spherically 대칭 스페이스타임

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물리학에서, 방사상으로 움직이는 물질이나 에너지가 존재하는 상태에서 아인슈타인의 자기장 방정식에 대한 분석적 및 수치적 해결책을 얻기 위해 일반적으로 대칭적 스페이스타임이 사용된다. 세속적으로 대칭적인 스페이스타임이 정의상 비회전적이기 때문에, 그것들은 자연에서 블랙홀의 현실적인 모델이 아니다. 그러나 이들의 측정 기준은 회전하는 스페이스타임에 비해 상당히 단순해 분석하기가 훨씬 쉽다.

spherically 대칭 모델은 완전히 부적절한 것은 아니다: 그들 중 다수는 회전하는 스페이스타임과 유사한 Penrose 도표를 가지고 있고, 이것들은 일반적으로 회전의 영향을 받지 않는 질적 특징(예: Cauchy Horizons)을 가지고 있다. 그러한 적용 중 하나는 블랙홀 내부의 폭주물질의 흐름을 역이동하여 발생하는 대량 인플레이션에 대한 연구다.

형식 정의

spacetime은 spacetime이며, 이 그룹의 궤도는 2-space(3차원 유클리드 공간의 일반적 2차원 구)이며, 등측도 그룹은 회전 그룹 SO(3)에 이형인 하위 그룹을 포함하고 있다. 이등변수는 회전으로 해석되며, 연속적으로 대칭적인 스팩타임을 종종 미터법이 "회전 시 불변성"인 것으로 설명된다. 스페이스타임 메트릭은 각 궤도 2-sphere에 대한 메트릭을 유도한다(그리고 이 유도 메트릭은 2-sphere의 메트릭의 배수여야 한다). 통상적으로 2-sphere의 메트릭은 극좌표로 작성된다.

${\displaystyle {G\Omega \mathrm{}}_{}}$= d ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$+ ${\displaystyle {\sin }^{}}$ 2 ${\displaystyle {d\mathrm{}}^{}d}$ d ${\displaystyle {d\mathrm{}}^{}}$ 2$${\$displaystyle g_{\Oomega }=d\ta ^{2}+\sin ^{2}\d\varphi ^{2$

따라서 전체 메트릭스는 이에 비례하는 용어를 포함한다.

구면 대칭은 아인슈타인의 일반 상대성 방정식, 특히 슈바르츠실트 용액과 레이스너-노르드스트룀 용액의 많은 해법들의 특징적인 특징이다. spacetime은 다른 방식으로, 즉 매우 정밀한 의미에서 미터법을 보존하는 킬링 벡터 필드의 개념을 사용함으로써 특징지어질 수 있다. 위에서 언급된 등위계는 실제로 킬링벡터장의 국부적 흐름 차이점이며 따라서 이러한 벡터장을 생성한다. spacetime $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$의 경우 정확히 3개의 회전 킬링 벡터 필드가 있다$.$ 다른 방법으로 말하면 킬링 $대수{\displaystyle }$ K${\displaystyle }$( M$){\displaystyle K$${\displaystyle (}$$M)}$의 치수는 3이다$$. ${\displaystyle 즉,}$ ${\displaystyle \mathrm{어둑어둑한}\mathrm{K}}$ (${\displaystyle M}$) = 3 {\$displaystyle \dim$K(M$)=$$3}.$ 일반적으로 이것들 중 어느 것도 정적인 여유시간을 암시하는 것처럼 시간적인 것은 아니다.

진공장 방정식의 어떤 sphererically 대칭 용액도 최대 확장된 슈바르츠실트 용액의 부분집합에 반드시 등축성인 것으로 알려져 있다(Birkhoff의 정리 참조). 이것은 수직 대칭으로 중력을 받는 물체 주위의 외부 영역이 정적이고 점증적으로 평평해야 한다는 것을 의미한다.

spherically 대칭 측정 기준

통상적으로 구면 좌표 $x{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\mu }^{}}$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle t}$, ${\displaystyle r}$ ,${\displaystyle \theta }$ ,$){\displaystyle$ x$^{\mu }=(t,r,\teta ,\phi$ $)\}$을 사용하여 미터법을 작성한다(선 요소). 몇 가지 좌표 차트가 가능하다. 여기에는 다음이 포함된다.

• 슈바르츠실트 좌표
• 등방성 좌표. 광원뿔이 둥글어서 무효 먼지 연구에 유용하다.
• 가우스 극좌표(가우스 극좌표), 때로는 정적으로 대칭되는 완벽한 유체를 연구하는 데 사용된다.
• 아래 주어진 원주 반지름은 대량 인플레이션을 연구하는데 편리하다.

원주 반지름 미터법

대중 인플레이션 연구에 사용되는 ^[1]한 가지 일반적인 지표는 다음과 같다.

