 가지고 있습니다.

토마스는 정점의 좌표가 홀수 분모를 가진 유리수라면 홀수 등분면이 불가능하다는 것을 증명했다.그는 이 증거를 Mathematic Magazine에 제출했지만 보류되었다.

심판의 반응은 뻔했다.그는 이 문제가 (해결은 안 되지만) 꽤 쉬울 수 있다고 생각했고, 잘 알려져 있을 수도 있다고 생각했다(그러나 그는 이 문제에 대한 언급을 찾을 수 없었다."^[25]

대신 이 문제는 미국 수학 월간지(리치먼 & 토마스 1967)의 고급 문제로 출제되었다.아무도 해답을 제출하지 않자, 그 증명은 그것이 쓰여진 지 3년 만에 수학 매거진(토마스 1968)에 실렸다.그리고 나서 몬스키(1970)는 합리성 ^[25]가정 없이 정사각형의 기묘한 등가식이 없다는 것을 증명하기 위해 토마스의 주장을 기반으로 했다.

몬스키의 증거는 두 개의 기둥에 의존합니다: 스페너의 보조를 일반화하는 조합 결과와 실수에서 2-adic 평가의 존재인 대수적 결과입니다.평면의 영리한 색채는 정사각형의 모든 분할에서 적어도 하나의 삼각형이 짝수 분모에 해당하는 면적을 가지며, 따라서 모든 등가식이 짝수여야 한다는 것을 암시한다.주장의 본질은 이미 토마스(1968년)에서 발견되었지만 몬스키(1970년)는 임의 ^[26]좌표로 해부를 커버하기 위해 2-adic 평가를 사용한 최초의 사람이다.

일반화

몬스키 정리의 첫 번째 일반화는 미드(1979년)로, 그는 n차원 입방체의 스펙트럼이${\displaystyle \delta }$n$!(\displaystyle \langle$ n$!\rangle$임을 증명했다. 그 증거는 벡커 & Netsvetaev(1998년)에 의해 다시 검토된다.

정규 폴리곤으로의 일반화는 1985년 G.D.가 운영하는 기하학 세미나에서 이루어졌다.UC Davis의 Chakerian.대학원생인 일레인 카시마티스는 "그녀가 그 ^[6]세미나에 빠져들 수 있는 대수적인 주제를 찾고 있었다".셔먼 스타인은 "카케리안이 마지못해 ^[6]기하학적이라고 인정한 주제"라고 광장과 큐브의 해부를 제안했다.그녀의 연설이 끝난 후, 스타인은 보통의 펜타곤에 대해 물었다.Kasimatis는 Kasimatis(1989년)에 답변하여 n > 5에 대해 정규 n-곤의 스펙트럼이${\displaystyle \mathrm{display}}$ n$${\ \ $display$style \$langle$n$\backslash$$rangle임$을 증명하였다. 그녀의 증거는 몬스키의 증명을 바탕으로 p-adic 평가를 n의 각 소수들의 복소수로 확장하고 사이클로틱 이론의 기초적인 결과를 적용하였다.또한 아핀 변환을 명시적으로 사용하여 편리한 좌표계를 설정하는 ^[27]첫 번째 증거이기도 합니다.Kasimatis & Stein(1990)은 스펙트럼과 ^[6]원리라는 용어를 도입하면서 일반 폴리곤의 스펙트럼을 찾는 문제를 만들었다.그들은 거의 모든 폴리곤에 등식이 결여되어 있고 모든 폴리곤이 ^[2]주체가 아니라는 것을 증명했다.

Kasimatis & Stein(1990)은 사다리꼴과 연이라는 두 가지 특정한 정사각형 일반화의 스펙트럼 연구를 시작했다.사다리꼴은 젭슨(1996), 몬스키(1996), 젭슨 & 몬스키(2008)에 의해 추가로 연구되었다.연은 젭슨, 세드베리, 호이어(2009)에 의해 더 많이 연구되었다.일반 사변수는 Su & Ding(2003)에서 연구되었다.허베이 사범대학에서는 주로 딩런 교수와 그의 제자 두야타오,^[28] 쑤잔쥔에 의해 여러 편의 논문이 집필되었다.

짝수 n에 대한 정규 n-gon에 대한 결과를 일반화하려고 시도하면서, 스타인(1989)은 중심 대칭 폴리곤이 홀수 등분면을 가지지 않는다고 추측했고, n = 6과 n = 8의 경우를 증명했다.완전한 추측은 몬스키에 의해 증명되었다.10년 후, 스타인은 폴리오미노가 이상한 등분면을 가지고 있지 않다고 추측하면서 그가 "놀라운 돌파구"라고 묘사한 것을 만들었다.그는 Stein(1999년)에서 홀수 제곱수를 갖는 폴리오미노의 결과를 증명했다.완전한 추측은 프라톤(2002)이 짝수 경우를 다루었을 때 증명되었다.

등가의 주제는 최근 The Mathemical Intelligence (Stein 2004), Carus Mathematical Monographes (Stein & Szabo 2008), THE BOOK의 Proofs (Aigner & Ziegler 2010) 제4판의 치료에 의해 대중화되었다.

관련 문제

Sakai, Nara 및 Urrutia(2005)는 문제의 변형을 고려하고 있다.볼록 다각형 K가 주어졌을 때, K 내부에서 동일한 면적의 n개의 겹치지 않는 삼각형으로 해당 영역의 어느 정도를 커버할 수 있는가?K 면적에 대한 최적의 커버리지 면적의 비율은 t(K)로 표시된다_n.K가 n-등분면이면 t(K) = 1이고_n, 그렇지 않으면 1보다 작다.저자들은 K가 사다리꼴 T(2/3)와 친화적으로 일치하는 경우에만 사각형 K에_n 대해 t(K) 4 4n/(4n + 1)가 t₂(K) = 8/9임을 보여준다.오각형일 경우₂ t(K) 2 2/3₃, t(K) 3 3/4 및 t_n(K) 2 2n/(2n + 1) n 5 5 입니다.

2003년에 귄터 지글러는 역문제로 물었다: 폴리곤 전체를 n개의 삼각형으로 분할할 때, 삼각형 면적이 얼마나 가까울 수 있는가?특히, 가장 작은 삼각형과 가장 큰 삼각형의 면적 사이에 가능한 가장 작은 차이는 무엇일까요?정사각형은 M(n)이고 사다리꼴 T(a)는 M(a, n)이라고 하자.M(n)은 짝수 n의 경우 0이고 홀수 n의 경우 0보다 큽니다.Manshow(2003)는 점근적 상한 M(n) = O(1/n²)를 제공했다(빅 O ^[29]표기법 참조).Schulze(2011)는 더 나은 절개로 M(n) = O(1/n³)에 대한 결합을 개선하고, M(a, n)이 임의로 빠르게 감소하는 a의 값이 존재함을 증명한다.Labbé, Rotte & Ziegler(2018)는 Thue-Morse 시퀀스를 사용하는 명시적 구조에서 파생된 초다항식 상한을 구한다.

레퍼런스

참고 문헌

세컨더리 소스

주요 소스

외부 링크

• 슈페너의 법칙, 브루어의 고정점 정리, 그리고 정사각형의 삼각형 분할 - Akhil Mathew의 주석
• über die Zerlegung eines 쿼드러트 in Dreiecke gleicher Fléche - Moritz W. Schmitt (독일어) 비고
• 동일한 면적의 삼각형으로 폴리곤 타일링 - AlexGhitza의 주석
• 사다리꼴을 동일한 면적의 삼각형으로 해부 - MathOverflow