등방성 좌표

로렌츠 다지관 이론에서, 세속적으로 대칭적인 스페이스타임이 내포된 둥근 구체의 집단을 인정한다. 이 중첩된 구체군에 적응하는 좌표 차트에는 몇 가지 다른 유형이 있다. 가장 잘 알려진 것은 슈바르츠실트 차트지만 등방성 차트도 종종 유용하다. 등방성 차트의 정의 특성은 반지름 좌표(슈바르츠실트 차트의 반지름 좌표와 다름)가 정의되어 가벼운 원뿔이 둥글게 나타나는 것이다. 이는 (국소 평탄한 다지관의 사소한 경우를 제외하고) 각 등방성 좌표가 내포된 구체 내의 거리를 충실하게 나타내지 않으며, 방사상 좌표가 방사상 거리를 충실하게 나타내지 않는다는 것을 의미한다. 한편, 일정한 시간 과플릭의 각도는 왜곡 없이 표현되기 때문에, 차트의 명칭이 된다.

등방성 차트는 일반 상대성 등 중력의 미터법 이론에서 정적 세뇌적으로 대칭적인 스페이스타임을 가장 많이 적용하지만, 예를 들어 세뇌적으로 맥동하는 유체볼을 모델링하는 데도 사용할 수 있다. 아인슈타인 필드 방정식의 격리된 대칭적 용액의 경우, 장거리에서 등방성 및 슈바르츠실트 차트는 민코프스키 스페이스타임의 일반적인 극구형 차트와 점점 유사해진다.

정의

등방성 차트(정적인 spacetime)에서 미터법(일명 선 요소)은 형태를 취한다.

${\displaystyle g=-a(r)^{2}\,dt^{2}+b(r)^{2}\,\좌측(dr^{2}+r^{2}\,\좌측(d\ta ^{2}+\sin(\teta )^{2}\,d\phi ^{2}\오른쪽)},},}$

$[\\displaystyle -\\\,r_{0}<r<r_{1},\,0<\theta <\pi ,\,\,-\pi <\pi <\pi }}]$

상황에 따라${\displaystyle ,}$ , ${\displaystyle b}${\$displaystyle a,\,b}$을(를) 방사형 좌표의 결정되지 않은 함수로 간주하는 것이 적절할 수 있다(예를 들어 아인슈타인 장 방정식의 정확한 정적인 spherrical symmetry 솔루션을 도출하는 경우). 또는 특정 기능(일부 파라미터에 따라 달라짐)을 꽂아 특정 로렌츠 스페이스타임에 대한 등방성 좌표도를 얻을 수 있다.

킬링 벡터 필드

수직 대칭 정적 스페이스타임의 킬링 벡터 필드의 리 대수는 슈바르츠실트 차트에서와 동일한 형태를 취한다. 즉, 이 대수학은 시간적 비회전적 킬링 벡터 장에 의해 생성된다.

${\displaystyle \cHB_{t}}$

세 개의 공간 같은 킬링 벡터 필드와

${\displaystyle \partial _{\phi }}$

$\displaystyle \sin(\phi )\,\cHB _{\theta }+\cHB(\theta )\,\cos(\phi )\cHB_{\pi }}}}}$

$\displaystyle \cos(\phi )\,\cHB_{\theta }-\cHB(\theta )\,\sin(\phi )\phi }}}}$

여기서 $X{\displaystyle \stackrel{}{}}$→ =${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle t_{}}$ ${\$이(가) 비회전적이라는 것은 해당 시간적 조응의 vorticity tensor가 소멸됨을 의미하므로 이 킬링 벡터 필드는 초경직직이다. 스페이스타임이 비회전적 타임라이크 킬링 벡터 필드를 인정하는 것은 사실 정적 스페이스타임을 정의하는 특성이다. 한 가지 즉각적인 결과는 일정한 시간 좌표 $표면{\displaystyle }$ t${\displaystyle }$= ${\displaystyle {t\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$이 (등축) 공간적 과급자(공간적 과급자)의 패밀리를 형성한다는$$ 것이다.

슈바르츠실트 차트와 달리, 등방성 차트는 이러한 과급자의 내장 도표를 구성하는데 적합하지 않다.

정적인 중첩된 구체의 가족

표면 $t{\displaystyle }$= t ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle r}$= r = ${\displaystyle {r\mathrm{}}_{}}$ 0$${\$displaystyle t=t_{0},\,r$=r_${0$}}는 원형 구(polar 구형 패션으로 loci를 플롯할 때)로 나타나며$$, 선 요소의 형태에서 이러한 표면 중 어느 하나에 제한되는 메트릭은 다음과 같은 것을 알 수 있다.

