Sz.-Nagy의 팽창 정리

Sz.-Nagy 확장 정리(Béla Szőfalvi-Nagy가 증명함)는 Hilbert 공간 H에 대한 모든 수축 T는 H를 포함하는 Hilbert 공간 K에 대한 단일 확장 U를 가지고 있다고 기술하고 있다.

${\displaystyle T^{n}=P_{{H}U^{n}\vert _{H},\quad n\geq 0.}$

더욱이 ∪_nUH의ⁿ 선형스팬이 K에 밀도 있다는 점에서 K가 최소라고 가정했을 때 그러한 확장은 독특하다(단일성 등가까지).이 최소성 조건이 유지되면 U는 T의 최소 단일성 확대로 불린다.

증명

수축 T(즉, ( ${\displaystyle }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \Vert }$ ≤ ${\displaystyle \le }$ $≤$ ${\displaystyle 1}$ {\$displaystyle$\$T\ \leq$ 1$}$ )의 경우,$$ 결점 연산자 D는_T (유일한) 양의 제곱근_T D = (I - T*T)로 정의된다.^½S가 등각계인 특별한 경우에 D는_S* 프로젝터, D_S=0은 D=0이므로, 다음은 Sz이다.필요한 다항식 기능 미적분 특성을 갖는 S의 Nagy Unital expression:

${\displaystyle U={\begin{bmatrix}S&D_{S^{*}\\D_{S}&-S^{*}\end{bmatrix}}}.}$

수축 T의 일반적인 경우로 돌아가면 Hilbert 공간의 모든 수축 T는 다시 미적분학적 특성과 함께 등축적 팽창이 일어난다.

${\displaystyle \oplus _{n\geq 0}H}$

에 의해 주어지는.

${\displaystyle S={\begin{bmatrix}T&0&0&\cdots &\\D_{T}&0&0&\\0&#0•I&0&\ddots \\0&0&&I&\dots \\vdots &&\ddots \end{bmatrix}.}$

따라서 S를 대체하는 것은 이전 Sz로 구성되었다.-등각도 S에 대한 nagy 단일 단위 확장, 수축 T:

${\displaystyle T^{n}=P_{{H}S^{n}\vert _{H}=P_{H}(Q_{H'}U\vert _{H')^{n}\vert _{H}=P_{H}U^{n}\vert _{H}.}$

셰퍼 형식

이 구간은 확장이 필요하다.추가하면 도움이 된다. (2008년 6월)

샤퍼 형태는 단일하수체 Sz이다.Nagy 확장은 주어진 수축에 필요한 속성을 가진 모든 단일 팽창의 특성화의 시작점으로 볼 수 있다.

언급

버거, 포이아스, 레보우(Berger, Foias, Lebow)에 의해 이 정리의 일반화는 X가 T에 대해 설정된 스펙트럼이라면, 그리고

${\displaystyle {\mathcal {R}(X)}$

Dirichlet 대수학이고, 그 다음 T는 위의 형태의 최소 정규 ΔX 확장을 가진다.그 결과 단순하게 연결된 스펙트럼 세트 X가 있는 연산자는 최소의 정상 ΔX 확장이 발생한다.

이것이 Sz를 일반화하는 것을 보기 위해서.-Nagy의 정리, 수축 연산자는 단위 디스크 D를 스펙트럼 세트로 가지고 있으며, 단위 원 ΔD에 스펙트럼이 있는 정상 연산자는 단일하수체라는 점에 유의한다.

참조

• Paulsen, V. (2003). Completely Bounded Maps and Operator Algebras. Cambridge University Press.
• Schaffer, J. J. (1955). "On unitary dilations of contractions". Proceedings of the American Mathematical Society. 6 (2): 322. doi:10.2307/2032368. JSTOR 2032368.