엑살콤

대수학에서 Exalcomm은 모듈로 정류대수의 확장을 분류하는 functor이다.보다 정확히 말하면, Exalcomm_k(R,M)의 원소들은 K-algebra R에 동형성을 갖는 상호 작용 k-algebras E의 이형성 등급이다. K-algebra R의 커널은 R-module M이다(M의 모든 원소 쌍은 제품 0).일부 저자는 Exal을 동일한 functor로 사용한다는 점에 유의하십시오.비고정 반지 및 알제브라를 위한 유사한 Functor Exal과 Exan이 있고 Functors Exaltop, Exantop이 있다.토폴로지를 고려한 Exalcotop.

"Exalcomm"은 "COMMutative ALgebra EXtension"(또는 해당 프랑스어 구절)의 약칭이다.그로텐디크(1964년, 18.4.2년) 하프텍스트 오류: no target: CITREFGrotenideck1964 (도움말)에 의해 도입되었다.

Exalcomm은 안드레-퀼렌 코호몰로지 그룹 중 하나이며 리히텐바움-슐레신저 공학자 중 하나이다.

정류 링 A → B → C 및 C-module L의 동형성을 고려할 때 정확한 A-modules(Grothendeck 1964, 20.2.3.1) harv error: no targeter: CITREFGrondieck1964 (도움말)

${\displaystyle {\begin{aligned}0\rightarrow &\operatorname {Der} _{B}(C,L)\rightarrow \operatorname {Der} _{A}(C,L)\rightarrow \operatorname {Der} _{A}(B,L)\rightarrow \\&\operatorname {Exalcomm} _{B}(C,L)\rightarrow \operatorname {Exalcomm} _{A}(C,L)\rightarrow \operatorname {Exalcomm} _{A}(B,L)\end{aligned}}}$

여기서 Der_A(B,L)는 값이 L인 A-알지브라 B의 파생 모듈이다.이 시퀀스는 André-Quillen cohomology를 사용하여 오른쪽으로 더 확장될 수 있다.

정사각형 제로

Exal의 건설을 이해하기 위해서는 제곱 영 확장의 개념을 정의해야 한다.Topos $T{\displaystyle }$ ${\displaystyle T}$을(를) 고정하고$$ 모든 알헤브라를 그 위에 알헤브라가 되게 한다.점의 토포들은 교호반지의 특별한 경우를 제공하므로 토포 가설을 무시하는 것은 첫 번째 판독에서 무시될 수 있다.

정의

${\displaystyle \underset{}{\text{Exal}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\_}}$ ${\$$엑셀}}}}$ 실제로$$ 제곱 영 확장이 무엇인지 정의해야 한다.$A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$ -algebras$$ $p{\displaystyle }$: ${\displaystyle E}$→ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle p:$$E\to B}$ $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle$p}의$$ $커널{\displaystyle }$ I$${\$displaystyle I}$이(${\displaystyle \mathrm{가}}$) $속성{\displaystyle {}^{}}$ I${\displaystyle {}^{}{2\mathrm{}}^{}}$= ( 0${\displaystyle }$)$${\$displaystyle$ I$^{2}=$ ($0)}$이(가) 0-이상인$$ 경우 제곱-제로 확장이라고 한다.

비고

Note that the kernel can be equipped with a ${\displaystyle B}$-module structure as follows: since ${\displaystyle p}$ is surjective, any ${\displaystyle b\in B}$ has a lift to a ${\displaystyle x\in E}$ , so ${\displaystyle b\cdot m:=x\cdot m}$ for ${\displaystyle m\in I}$.모든 리프트는 커널의 요소$$ $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle k\in I}$에 따라 다르므로

${\displaystyle (x+k)\cdot m=x\cdot m=cdot m=x\cdot m}$

이상적인 것은 정사각형 영점이기 때문에 이 모듈 구조는 잘 정의가 잘 되어 있다.

예

이중 숫자에 대한 변형에서

제곱 영 확장은 이중 숫자에 대한 변형을 일반화한 것이다.예를 들어, 이중 숫자에 대한 변형

${\displaystyle {\begin{matrix}{\text{Spec}\왼쪽({\frac {k[x,y]}}{{(y^{2}-x^{3})}\오른쪽)&\to &{\text}}\왼쪽({\frac {k[x,y][\varepsilon ]}{{(y^{2}-x^{3}+\varepsilon )}\\\\downarrow &&\downarrow \\{\text{Spec}(k)&\to &{\text{Spec})(k[\varepsilon ])\end{matrix}}}}$

관련 제곱 영점 확장이 있음

${\displaystyle 0\to (\varepsilon )\to {k[x,y][\varepsilon ]}{{(y^{2}-x^{3}+\varepsilon )}}}}\to 0}$

$[\displaystyle k}$ -brases$$.

