총계

산술 연산 v t

덧셈(+) $\displaystyle \scriptstyle \left.\scriptstyle { text { term } , + , { \ text { term } \ scriptstyle { text { term } , + , \ text { addend } , + , \ text { addend } \ scriptstyle { } , + , \ text { } \ text { addend } } 、 \ \ \ \ \ 、 \ \\\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\$ $\scriptstyle\text{sum}\displaystyle$ 감산(-) $\displaystyle \scriptstyle \left.\scriptstyle { term } 、 \ text { term } 、 \ text { minuend } 、 \ text { minuend } 、 \ text { right } 、 = }$ $\scriptstyle\text{textrecision}$ 곱셈(×) $\displaystyle \scriptstyle \left.\text{factor},\text{factor},\text{factor},\text{factor},\text{factor},\text{factor},\times,\text{factor},\text{factor},=},$ $\scriptstyle \text {product}$ 중분류()) $\displaystyle \scriptstyle \left.\scriptstyle {\scriptstyle {\text{divisor}}\scriptstyle {\text{divisor}}\\\scriptstyle {\scriptstyle {\text{criptator}}}{\end{criptstyle}=,\criptstyle}$ $\scriptstyle\style\text{criptstyle\text{criptient}\\scriptstyle\text{cript}\end{criptstyle$ 지수화(^) $\scriptstyle \scriptstyle \text{base}^{\text{criptent},=,}$ $\scriptstyle \text {power}$ n번째 루트(표준) $\scriptstyle \scriptstyle {\text{degree}}{\scriptstyle {\text{radicand}}},=,}$ $\scriptstyle \text{root}\displaystyle$ 로그(로그) ${\displaystyle \scriptstyle \log _{\text{base}}({\text{anti-discriptm}}),=,}$ $\scriptstyle\text{textm}}$

수학에서, 덧셈은 덧셈 또는 덧셈이라고 불리는 모든 종류의 숫자의 수열을 더하는 것이다; 그 결과는 그들의 합 또는 합계이다.숫자 외에도, 함수, 벡터, 행렬, 다항식, 그리고 일반적으로 "+"로 표시된 연산이 정의된 모든 유형의 수학적 객체의 요소 등 다른 유형의 값들도 합산될 수 있다.

무한 수열의 합계를 급수라고 합니다.이러한 개념에는 한계라는 개념이 포함되며 이 문서에서는 다루지 않습니다.

명시적 수열의 합계는 일련의 덧셈으로 나타난다.예를 들어 [1, 2, 4, 2]의 합은 1 + 2 + 4 + 2로 표시되고 9가 됩니다. 덧셈은 연관성과 가환성이 있기 때문에 괄호가 필요하지 않으며 결과는 합산의 순서에 관계없이 동일합니다.하나의 요소만으로 이루어진 시퀀스를 합하면 이 요소 자체가 됩니다.관례상 빈 시퀀스(원소가 없는 시퀀스)의 합계는 0이 됩니다.

대부분의 경우 시퀀스의 요소는 규칙적인 패턴을 통해 시퀀스 내의 각 요소의 함수로 정의됩니다.단순한 패턴의 경우 긴 시퀀스의 합계는 대부분의 합계가 타원으로 대체되어 표현될 수 있다.예를 들어, 처음 100개의 자연수의 합계는 1 + 2 + 3 + 4 + 99 + 99 + 100으로 쓸 수 있습니다.그렇지 않으면 δ 표기법을 사용하여 합계를 나타냅니다. 여기서$$δ {$textstyle \sum }$은 대문자 그리스 문자 시그마입니다.예를 들어, 첫 번째 n개의 자연수의 합은$\underset{\mathrm{\delta i}}{\overset{}{}}$ $\underset{}{\overset{}{=}}$ $\underset{}{\overset{}{}}$. {$textstyle \sum$ _${i=1$}^{$n}$$i$로 표시될 수 있다.$}$

긴 합계 및 가변 길이의 합계(타원 또는 δ 표기로 정의)의 경우, 결과의 닫힌 형식의 식을 찾는 것은 일반적인 문제입니다.예를 들어,^[a]

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i=black {n(n+1)}{2}.}$

이러한 공식들이 항상 존재하는 것은 아니지만, 많은 합계 공식들이 발견되었으며, 이 문서의 나머지 부분에는 가장 일반적이고 기본적인 공식들이 나열되어 있습니다.

표기법

대문자 시그마 표기법

수학 표기법은 많은 유사한 용어의 합계를 간략하게 나타내는 기호를 사용합니다. 즉, 그리스 문자 시그마의 확대된 형태인 합계 기호 δ$(\textstyle$ \$sum$입니다.이것은 다음과 같이 정의됩니다.

$\displaystyle \sum _{i\mathop {=}m}^{n}a_{i}=a_{m+1}+a_{m+2}+\cdots +a_{n-1}+a_{n}$

여기서 i는 합계의 지수, a는_i 합계의 각 항을 나타내는 지수 변수, m은 합계의 하한, n은 합계의 상한입니다.합산 기호 아래의 "i = m"은 지수 i가 m과 동일하게 시작됨을 의미한다.지수 i는 연속항마다 1씩 증가하며 i = ^[b]n일 때 멈춘다.

이것은 "i_i = m에서 n까지의 a의 합"으로 읽힌다.