${\displaystyle ds^{2}=g_{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }=-{\frac {dt^{2}}{\alpha ^{2}}}+{\frac {1}{\beta _{r}^{2}}}\left(dr-\beta _{t}{\frac {dt}{\alpha }}\right)^{2}+r^{2}\,g(\Omega ).}$

여기서 $g{\displaystyle }$(${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$) ${\displaystyle$ g$(\Oomega )}$은(는) 단위 반지름 2-sphere${\displaystyle }\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$= ( ${\displaystyle \theta }$, ${\displaystyle \varphi }$) ${\displaystyle \Oomega =(\theta ,\phi )}$에 대한 표준 메트릭이다$.$ 반경 좌표 $r{\displaystyle }$ ${\displaystyle r}$은 원주 반지름, 즉 반경 r ${\displaystyle r}$의 적절한 둘레가 2 β ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle 2\pi r}$이 되도록 정의된다$.$ 이 좌표 선택에서 파라미터 $\beta {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle t_{}}$ ${\$는 ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle /}$로 정의된다$$.${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \beta$ _{$t}=dr/d\tau$}은(는) 원주 반지름의 적절한 변화율이다$$($여기$서는 { ${\displaystyle \tau}$이(가) 적절한 시간). 매개변수 $\beta {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle r_{}}$ ${\$는 자유 낙하 프레임에서 원주 반지름의 방사형 파생물로 해석할 수 있으며$$, 이는 테트라드 형식주의에서 명백해진다.

직교 테트라드 형식주의

위의 메트릭은 제곱합으로 작성되므로, 비어베인(Vierbein)을 명시적으로 인코딩하는 것으로 이해할 수 있으며, 특히 정형외과적 테트라드(Tetrad)로 이해할 수 있다. 즉, 미터법 텐서는 민코프스키 미터법 $\eta {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\$의 풀백으로 쓸 수 있다$.$

${\displaystyle g_{\mu \nu \}=\eta _{ij}\,e_{\;\mu }^{i}\,e_{\;\nu }^{j}}}}}$

$여기$서 e ${\displaystyle {\mu }_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$}^{$i}}}}$는 역비어빈이다. 여기서와 뒤에 나오는 관습은 로마 지표가 평면 정사각형 테트라드 프레임을 가리키고, 그리스 지표가 좌표 프레임을 가리킨다는 것이다. 역비어베인은 상기 측정지표에서 다음과 같이 직접 판독할 수 있다.

${\displaystyle e_{\;\mu }^{t}dx^{\mu }={\frac {dt}{\mu }}}}}$

${\displaystyle e_{\;\mu }^{r}dx^{\mu }={\frac {1}{1}{r}}\frac {1}왼쪽(dr-\reason _{t}{\frac {d}{dt}{\reas }}\right)}}}$

${\displaystyle e_{\;\mu }^{\dx^{\dmu }=rd\theta }}$

${\displaystyle e_{\;\mu }^{}dx^{}\mu }=r=r\sin \theta d\pi }}$

여기서 서명은${\displaystyle }$(${\displaystyle }$-${\displaystyle }$+${\displaystyle }$+ +${\displaystyle }$+${\displaystyle }$) ${\디스플레이$ 스타일$(++)}$ 입니다$.$ 행렬로 쓰여 역비어베인은

${\displaystyle e_{\;\mu }^{i}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{\alpha }}&0&0&0\\-{\frac {\beta _{t}}{\alpha \beta _{r}}}&{\frac {1}{\beta _{r}}}&0&0\\0&0&r&0\\0&0&0&r\sin \theta \\\end{bmatrix}}}$

비어베인 자체는 역비어베인의 역(-변환)이다.

${\displaystyle e_{i}^{\;\mu }={\begin{bmatrix}\alpha &\beta _{t}&0&0\\0&\beta _{r}&0&0\\0&0&{\frac {1}{r}}&0\\0&0&0&{\frac {1}{r\sin \theta }}\\\end{bmatrix}}}$

즉$,{\displaystyle }$ ($e$ ${\displaystyle {\mu }_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}{}^{}}$) T ${\displaystyle e^{}}$ ${\displaystyle i_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ = ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mu }_{}^{}}$ ${\displaystyle i_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ = ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mu }_{}^{}}$ μ μ μ $μ \ {\;\mu$}^{i$}^{}}^{}}}^{{}}}}^{}}}}}{}}}}}}}$$T}e_{i}^{\;\nu }=e_{\mu }^{\\\\i}e_{i$}^{$i}^{\nu }}\$delta $_{\mu }^{}nu }}}}}$는 ID 매트릭스다.

위의 특히 단순한 형태는 주어진 측정법으로 작업하는 주된 동기 부여 요인이다.