더 일반적인 변형에서

But, because the idea of square zero-extensions is more general, deformations over ${\displaystyle k[\varepsilon _{1},\varepsilon _{2}]}$ where ${\displaystyle \varepsilon _{1}\cdot \varepsilon _{2}=0}$ will give examples of square-zero extensions.

사소한 제곱 영 확장

$B{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $B{\displaystyle }$$}$ -module$$ M ${\displaystyle M$의 경우 $B{\displaystyle }$⊕ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle B\oplus$ M$}$이(가) 제공하는 사소한 사각형 제로 확장이 있으며, 여기서$$ 제품 구조는 다음과 같다.

${\displaystyle (b,m)\cdot (b',m')=(bb',bm'+b'm)}$

따라서 관련 제곱 영점 확장은

$M\oplus M\oplus M\to B\o 0}$

여기서 돌출부는 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$을(를) 잊어버린 투영 지도 입니다$.$

건설

Exal의^[1] 일반적인 추상구성은 ${\displaystyle \underset{}{\text{Exal}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\_}}$ ${\$ 확장명 _의 범주를 먼저 정의한 데서 비롯된다.$Exal}}}$을(를) topos $T{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ T$}($또는 상호 작용 링의 범주만) 위에$$ 올린 다음, $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$${\displaystyle {\underset{}{\text{Exal}}}_{}}$$$${\displaystyle {\underset{}{}}_{}}$ ${\displaystyle {\underset{}{\_}}_{}}$ ${\displaystyle A_{}}$ ${\$$Exal}}_{$$A}$을(를) 고정시킨 다음 functor $\pi {\displaystyle }$: ${\displaystyle {\underset{}{\text{Exal}}}_{}}$ ${\displaystyle {\_}_{}}$ ${\displaystyle A{}_{}}$(${\displaystyle }$,${\displaystyle }$-${\displaystyle }$)${\displaystyle }$→ ${\displaystyle \text{B-Mod}}$ ${\$$text${$Exal}}}_{A}(B,-)\to {\text{B-Mod}}($으)로 변환 대수 확장자 ${\displaystyle {\text{Exal}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}B}$, ${\displaystyle M}$) ${\displaystyle {\text}$을(를) 가져오기 위해$$고정 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle \text{Ob}}$($){\displaystyle M\in{Ob}({\text{B-Mod})}$에 대한$$ $Exal}_{A}(B,M$$)\}\}.$

제너럴 엑살

이 고정 토포스의 경우 ${\displaystyle \underset{}{\text{Exal}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\_}}$ ${\$$Exal}}}$은$({\displaystyle A}$, ${\displaystyle p}$: ${\displaystyle E}$→ B$){\displaystyle (A,p:$${\displaystyle E}$$\to$ B$)}$ 쌍의 범주로서$$, ${\displaystyle \mathrm{여기}}$서 p${\displaystyle }$: E${\displaystyle }$→ B ${\displaystyle p:$$E\to B}$ is a surjective morphism of ${\displaystyle A}$-algebras such that the kernel ${\displaystyle I}$ is square-zero, where morphisms are defined as commutative diagrams between ${\displaystyle (A,p:E\to B)\to (A',p':$$E'\to$ B$\text{'})\}.$ 펑터가 있다.

${\displaystyle \pi :{\underline {\text}Exal}}}\to {\text{Algmod}}$

쌍$({\displaystyle A}$, ${\displaystyle p}$: ${\displaystyle E}$→ B${\displaystyle }$) ${\displaystyle (A,p:E\to$ B$)}$을(를) 쌍$({\displaystyle A}$→ ${\displaystyle B,}$ I$)$으로 전송하는 경우$$$,$ $I{\displaystyle }$ ${\displaystyle$$$I$}$은(는) $B{\displaystyle }$ ${\displaystytle B}$ $-module$이다.