${\displaystyle g _{t=t_{0},r=r_{0}}=b(r_{0})^{2}\,r_{0}^{2}g_{\Omega }=b(r_{0})^{2}\,r_{0}^{2}\,\left(d\theta ^{2}+\sin(\theta )^{2}\,d\phi ^{2}\right),\;0<\theta <\pi ,-\pi <\phi <\pi }$

여기서 $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$= (${\displaystyle \theta }$ ,${\displaystyle \varphi }$) ${\displaystyle \Oomega =(\theta ,\phi )}$은 $좌표고{\displaystyle {}_{}}$ g ${\displaystyle {\Omega \mathrm{}}_{}}${\$displaystyle g_{\Oomega}}}}}$은 단위 반지름의 2개 구에 있는 리만 메트릭이다. 즉, 이러한 중첩 좌표구는 사실 기하학적 구를 나타내지만, ${\displaystyle$ $b(r_{0$})가 아닌$$ b${\displaystyle }$(r_{0$}\,r}$의 외관은 방사형 좌표가 일반적인 유클리드 공간의 구와 같은 방식으로 영역에 대응하지 않음을 보여준다$$. 슈바르츠실트 좌표를 비교하십시오. 여기서 방사형 좌표는 내포된 구체의 측면에서 자연 해석을 갖는다.

좌표 특이점

loci $\varphi {\displaystyle }$= -${\displaystyle \pi }$ ,${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \phi =-\pi ,\pi }$는 등방성 차트의 경계를 표시하며$$, 슈바르츠실트 차트에서와 마찬가지로 이 두 개의 loci가 식별되어 우리의 putatient 원형 구가 실로 위상학적 구라고 암묵적으로 가정한다.

슈바르츠실트 차트의 경우와 마찬가지로, 이 좌표의 일부 값에 대해 미터법이나 그 역이 상승하는 경우 방사형 좌표의 범위가 제한될 수 있다.

미터법 안사츠

위에 주어진 선 요소는, 등방성 좌표 r의 결정되지 않은 함수로 간주되는 f,g와 함께, 일반 상대성 이론(또는 다른 중력 측정 이론)에서 정적인 spherric 대칭 해결책을 도출하는 데 종종 미터법 안사츠로 사용된다.

그림으로서, 우리는 카르탄의 외부 미적분법을 사용하여 연결과 곡률을 계산하는 방법을 스케치할 것이다. 먼저, 선 요소를 코프레임 필드로 읽었고

${\displaystyle \sigma ^{0}=-a(r)\,dt}$

${\displaystyle \sigma ^{1}=b(r)\,dr}$

${\displaystyle \sigma ^{2}=b(r)\,r\,d\theta }$

$\dd\phi ^{3}=b(r)\,r\,\sin(\theta )\,d\phi }$

여기서, $a{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a,\,b}$을(를) r ${\displaystyle r$}의 결정되지 않은 부드러운 함수로$$ 간주한다$($우리 스페이스타임이 이러한 특정한 삼각형 형식을 갖는 프레임을 인정하는 사실은 정적이고 세속적으로 대칭적인 로렌츠 다지관에서의 등방성 차트의 개념의 또 다른 동등한 표현이다). 외부 파생 모델을 사용하여 첫 번째 카르탄 구조 방정식을 사용해 비바니싱 연결부 1-폼을 찾을 수 있다.

${\displaystyle {\omega^{0}_{1}={\frac {f'\,dt}{g}}}$

${\displaystyle {\omega^{1}_{2}=-\좌측(1+{\frac {r\,b'}{b}}\,d\theta }$

${\displaystyle {\\omega ^1}_{3}=-\좌측(1+{\frac {r\,b'}{b}}\,\sin(\theta )\,d\phi }$

${\displaystyle {\omega^{2}}_{3}=-\cos(\theta )\,d\phi }}$

외부 유도체를 다시 꺼내 제2차 카르탄 구조 방정식에 연결하면 곡률 2-폼을 발견할 수 있다.

참고 항목

• 정적 스페이스타임,
• spacetime으로 대칭적으로,
• 정적으로 대칭적으로 완벽한 유체,
• 슈바르츠실트 좌표, 정적으로 대칭되는 공간에서의 또 다른 인기 차트,
• 프레임 필드 및 코프레임 필드에 대한 자세한 내용은 일반 상대성 분야의 프레임 필드.

참조

• Misner, Thorne, Wheeler (1973). Gravitation. W H Freeman and Company. ISBN 0-7167-0344-0.CS1 maint: 여러 이름: 작성자 목록(링크)