Vierbein은 좌표 프레임의 벡터 필드를 다음과 같이 테트라드 프레임의 벡터 필드와 연관시킨다.

${\displaystyle \i}{i}=e_{i}^{\\\mu }{\frac {\frac {\fract \\\;}{\flash x^{\mu }}}}}}}}}$

이 두 가지 중에서 가장 흥미로운 것은 ${\displaystyle {frame}_{}}$ t ${\$이며, 나머지 프레임에서 방사형 파생상품인$$ $\partial {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle r_{}}$ ${\$이다. 앞에서 언급한 바와 같이 시공에 의해 $\beta {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle t_{}}$ ${\$는 원주 반지름의 적절한 변화율이었다$$. 이제 이는 다음과 같이 명시적으로 기록할 수 있다.

${\displaystyle \properties _{t}=\properties _{t}r}$

비슷하게, 사람은 가지고 있다.

${\displaystyle \property_{r}=\properties _{r}r}$

반경 방향의 원주 반지름의 구배(자유 회전 테트라드 프레임 내)를 설명한다. 이것은 일반적인 통일성이 아니다. 예를 들어, 표준 스와샤일드 솔루션 또는 레이스너-노르드스트룀 솔루션과 비교한다. β r{\displaystyle \beta_{r}의 징후는}효과적으로, 등잔이β r을β r{\displaystyle \beta_{r}의 부호},, 및 보내는 들어오는 프레임 0{\displaystyle \beta_{r}&gt를 구별하는;0}은 통찰력 있는 프레임을 표시하고 β r<0{\displaystyle \beta_{r}<0}은 외식을"어느 길로 줄었다"을 결정한다.프레임 가.

원주 반지름에 대한 이러한 두 가지 관계는 메트릭의 특정 매개변수화가 편리한 또 다른 이유를 제공한다: 그것은 단순한 직관적인 특성을 가지고 있다.

연결 양식

테트라드 프레임의 연결 양식은 다음과 같이 주어지는 테트라드 프레임의$$ $Christoffel{\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ 기호 \$$i ${\displaystyle j_{}}$ k {\$displaystyle \Gamma$ _{$ijk}$의 용어로 작성할 수 있다.

${\displaystyle \Gamma _{rt}=-\partial _{r}\ln \alpha }$

${\displaystyle \Gamma _{rtr}=-\beta _{t}{\frac }{\partial r}+{\partial \beta _{t}{\partial r}}{t}\partial r}\ln \beta _{r}}}}}}}}}}$

${\displaystyle \Gamma _{\theta }=\Gamma _{\phi t\phi }={\fracta _{t}{r}}}}}$

${\displaystyle \Gamma _{\theta }=\Gamma _{\phi r\phi }={\fraca {\beta _{r}}}}}}$

${\displaystyle \Gamma _{\pi \theta \phi }={\frac {\cot \theta }{r}}}}}$

그리고 다른 모든 것들은 0이다.

아인슈타인 방정식

리만 텐서, 아인슈타인 텐서, 웨일 곡률 스칼라의 전체 표현은 해밀턴 앤 아벨리노에서 찾을 수 있다.^[1] 아인슈타인 방정식이 된다.

${\displaystyle \nabla _{t}\beta _{t}=-{\frac {M}{r^{2}}-4\pi rp}$

${\displaystyle \vla _{t}\pi _{r}=4\pi rf}$

여기서 $\nabla {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle t_{}}$ ${\$은 공변 시간 파생 모델(및${\displaystyle \mathrm{}}$and ${\displaystyle \nabla })$이며, $p{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ p$}$은 방사형$$ 에너지 플럭스$($등방성 압력!이 아님)이다. 질량 $M{\displaystyle }$( ${\displaystyle r}$) ${\displaystyle M(r)}$은 다음과 같이 주어진 Misner-Thorne 질량 또는 내부 질량이다.

${\displaystyle {\frac {2M}{r-1=\beta _{t}^{2}-\beta _{r}^{2}}$

이러한 방정식은 효과적으로 2차원적이기 때문에 폭주 물질의 성격에 관한 다양한 가정(즉, 고온 또는 저온의 전하 또는 중성 먼지, 기체, 플라즈마 또는 암흑물질에 기인하는 극대칭 블랙홀의 가정, 즉 메이트에 대한 가정)에 대해 압도적인 어려움 없이 해결할 수 있다.여러 가지 상태 방정식을 가진 리알).

참고 항목

• 정적 스페이스타임
• 고정 스페이스타임
• 스페이스타임 대칭
• 드 시터 공간

참조

• 구형 대칭에 대한 설명은 섹션 6.1을 Wald, Robert M. (1984). General Relativity. Chicago: University of Chicago Press. ISBN 0-226-87033-2.참조한다.