완전승법함수

수 이론에서, 제품을 존중하는 양의 정수의 함수는 중요하며 완전 승법 함수 또는 완전 승법 함수라고 불린다.약한 조건도 중요하며, 짝수 숫자의 생산물만을 존중하며, 그러한 기능을 승법함수라고 한다.숫자이론 외에, "복제함수"라는 용어는 이 글에서 정의한 "완전히 승법함수"와 동의어로 받아들여지는 경우가 많다.

정의

완전 곱셈 함수(또는 완전 곱셈 함수)는 산술 함수(즉, 자연수인 함수)로서, f(1) = 1과 f(ab) = f(a)f(b)^[1]가 모든 양의 정수 a와 b에 대해 보유한다.

f(1) = 1이라는 요구사항이 없다면, 모든 양의 정수 a에 대해 f(1) = 0을 가질 수 있지만, f(a) = 0을 가질 수 있으므로, 이는 매우 강력한 제한이 아니다.

위의 정의는 대수학 언어를 사용하여 바꾸어 말할 수 있다.완전 곱셈함수는 단형$({\displaystyle {}^{}}$+ ,${\displaystyle {}^{}\cdot }$) ${\displaystyle(\mathb {Z}^{+},\cdot )}($즉, 곱셈 하의 양의 정수)에서 다른 모노이드에 이르는 동형성이다.

예

완전 승법 함수의 가장 쉬운 예는 선행 계수 1: 특정한 양의 정수 n에 대해 f(a) = a를ⁿ 정의한 다음 f(BC) = (BC)ⁿ = bcⁿⁿ = f(b)f(c), f(1) = 1 = 1을ⁿ 정의한다.

리우빌 함수는 디리클레 문자, 자코비 기호, 레전드르 기호처럼 완전히 승법적인 함수의 비견이다.

특성.

완전 승법 함수는 산술의 기본 정리의 결과인 소수에서의 값에 의해 완전히 결정된다.따라서 n이 구별되는 primes의 힘의 산물인 경우 n = p^a q^b ..., f(n) = f(p)^a f(q)^b라고 한다.

두 개의 승법 함수의 디리클레 콘볼루션은 승법이지만, 두 개의 완전한 승법 함수의 디리클레 콘볼루션은 완전히 승법할 필요는 없다.

함수에 대한 다양한 진술이 있는데, 함수가 완전히 승화되는 것과 동등하다.예를 들어 함수 f가 승법인 경우, 디리클레 역이 $\mu {\displaystyle \mu }$ f ${\displaystyle \cdot f}$인 경우에만 완전히 승법이다. 여기서$$ $\mu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \mu }$은 뫼비우스 함수다.^[2]

완전하게 승화된 기능도 분배 법칙을 충족시킨다.만약 f가 완전히 승수라면.

${\displaystyle f\cdot(g*h)=(f\cdot g)**(f\cdot h)}$

여기서 *는 Dirichlet 제품을 나타내고 and ${\displaystyle \cdot }$은 점 곱셈을 나타낸다$$.^[3]이것의 한 가지 결과는 어떤 완전한 승법 함수에 대해 f가 가지고 있는 것이다.

$\displaystyle f*f=\tau \cdot f}$

$위$의 항목에서 g${\displaystyle }$= ${\displaystyle h}$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle g=h=1$}을(를) 모두 삽입하여 추론할 수 있으며$,$ $여기$서 1${\displaystyle (n)}$ = ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 1(n)=1}$은 상수함수다.여기서$divisor{\displaystyle }$ 함수는 {\$displaystyle \$tau }이다.

분배재산증명서

${\displaystyle {\ligned}f\cdot \left(g*h\right)(n)&=f(n)\cdot \sum _{d)g(d)\lefrac{n}}\right)=\\&=\sum _{d n}f(n)\cdot(g(d)h\leftfrac\frac {n}{d}\오른쪽)=\\&=\sum _{d(d)f\left\frac\frac {n}{d}\오른쪽)\cdot (g(d)h\leftft\frac\frac{n}}\cdot (d){\text{{}f{\text{은 완전히 승법이기 때문에}}}}\\&=\sum _{dn}\cdot(f\leftleft\frac {n}\{d}\오른쪽)\leftx\frac{n}}}}\오른쪽)\\&=(f\cdot g)*(f\cdot h).\end{정렬}}}$

디리클레트 시리즈

완전(또는 전체) 곱셈 디리클레 시리즈 $a{\displaystyle }$ (${\displaystyle n}$)${\displaystyle$ a$(n)}$의 L-기능이 충족됨$$

${\displaystyle L(s,a)=\sum _{n=1}^{\inflt }{n(n)}{n^{s}}=\frac {a(p)}{p^}{p^}{\biggl (}{1-{\frac{p^}}}}}^{-1},}},},},},},},},},},},},},},},}$

즉, 자연수 전체에 걸친 합이 소수 전체에서 제품과 같다는 것을 의미한다.

참고 항목

• 산술 함수
• 디리클레 L-기능
• 디리클레트 시리즈
• 승수함수

참조