다음으로 제곱의 합계를 나타내는 예를 나타냅니다.

$\displaystyle \sum _{i=3}^{2}=3^{2}+4^{2}+5^{2}+6^{2}=86}$

반면 어떤 변수 가중( 없는 모호성 발생된다 제공되)들이 가장 흔한 예가의 인덱스로 사용될 수 있는 그런으로 ,[c]j{j\displaystyle}, k{k\displaystyle}, n의{n\displaystyle}{\displaystyle 나는}일반적으로, 후자 또한 종종 summatio의 상한에 사용되는 편지를 포함한다.n.

또는 맥락이 충분히 명확할 경우 합계의 정의에서 지수와 한계가 생략되는 경우가 있다.이는 특히 지수가 1에서 ^[1]n까지 실행될 때 적용됩니다.예를 들어 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

${\displaystyle \sum a_{i}^2}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}^2}.}$

이 표기법의 일반화는 종종 사용되며, 임의의 논리 조건이 제공되며, 그 조건을 만족시키는 모든 값에 대해 합계를 취하도록 의도되어 있습니다.예를 들어 다음과 같습니다.

$\displaystyle \sum _{0\leq k<100}f(k)}$

는 $\underset{지정}{\overset{}{}}$된 범위의 모든 k$(\displaystyle$k$)$에 대한 f$)$의 $합계{\displaystyle }$(\$textstyle$\sum$$ _${k=0}^{$99$}f(k$))의 $\underset{}{\overset{}{\mathrm{대체}}}$ $표기법입니다.$$f$($k)$의 대체 표기법입니다.유사하게,

$\displaystyle \sum _{x\mathop\in}S}f(x)}$

$S$의 모든 $요소{\displaystyle }$x에 대한${\displaystyle }$f$x)$ {$displaystyle$f$(x$$)\}$의 $합계$입니다.

$\displaystyle \sum _{d,\n}\;\mu (d)}$

는${\displaystyle }$n$\displaystyle$^[d]n을 $나누는{\displaystyle }$ 모든 $양$의 정수 d$\$$displaystyle$ d$\$$mu(d)$의 $합계$입니다.

또한 많은 시그마 부호의 사용을 일반화하는 방법도 있습니다.예를들면,

$(\displaystyle \sum _{i,j})$

와 같다

$(\displaystyle \sum _{i}\sum _{j}).}$

시퀀스의 곱에도 같은 표기법이 사용됩니다.여기서 그리스 대문자 파이(pi)의 확대형식인 $"\textstyle\prod$는$"\textstyle\sum."$ 대신 사용됩니다.

특수한 경우

2개 미만의 숫자를 합산할 수 있습니다.

• 합계 x(\$displaystyle$ x$)$가 1개일 경우 평가된 합계는$$x(\$displaystyle$ x$)$입니다.
• 합계에 총합이 없는 경우 0은 덧셈의 아이덴티티이므로 평가합은 0이 됩니다.이것은 빈합으로 알려져 있다.

이러한 퇴화 케이스는 보통 특별한 경우에서 퇴화 결과를 합산 표기법에 의해 제공할 때만 사용됩니다.예를 들어 위의 정의에서 n ${\displaystyle =}$ {$display style$ n=$m}$이면 합계에 항이 하나뿐이고, ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle \mathrm{m}}$ -$$1 {$displaystyle$ n$=m-1$이면 항이 없습니다.

형식적 정의

합계는 다음과 같이 재귀적으로 정의할 수 있습니다.

${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$δ i ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{=}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}b}$ g${\displaystyle }$( i )$=$ $0 {\displaystyle$ \$sum _{i=a}^{b}g(i)=$0$\},$ b < a;의 경우

${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$a ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}=}$ ${\displaystyle ab}$ g${\displaystyle }$( ${\displaystyle i}$ )${\displaystyle =}$g ( b ) +${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$∑ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{i}}}$=${\displaystyle \underset{}{\overset{}{\mathrm{a}}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ -${\displaystyle 1}$ g${\displaystyle }$( i )$${ $displaystyle$ \$sum _ {i=a}^{b}g(i)=g($i)+\$sum _{i=$a}^{$b-1}g($i$)\}$g(i)}(i) (b)의 경우${\displaystyle \underset{}{\overset{}{,}}}$ bg(i)입니다.

측정 이론 표기법

측정과 적분 이론의 표기법에서, 합은 확실한 적분으로 표현될 수 있다.

$\displaystyle \sum _{k\mathop {=} a}^{b}f(k)=\int _{[a,b]}f,d\mu }$

${\displaystyle \mathrm{여기}}$서${\displaystyle }$a${\displaystyle }$[ , b$]$ { $displaystyle$$$[ a , b$$$]$는 $a$~$b$의 $정수{\displaystyle }$ 서브셋이며,$$μ { \ $displaystyle$\$mu }$는 카운트 측도입니다.

유한차이의 미적분

[m, n] 구간의 정수에 대해 정의된 함수 f가 주어지면 다음 방정식이 성립한다.

$\displaystyle f(n)-f(m)=\sum _{i=m}^{n-1}(f(i+1)-f(i))}$

이것은 유한 차이의 미적분학에서 미적분학의 기본 정리의 유사체이다.