Exal_A, Exal_A(B, -)

그런 다음 ${\displaystyle {\underset{}{\text{Exal}}}_{}}$ ${\displaystyle {\underset{}{\_}}_{}}$ ${\displaystyle A_{}}$로 표시된 오버 카테고리가 있으며$,$ 이는 {\$displaystyle {\underline {\text}$$Exal}}}_{A}}($functor ${\displaystyle {\underset{}{\text{Exal}}}_{}}$ ${\displaystyle {\_}_{}}$A → ${\displaystyle {\displaystyle \underset{}{Exal}}}$ _$${\$displaystyle${\$underline${\$text}){$$Exal}}}_{A}\to {\displaystyle {\underline {\text{$$Exal$ 객체가 쌍$({\displaystyle A,}$ p${\displaystyle }$: ${\displaystyle E}$→ B${\displaystyle )}$ ${\displaystyle(A,p:E\to B$인 경우, 그러나 첫 번째 링 $A{\displaystyle }$ ${\displaystytle A$}은$$(는) 고정되어 있으므로 형태는 형식이다.

$[\displaystyle(A,p:E\to B)\to(A,p')\to(A,p')\to(A,p'):E'\to B')}$

또 다른 카테고리 ${\displaystyle {\underset{}{\text{Exal}}}_{}}$ ${\displaystyle \_}$ A${\displaystyle {}_{}}$( B${\displaystyle }$,${\displaystyle }$-${\displaystyle }$) ${\displaystyle {\underline {\text{$$형태론이$$$형식인 $Exal}}_{A$}(B$,-)}$

$[\displaystyle(A,p:E\to B)\to(A,p')\to(A,p')\to(A,p'):E'\to B)}$

엑살_A(B,I)

마지막으로 ${\displaystyle {\underset{}{\text{Exal}}}_{}}$ ${\displaystyle {\underset{}{\_}}_{}}$ ${\displaystyle A_{}}$( B${\displaystyle }$, ${\displaystyle I}$ )${\displaystyle {\underline {\text{$$Exal}}}_{A}(B,I)}$에는 제곱 영 확장의 고정 커널이 있다$$.Note that in ${\displaystyle {\text{Algmod}}}$, for a fixed ${\displaystyle A,B}$, there is the subcategory ${\displaystyle (A\to B,I)}$ where ${\displaystyle I}$ is a ${\displaystyle B}$-module, so it is equivalent to ${\displaystyle {\text{B-Mod}}}$. Hence, the image of${\displaystyle {\underline {\text}$Functor$\pi {\displaystyle }${\$displaystyle \pi }$ 아래의$$ $Exal}}}_{A}(B,I)}$은(는) ${\displaystyle \text{B-Mod}}$ ${\$에 산다$.$

물체의 이형성 등급은 ${\displaystyle {\underset{}{\text{Exal}}}_{}}$ ${\displaystyle {\underset{}{\_}}_{}}$ ${\displaystyle A_{}B,}$ ${\displaystyle I)}$ 이후 $B{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ $B}$ - module의$$ 구조를 가지고 있다$.$$Exal}}}_{A}(B,I)}$은(는) Picard 스택이므로$$ 범주를 ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\text{Exal}}_{}}$ A${\displaystyle {}_{}B}$, I$){\displaystyle {\text{$$Exal}}_{A}(B,I)}$.

Exal의_A 구조(B, I)

${\displaystyle {\underset{}{\text{Exal}}}_{}}$ ${\displaystyle {\underset{}{\_}}_{}}$ ${\displaystyle A_{}}$(${\displaystyle B}$, $){\displaystyle {\underline {\text{$$Exal}}}_{A}(B,I)}$ 및$$ ${\displaystyle {\text{Exal}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}B,}$ ${\displaystyle I)}$ ${\displaystyle {\text{$$Exal}}_{A}(B,I)}}$이(가) 유용하다.

자동형성

객체 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle \text{Ob}}$(${\displaystyle {\underset{}{\text{Exal}}}_{}}$ ${\displaystyle {\_}_{}}$ A ( ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle I))}$ ${\displaystyle X\in {\text{Ob}({\underline {\text${\text$})$의 자동화 그룹$Exal}}}_{A}(B,I))}$ can be identified with the automorphisms of the trivial extension ${\displaystyle B\oplus M}$. These are classified by the derivations module ${\displaystyle {\text{Der}}_{A}(B,M)}$. Hence, the category ${\displaystyle {\underline {\text{$$Exal}}}_{A}(B,I)}$은(는) 토르소이다.사실, 이것은 스택 위에서 활동하는 그룹이기 때문에 게르베로 해석될 수도 있다.