${\displaystyle f(n)-f(m)=\int _{m}^{n}f'(x),param,}$

어디에

${\displaystyle f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}$

f의 도함수입니다.

위의 방정식의 적용 예는 다음과 같습니다.

${\displaystyle n^{k}=\sum _{i=0}^{n-1}\left((i+1)^k}-i^{k}\right).}$

이항 정리를 사용하면 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

$\displaystyle n^{k}=\sum _{i=0}^{n-1}\left(\sum _{j=0}^k-1}{\binom {k}{j}i^{j}\right).}$

위의 공식은 다음과 같이 정의되는 $차분{\displaystyle \mathrm{}}$ 연산자$δ(\displaystyle$ \Delta $\})$의 반전에 더 일반적으로 사용됩니다.

$\displaystyle \Delta(f)(n)=f(n+1)-f(n),}$

여기서 f는 음이 아닌 정수에 정의된 함수입니다.따라서 이러한 함수 f가 주어지면 F${\displaystyle }$${\displaystyle =}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ = F$$ F${\displaystyle }$= ${\displaystyle F}$${\displaystyle }$(${\displaystyle \mathrm{n}}$ + ${\displaystyle 1}$ ) ${\displaystyle -}$F ( \${\displaystyle }$$displaystyle$\ $Delta$ F$$${\displaystyle =}$$$${\displaystyle f}$$$$)$의 역차별을 $계산$하는 것이 문제입니다$.$} 이$$ 함수는 상수의 덧셈까지 정의되며 다음과 같이 선택할^[2] 수 있다$.$

${\displaystyle F(n)=\sum _{i=0}^{n-1}f(i)}$

이러한 합계에 항상 닫힌 형식 식이 있는 것은 아니지만, Faulhaber의 공식은 f${\displaystyle }$(${\displaystyle {}^{}}$) $=$n ${\displaystyle k^{}}$ {\$style$f(n)= $n^{$k$$}인 경우 그리고 선형에 의해 n의 모든 다항식 함수에 대해 닫힌 형식을 제공한다.

일정한 적분에 의한 근사

이러한 많은 근사치는 증가 함수 f에 대해 유지되는 합계와 적분 사이의 다음과 같은 연결을 통해 얻을 수 있다.

$\displaystyle \int _{s=a-1}^{b}f(s)\leq \sum _{i=a}^{b}f(i)\leq \int _{s=a}^{b+1}f(s)\ds.}$

그리고 모든 감소 함수 f:

$\displaystyle \int _{s=a}^b+1}f(s)\leq \sum _{i=a}^{b}f(i)\leq \int _{s=a-1}^{b}f(s)\ds.}$

좀 더 일반적인 근사치에 대해서는 오일러-매클로린 공식을 참조한다.

지수의 적분 가능한 함수에 의해 합계가 주어지는(또는 보간될 수 있는) 합계의 경우, 합계는 대응하는 확정 적분의 정의에서 발생하는 리만 합계로 해석될 수 있다.따라서 예를 들어 다음과 같은 것을 기대할 수 있다.

${\displaystyle {b-a}{n}\sum _{i=0}^{n-1}f\left(a+i440frac {b-a}{n}\right)\int _{a}^b(x)\dx,}$

오른쪽은 정의상 왼쪽의 n ${\displaystyle \to }$ n$$ n {\ \ $displaystyle$ n \ $to$\$infty }$에 $대한{\displaystyle }$ 한계이기 때문입니다.그러나, 주어진 합계 n이 고정되어 있고, f에 대한 추가적인 가정 없이는 위의 근사치의 오차에 대해 거의 말할 수 없다: 심하게 진동하는 함수의 경우 리만 합이 임의로 리만 적분으로부터 멀어질 수 있다는 것은 분명하다.

아이덴티티

아래의 공식은 유한합계를 포함한다; 삼각함수나 다른 초월함수와 관련된 표현의 무한합 또는 유한합은 수학 급수 목록을 참조한다.

일반 아이덴티티

${\displaystyle \underset{}{\overset{}{n}}}$ n${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ t ${\displaystyle C\cdot }$ ${\displaystyle f}$( n )${\displaystyle }$= ${\displaystyle C}$ n${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$=${\displaystyle s}$ t f$$( n ) { $displaystyle$ \$sum _${ n$$=$s } C$\ $cdot$ f ($n$ )$C$ \$cdot$ \$sum$ _ { n$$}$$f ($n$ ) \$$cdot f ( n ) \ cdot }$$ f ( ^[3]n )

${\displaystyle \underset{}{\overset{}{n}}}$ n${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}t}$ f (${\displaystyle }$n )${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$± ∑ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{n}}\underset{}{\overset{}{}}}$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}\underset{}{\overset{}{}}}$ ${\displaystyle g}$( n${\displaystyle }$) ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}t}$( ${\displaystyle f}$(${\displaystyle n}$ )${\displaystyle }$± ${\displaystyle g}$($n$ ${\displaystyle )\{}$ display$style$ \$sum _${ n$$=$s }^{$ t ($n )\pm$ \$sum _ { t }^{ t$} g ( $n = \sum$= s $^{$ n } f ($n$ ) \ pm }$f$ ( n )

${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$∑ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{n}}}$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}t}$ f${\displaystyle }$( n )${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ ∑ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{n=}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{s}}}$ +${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ ${\displaystyle t}$ +${\displaystyle }$p f${\displaystyle }$( $n$-$$p ) {$displaystyle$ \$sum _${ n$$=$$s$}^{ t }f$ ( n ) ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{=}}}$ \$sum _${ n$$= s + p$}$ f ( n - p )\ $sum$_ t + $p$}$$ f ( n - p )

${\displaystyle \underset{}{}}$유한 집합 A에서 집합 ${\displaystyle B}$로의 바이젝션 θ에 대한 n${\displaystyle \underset{}{\theta }}$B $f$( n${\displaystyle }$)$$ $θ$ m${\displaystyle \underset{}{a}}$ A $f$ ( n )$=$ \$sum _${ n \ $in A }$f ( \ $sigma$ ( m ) 、 \ sum$}$ f ( \ sigma ） 、 \ sigma } } f ( \ sum } f ( n )${\displaystyle \underset{}{}}$} f ( \ in A )$$、 \ $sigm$ 、 \ sigm 、 \ $sigm$} f$$ ( \ sigm } f ( \ sigma } f ( \ sigma

${\displaystyle \underset{}{\overset{}{n}}}$ n${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$t ${\displaystyle f}$( n )${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}\underset{}{\overset{}{}}}$ ${\displaystyle f}$(${\displaystyle }$n ) +${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$∑ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{n=}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{\mathrm{j}}}}$ + ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}\underset{}{\overset{}{}}}$ $f$($$n ) { $displaystyle$ \$sum _$ ${$n$$=$$s$} f$ ( n ) $=$ \$sum _${ n$$=$$s } f ( n ) + \ $sum _${ $n =$s$$}$$f ( n ) + { n \ sum _ { j + t f ( n ) ( n )$}$ f ( n ) ( n ) ( n ) sum ) sum )$。$

${\displaystyle \underset{}{\overset{}{n}}}$ n${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}f}$ (${\displaystyle }$n )${\displaystyle }$=${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$∑ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{n}}}$ n${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$b ${\displaystyle f}$(${\displaystyle }$n ) -${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$∑ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{n}}}$=$0$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{\mathrm{a}}}}$ -${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ $f$($$n ){$displaystyle$ \$sum _$ { n$$=$$a$}^{$b ( n ) f ( n ) $=$ \$sum _${ n$$=$0 }^{ b$ ( n ) $f$( n ) - \ sum$_$b ( n ) f ( n ) -$f$ ( $n )$ 。$$

${\displaystyle \underset{}{\overset{}{n}}}$ n${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$t ${\displaystyle f}$( n )${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ ∑ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{n}}}$=${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ t -${\displaystyle s}$ f${\displaystyle }$( $t$-$$n ){ display $style$ \$sum$_ ${n$=$s$}{$t }f(t-n)\sum$}$$ (첫 번째 항에서 마지막까지의 합은 마지막 항까지의 합과 첫 번째 항까지의 합과 같다${\displaystyle \underset{}{\overset{}{.)}}}$

${\displaystyle \underset{}{\overset{}{n}}}$ n${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}t}$ f (${\displaystyle }$n )${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ ∑ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{n}}}$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}\underset{}{\overset{}{}}}$ ${\displaystyle f}$( $t$-$$n ){$displaystyle$ \$sum _ {$n$$=$0 }^{t }f(t-n)\sum$}$$ (위 공식의 특정 경우${\displaystyle \underset{}{\overset{}{)}}}$

${\displaystyle \underset{}{\overset{}{{i\mathrm{}}_{}}}}$ i${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$= ${\displaystyle \underset{{}_{}}{\overset{}{{}_{}}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{{0\mathrm{}}_{}}}}$ k 1${\displaystyle \underset{}{\overset{}{{}_{}}}\underset{j}{\overset{}{}}}$ j${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{{l\mathrm{}}_{}}}}$ ${\displaystyle \underset{{}_{}}{\overset{}{{}_{}}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{{l\mathrm{}}_{}}}}$ ${\displaystyle {1a}_{}}$ , j${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{{l\mathrm{}}_{}}}}$ ${\displaystyle \underset{{}_{}}{\overset{}{{}_{}}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{{l\mathrm{}}_{}}}}$ 1${\displaystyle \underset{}{\overset{}{{}_{}}}\underset{}{\overset{}{}}}$、 ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{i}}}$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{{k\mathrm{}}_{}}}}$ ${\displaystyle \underset{{}_{}}{\overset{}{{}_{}}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{{k\mathrm{}}_{}}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{{}_{}}}{}_a}$ ,$j$ \$displaystyle _${ i =$k$ _ { 0 } {$k$ _ {$1$} \ $sum _${ j$_$l _ { 0 } = { l _ { l _ { n 1} = { $j$} _$sum 、$ { l _ i }

$kn$$_{i+j,i}\contract$}($$환산성과 연관성의 다른 응용 프로그램)

${\displaystyle \sum _{}^{}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{n}}}$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{\mathrm{}}}}$ s${\displaystyle \underset{}{\overset{}{2}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{\mathrm{t}}}}$ + ${\displaystyle 1}$f${\displaystyle }$( n )${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{n}}}$ n${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}\underset{}{\overset{}{}}}$ ${\displaystyle \mathrm{f}}$ (${\displaystyle 2}$n ) +${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$∑ $n$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$t ${\displaystyle \mathrm{f}}$ (${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \mathrm{n}}$+$$1 ) ( \$displaystyle _${ n$$= 2 s$}^{ 2 t$ +$1$f ( n )$=$ \$sum$_ {$n$=$$s$}^{ t$ + f ( n + 1$$f ( n )