연장 구성

${\displaystyle {\underset{}{\text{Exal}}}_{}}$ ${\displaystyle {\underset{}{\_}}_{}}$ ${\displaystyle A_{}}$( ${\displaystyle B}$,${\displaystyle }$-${\displaystyle }$) ${\displaystyle {\underline {\text{$$Exal}}}_{A}(B,-)}$의 I ${\displaystyle \oplus }$ J$${\$displaystyle I\oplus$J$\}$의 확장을$$ 설명하는 이소모르피즘이 있다.

${\displaystyle {\underline {\text}Exal}}}_{A}(B,I\oplus J)\cong {\underline {\text{Exal}}}_{A}(B,I)\time {\underline {\text{Exal}}}_{A}(B,J)}$

두 방향의 변형에 따른 제곱 영 확장은 각각 하나의 변형에 따라 제곱 영 확장의 쌍으로 분해될 수 있다고 해석할 수 있다.

적용

For example, the deformations given by infinitesimals ${\displaystyle \varepsilon _{1},\varepsilon _{2}}$ where ${\displaystyle \varepsilon _{1}^{2}=\varepsilon _{1}\varepsilon _{2}=\varepsilon _{2}^{2}=0}$ gives the isomorphism

${\displaystyle {\underline {\text}Exal}}}_{A}(B,(\varepsilon _{1})\oplus(\varepsilon _{2})\cong {\underline {\text}Exal}}}_{A}(B,(\varepsilon _{1})\time {\underline{\text{Exal}}}_{A}(B,(\varepsilon _{2})}}$

여기서 $I{\displaystyle }$ ${\displaystyle I}$은(는) 이 두 가지 Infiniteimal의 모듈이다.특히, 이것을 고다이라-스펜서 이론과 관련시키고, 콘탄젠트 콤플렉스(아래 제시된 것)와의 비교를 이용하면, 이러한 모든 변형은 다음에 의해 분류된다는 것을 의미한다.

${\displaystyle H^{1}(X,T_{X})\time H^{1}(X,T_{X})}$

따라서 그것들은 단지 한 쌍의 첫 번째 순서 변형일 뿐이다.

코탄젠트 콤플렉스와의 관계

코탄젠트 콤플렉스는 변형 문제에 관한 모든 정보를 포함하고 있으며, $토포스{\displaystyle }$ T ${\displaystyle T}$에 걸쳐 링 $A{\displaystyle }$→ B$[\displaystyle A\to$ B$}$의 형태론을 부여한 근본적인 정리($T{\displaystyle }$ ${\displaystyle T}$을 topos가 일반 링의 구성을 일반화하는 점으로$$ 간주)이다.$$functorial 이형성이다.

${\displaystyle {\text{Exal}}_{A}(B,M)\x오른쪽 화살표 {\simeq } {\text{Ext}_{B}^{1}(\mathbf {L} _{B/A}M)}$^{[1](them III.1.2.3)}

그래서, 서로 다른 사각형의 링 형태에 대해

${\displaystyle {\display}A'&\to &B'\\downarrow &&&\downarrow \\A&\to &B\end{matrix}}$

$T{\displaystyle }$ ${\displaystyle T}$ 위에 사각형이$$ 있다.

${\displaystyle {\display{data}{\text}Exal}}_{A}(B,M)&\to &{\text{Ext}_{B}^{1}(\mathbf {L} _{B/A}M)\\downarrow \\{\text}Exal}}_{A'}(B',M)&\to &{\text{Ext}_{B'}^{1}(\mathbf {L} _{B'/A'},M)\end{matrix}}}$

수평 화살표는 이형성이고 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$은(는) 링 형태론에서 $B{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$ -모듈의$$ 구조를 가지고$$ 있다.

참고 항목

• 변형 이론
• 코탄젠트 복합체
• 피카르 스택

참조

• 접선 공간 및 방해 이론 - 올손
• Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1964). "Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Première partie". Publications Mathématiques de l'IHÉS. 20: 65. doi:10.1007/bf02684747. MR 0173675.
• Weibel, Charles A. (1994), An introduction to homological algebra, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 38, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-43500-0, ISBN 978-0-521-55987-4, MR1269324