${\displaystyle \sum _{}^{}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{n}}}$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{2\mathrm{s}}}}$ + ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{1}}}$ 2${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ ${\displaystyle f}$( n )${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}\mathrm{n}}$ ${\displaystyle =}$s +${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}1}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{t}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{f}}\underset{}{\overset{}{}}}$( ${\displaystyle \underset{n}{\overset{}{}}}$ ) + $f$ n ${\displaystyle =}$ s + 1${\displaystyle }$t $f$ ( ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \mathrm{n}}$-$$1 ){$display$ \ sum $_${ n =$2 s$ $+$ 1 $t$f ( n ) f ( n$= \ sum$_ { n + $1 }$f ( n +$s$) _ $sum$

${\displaystyle (}$ ${\displaystyle \sum \underset{}{\overset{}{}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{i}}{}_{}\underset{}{\overset{}{=}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{0}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}{}_{}}$ ${\displaystyle a_{}}$) ( ${\displaystyle \sum \underset{}{\overset{}{}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{\mathrm{j}}}}$ = ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}{}_{}}$j ) ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ 0 ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{n}}}$ j ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{=}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{0}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ ${\displaystyle a_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}{}_{}}$b ${\displaystyle j_{}}$ \$style$ \ $display$ \ left ( \ $sum _$ { i$$= 0 }^{ $n$} $a$_ { $i$} \ $right$) \ （ \ $sum$_ $j = 0$}^{ $nb _$ right ） $_ sum$ _ n $b =$ 0 .

${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{i}}\underset{}{\overset{}{}}}$= s m${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}{}_{}}$ ${\displaystyle a_{}}$ c j${\displaystyle {}_{}=}$ (${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$∑ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{i}}}$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}{}_{}}$ m ${\displaystyle a_{}}$ i ) (${\displaystyle }$display${\displaystyle \underset{j}{\overset{}{}}}$ =${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$t ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}{}_{}}$ j ) ($display$ j = t ${\displaystyle c_{}}$j ) { $style$ \$sum _${ $i$= $s }^{ n }${ $a _$ { i } { $c$_ { j } = \$sm$_$i }$ $}$ (((((( ( ( ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{(}}}$ ( ( ）

${\displaystyle \underset{}{\overset{}{n}}}$ n${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ ${\displaystyle t_{}}$ log b${\displaystyle }$⁡ ${\displaystyle f}$( n )${\displaystyle \underset{}{\overset{}{=}}}$ ${\displaystyle {log}_{}}$ b${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$⁡ n ⁡ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{n}}}$⁡ $n$t f ( n ) $\ displaystyle$ \$sum _${ n$$= \$log$ _ {$b$ } \$log$_ { b } \ log _ { n$}^{${ $n$} f ($n$ )\ log _ { n $$} f ( n )\$$log _ n )\ log _ t (곱)\ log f (곱셈의 로그 인수의 합)

${\displaystyle C^{\underset{n}{\overset{}{}}}}$ n ${\displaystyle {\underset{}{\overset{}{=}}}^{}}$ ${\displaystyle {\underset{}{\overset{}{}}}^{}}$ t${\displaystyle {\underset{}{\overset{}{}}}^{}}$ (${\displaystyle n^{}}$ ) ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{n}}}$ n ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{=}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ t ${\displaystyle F^{}}$(${\displaystyle n^{}}$ ${\displaystyle )\{{}^{}}$ $display style$ C$^{\sum \sum$ _${n=s}^{t}f(n$)}C$^{f(n)}\quad$}$$ (지수의 합은 지수의 곱이다.)

산술 급수의 거듭제곱과 로그

${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$i에 의존하지 않는 모든 c에 대해${\displaystyle \underset{\theta }{\overset{}{}}}$ i${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$c =$$ c {$displaystyle$ \$sum _${ i$$=$$1$}^{ n$} $c$= $nc$ \ exc$$}

${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ i${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ n${\displaystyle }$i ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{i}}}$ i${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ n${\displaystyle \frac{i}{}}$ ${\displaystyle \frac{=}{}}$ ${\displaystyle n\frac{}{}}$( ${\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$+ 1 )$2 (\style \sum$_ ${i=0}^{n}$i$$=$sam frac {n(n+$1)}{2$}}$ \$qquad$}$$ (자연수로 ^{[2]: 52} 이루어진 가장 간단한 산술 수열의 합계${\displaystyle \underset{}{\overset{}{)}}}$

${\displaystyle \underset{}{\overset{}{i}}}$ i${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$= ${\displaystyle 1\underset{}{\overset{}{}}}$n ( ${\displaystyle 2\mathrm{i}}$- 1)${\displaystyle \underset{}{\overset{}{=}}{}^{}}{\displaystyle {n\mathrm{}}^{}}$ 2 ( \$displaystyle$ \$sum _$ { i$$=$$1$}^{n$} ( $2i-1)=n^{2}\qquad$ }$$ $($첫 번째 홀수 자연수의 합계)

${\displaystyle \underset{}{\overset{}{i}}}$ i${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}\mathrm{}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2}$ i${\displaystyle =}$ ${\displaystyle \mathrm{n}}$( $n$+$$1 ){$displaystyle$ \$sum _{i=0}^{n}2i=n(n+$1)\$qquad$} (첫 번째 짝수 자연수의 합계${\displaystyle \underset{}{\overset{}{)}}}$

${\displaystyle \underset{}{\overset{}{i}}}$ i${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ ${\displaystyle n}$log ${\displaystyle i}$ i${\displaystyle }$=${\displaystyle }$log$n$ ! { $displaystyle$ \$sum _ {$i$$=$$1$}^{n$}\$log$ i$=\log$ n!\qquad$$} (대수의 합은 곱의 로그${\displaystyle \underset{}{\overset{}{)}}}$

$displaystyle$$}}=sqfrac {n^{3}}{3}}+{\frac {n^{2}}{\frac {n}{$6}}\$qquad$}($$첫 번째 정사각형의 합, 정사각형의 숫자를 참조).^{[2]: 52}

$displaystyle$$}\right$)^{2$}=nfrac {n^{4$}}{4$}+{\frac {n^{3$}}{2$}+{\frac {n^{4}}\qquad$}(니코마치 정리)

보다 일반적으로 p>에 Faulhaber 공식(\$displaystyle$ p$>1$)이 있습니다.

${\displaystyle \sum _{k=1}^{p}{p+1}}{p+1}}+{\frac {1}{p}+\sum _{k=2}^{p}{\binom {p}{p}{\frac {B_{k}{p+1}{p}+{p}{p}{p}}}{\frac {p}{p}}}{p}}}}}}{p}}}}}{p}}}}}}{p}}}}{p}}}}}}}}}}}}$

${\displaystyle {여기}_{}}$서 B k$(\$})는$$ 베르누이 수를 나타내고$,{\displaystyle }$ (${\displaystyle \genfrac{}{}{0ex}{}{p}{}}$ k$)$ {$displaystyle {p}{k}}$는 이항 계수입니다.

지수 단위의 합계 지수

다음 합계에서는 a가 1과 다른 것으로 가정한다.

${\displaystyle \underset{}{\overset{}{\theta }}}$ i${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$=${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{\mathrm{n}}}}$ - ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}{}^{}\frac{{}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{=}{}}$ ${\displaystyle 1\frac{\mathrm{}}{}}$ - ${\displaystyle \frac{{}^{}}{\mathrm{}}}$n 1$$- a ${\displaystyle \frac{1}{}}$ - a 1 - a \$displaystyle$ \$sum _ {i=0$}^{$n-1}$ a^{i} = $afrac {1-a^{$n}} {$1-a}}}$ (기하 급수의 합${\displaystyle \underset{}{\overset{}{)}}}$

${\displaystyle \underset{}{\overset{}{i}}}$ i${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}\frac{\mathrm{}}{}}$ - 1 ${\displaystyle \frac{1^{}}{}}$ 2 i${\displaystyle \frac{{}^{}}{}=}$ ${\displaystyle 2\frac{\mathrm{}}{}}$ - ${\displaystyle \frac{{\mathrm{}}^2}{}}$ ${\displaystyle \frac{{\mathrm{n}}^{}}{}}$- 1 {$displaystyle$ \$sum _${ $i =$ 0 }^{ n - 1 }{\$frac${ $1$}= $2$- { \$frac$ {$1 }{$ 2 ^ { $n$- 1 $$}} = 2 - { 2 = 1 / 2${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$）

${\displaystyle \underset{}{\overset{}{\gamma }}}$ i${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{\mathrm{n}}}}$ - ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle i^{}\frac{=}{}}$ ${\displaystyle a\frac{}{}}$ - ${\displaystyle \frac{n^{}}{}}$a${\displaystyle \frac{n}{}}$ +${\displaystyle \frac{}{}}$( ${\displaystyle \frac{n^{}}{}}$- ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$)${\displaystyle \frac{{}^{}}{\mathrm{a}}}$ ${\displaystyle \frac{{\mathrm{n}}^{}}{}}$+ 1 (${\displaystyle \frac{1{}^{}}{}}$- ${\displaystyle \frac{{a\mathrm{}}^{}}{}}$) 2 ( $\style$ \$sum _ {i=$ 0}^{$n-1}$ia^{i}=$sq {a-na^{n}+(n-1)a^{n-1$}}{n-1$}}}{1-a}}}{-$a}}}}}{$n+{$n-a}}}}}}}}}}}}}}}{$$n__________1-a__________

${\displaystyle {displaystyle _{i=0}^{n-1}\left(b+id\right)a^{i}&=b\sum _{i=0}^{n-1}+d\sum _{i=0}^{i}{n-1}ia^{i}\&=b\frac{n-1}{a}{n-1}{i}{n}{n}{n}{i}{n}{n}{n}{n}{n}{n}{n}{n}{n}{displayst\&=paramfrac {b(1-a^{n}-(n-1)da^{n}}{1-a}}+{\frac {da(1-a^{n-1})}{(1-a)^2}}\end{aligned}}}}$

(산술-수열 합계)

이항 계수 및 인자

이항 계수와 관련된 매우 많은 합계 식별성이 존재합니다(구체 수학의 전체 장은 기본 기술에만 전념합니다).가장 기본적인 것 중 몇 가지는 다음과 같습니다.

이항 정리 포함

${\displaystyle \underset{}{\overset{}{\theta }}}$ i${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$=${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ ${\displaystyle n\genfrac{}{}{0ex}{}{}{}}$ (${\displaystyle \genfrac{}{}{0ex}{}{n}{}}$ ${\displaystyle i{}^{}}$ )${\displaystyle a^{}n}$ - ${\displaystyle i^{}}$ b ${\displaystyle i^{}{}^{}=}$( a${\displaystyle {}^{}}$+ b${\displaystyle {}^{}}$)$n$ , {$displaystyle$ \$sum _$ ${i=0}^{n}{n \choose i}$a^{$n-i}$b^{i$}=(a+b)^{$n}, 이항$$ 정리

${\displaystyle \underset{}{\overset{}{i}}}$ i${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$= ${\displaystyle 0\genfrac{}{}{0ex}{}{}{}\underset{}{\overset{}{}}\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{}}$ ( n${\displaystyle }$i )${\displaystyle }$=$2$n , {$displaystyle$ \$sum _${ i$$= 0 $}^{n}{n$ \$choose i}=2^{n$}} $특별$한 경우${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$a = b = 1

${\displaystyle \underset{}{\overset{}{i}}}$ i${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$=${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}0\genfrac{}{}{0ex}{}{}{}}$ n ( ${\displaystyle n{}^{}}$i )${\displaystyle {}^{}\mathrm{p}}$ i${\displaystyle }$( ${\displaystyle 1{}^{}}$- ${\displaystyle p^{}}$) ${\displaystyle n^{}}$ - i$=$ $1$ \$displaystyle$ \$sum _$ { i$$= 0$}{$n \ choose i } p^{ i }($1-p)^{n-i}=$1$\},$ p = a = 1 - b ( $0 ≤$≤ 0 0 0 , {\ 1 ) n$$、 \ sum _ 1 \ i \ q {\ 1 \ ${\displaystyle \mathrm{q}}$ 1 \ 、 \$q$ 0 1 \ q 1 \ , 1 \ sum _ $n$${\displaystyle }$q 1 \${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$q 1 \ q 1 q 1 \

${\displaystyle \underset{}{\overset{}{\theta }}}$ i${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}\underset{}{\overset{}{}}}$ ${\displaystyle i\genfrac{}{}{0ex}{}{}{}}$ (${\displaystyle }$n i )${\displaystyle =}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ( ${\displaystyle {2\mathrm{n}}^{}}$-${\displaystyle }$1$$) , {$displaystyle$ \$sum _ {i=0}^{n}i{n$ \$choose i}=n($2$$^{$n-1}), a$ = b = a에 대한 도함수 값

${\displaystyle \underset{}{\overset{}{\delta }}}$ i${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$= ${\displaystyle \frac{0\genfrac{}{}{0ex}{}{}{}}{}\underset{}{\overset{}{}}\frac{}{}}$n (${\displaystyle \frac{n}{}}$ i${\displaystyle \frac{}{}}$) ${\displaystyle \frac{\mathrm{i}}{}}$ + 1${\displaystyle \frac{}{}}$= ${\displaystyle \frac{2^{}}{}}$n${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$+ ${\displaystyle \frac{1}{}}$ -${\displaystyle \frac{1}{}}$ n${\displaystyle \frac{}{}}$+$1$ , ${\displaystyle$ \$sum _$ ${i=0}^{n}{n$ \$choose i}{i$+1$}= at$ a = b+1$}$의 이항식 a에 대한 값

치환 번호 포함

다음 합계에서 ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle P_{}}$ k$${\$displaystyle {}_{n}P_{k}$는 n의 k 변환 수입니다.

$({displaystyle \sum _{i=0}^{n}_{i}P_{k}{n\choose i}={}_{n}P_{k}(2^{n-k})})$

${\displaystyle _{i=1}^{n}{i+k}P_{k+1}=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=0}^{k}(i+j)=frac {(n+k+1)!}{(n-1)!(k+2)}}}$

$z$$i$$\cdot {$n$\choose$ i$}=\sum$ _${i=0}^{n}_{n}P_{i$}=\$lfloor$ n$!\cdot$ e$\$$loor$$,\cdot$n\$in \mathbb${Z$\}^\{+\}.$ 여기서${\displaystyle \mathrm{xdisplay}}$ x $⌋$ { $displaystyle$ \$lfloor }$는 바닥 함수를 나타냅니다.

다른이들

${\displaystyle \sum _{k=0}^{m}{\binom {n+k}{n}=binom {n+m+1}{n+1}}$

$\displaystyle \sum _{i=k}^n}{i \choose k}={n+1 \choose k+1}$

$\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i\cdot i!=(n+1)!-1}$

$\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{m+i-1 \choose i}={m+n \choose n}$

$\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{n\choose i}^{2}={2n\choose n}$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{\frac {1}{i!}}=440frac {lfloor n!\;e\loor}{n!}}}$

조화수

$n$${\displaystyle \underset{}{\overset{}{=}}}$$H_{n}($이것은 n번째 고조파수)

$displaystyle$$H_{n}^{k}($일반화된 조화수)

증가율

다음은 유용한 근사치입니다(theta 표기법 사용).

${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$-1보다 큰 실수 c에 대해$real$ i${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$= ${\displaystyle \mathrm{1}}$ n ${\displaystyle i^{}}$ ${\displaystyle {}^{}{}^{}}$∈${\displaystyle }$（${\displaystyle n^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{c}}^{}}$+ 1$$） { $displaystyle \sum$ _ ${i=1}^{n}$ i$^{c}\in \Theta$ ( $n^{c+$1$$})

${\displaystyle \underset{}{\overset{}{i}}}$ i${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}\frac{\mathrm{}}{}}$ n ${\displaystyle \frac{1}{}}$ i${\displaystyle }$∈${\displaystyle }$( ${\displaystyle {log}_{}}$ （ log$)n$ ） {$displaystyle \sum$_ {$i=1}^{n}{\frac {1}{i}}\in$ \$Theta (\log$_{$e}$n)\$$in \Theta$$(\$ea$ (\log _{e}n) 참조${\displaystyle \underset{}{\overset{}{)}}}$

${\displaystyle \underset{}{\overset{}{\theta }}}$ i${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}{}^{}}$ ${\displaystyle c^{}}$ ${\displaystyle {}^{}{}^{}}$∈${\displaystyle }$( （$c$n ） {$displaystyle$ \$sum _ {$i$$=$$1$}^{n}$ c$^{i}\in$ \$Theta$ ($$c$^{n$})

${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$음이 아닌 실수 c의 경우${\displaystyle \underset{}{\overset{}{,}}{}^{}i}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ = ${\displaystyle 1}$ n${\displaystyle \log (}$ ( ${\displaystyle i^{}}$) c ∈${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle n^{}}$ $）$ c \$displaystyle$ \$sum _$ ${i=1$}^{$n}\log(i)^{c}\in$ \$Theta$( n \$cdot \log$ ($n )^{$c$$}} }

${\displaystyle \underset{}{\overset{}{i}}}$ i${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$= ${\displaystyle 1}$ n${\displaystyle \log }$ ${\displaystyle ({}^{}}$( ${\displaystyle i^{}}$ ) c${\displaystyle {}^{}}$⋅ ${\displaystyle {}^{}{\mathrm{d}}^{}}$ + 1${\displaystyle {}^{}}$⋅$log$( ${\displaystyle n^{}}$) c$){ displaystyle$ \$sum _ {i=1} {log(i$)^{$c}\cdot i^{d}\in$ \$Theta$ ($negative$ )$。$

${\displaystyle \underset{}{\overset{}{i}}}$ i${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$= ${\displaystyle 1}$ n${\displaystyle \log }$ ${\displaystyle ({}^{}}$( ${\displaystyle i^{}}$ ) c${\displaystyle {}^{}}$⋅ ${\displaystyle i^{}}$ d${\displaystyle {}^{}}$⋅ ${\displaystyle b^{}}$ i${\displaystyle }$∈ 、 ${\displaystyle n^{}}$ ${\displaystyle \mathrm{d}}$⋅ ${\displaystyle \log {}^{}(}$ ( ${\displaystyle n}$ ) ${\displaystyle c^{}\underset{}{\overset{}{\cdot }}}$ $b$ n${\displaystyle {}^{}}$\$displaystyle$ \$sum _${ i$$=$$1 }^{ n$}\ log$ ($i$ )^{$cdot i }$ $\ ta （ cdot }$

역사

• 1675년, 고트프리드 빌헬름 라이프니츠는 헨리 올덴부르크에게 보낸 편지에서, 미분(라틴어: 미적분 수마토리우스)의 합을 표시하기 위해 기호 the를 제안했고, 따라서 ^[4][5][6]S자 모양을 만들었다.이 기호의 이름은 나중에 요한 베르누이와의 ^[6]교환에서 비롯되었다.
• 1755년, 합계 기호 δ는 Leonhard Oiler의 Institutiones calci differentialis에서 ^[7][8]증명되었다.오일러는 다음과 같은 식에서 기호를 사용합니다.

$(\displaystyle \Sigma \ (2wx+w^{2})=x^{2}})$

• 1772년에 Lagrange는 ^[7][9]σ과 is의ⁿ 사용을 증명했다.
• 1823년에는 대문자 S가 급수의 합계 기호로서 증명된다.이 사용법은 분명히 ^[7]널리 퍼져 있었다.
• 1829년에 푸리에와 C. G. J. 자코비가 가산 기호 ^[7]δ를 증명했다.푸리에에는 다음과 같은 하한 및 상한이 사용됩니다.^[10][11]

$\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty}e^{-i^{2}t}\ldots}$

「 」를 참조해 주세요.

• 대문자 pi 표기법
• 아인슈타인 표기법
• Iverson 브래킷
• 반복 이진 연산
• 카한 가산 알고리즘
• 제품(수학)
• 부품별 합계
• ∙ 단일 글리프 (U+2211 N-ARY SUMMATION)
• ∙ 페어링된 글리프의 시작(U+23B2 SUMMATION TOP)
• ∙ 페어링된 글리프의 끝부분(U+23B3 SUMTION Bottom)

메모들

레퍼런스

참고 문헌

• Cajori, Florian (1929). A History Of Mathematical Notations Volume II. Open Court Publishing. ISBN 978-0-486-67766-8.

외부 링크

• Wikimedia Commons에서의 요약 관련 매체