아브라함-로렌츠 힘

전자기학에서 아브라함-로렌츠 힘(Abraham-Lorentz force)은 가속하는 하전입자에 대한 반력으로, 입자가 자기 상호작용에 의해 전자기 복사를 방출함으로써 발생합니다. 방사선 반력, 방사선 감쇠력 ^[1]또는 자기력이라고도 합니다.^[2] 이것의 이름은 물리학자 맥스 에이브러햄과 헨드릭 로렌츠의 이름을 따서 지어졌습니다.

이 공식은 특수 상대성 이론보다 앞서지만 처음에는 상대론적이지 않은 속도 근사에 대해 계산되었으며 맥스 에이브러햄에 의해 임의의 속도로 확장되었으며 조지 아돌프 쇼트에 의해 물리적으로 일치하는 것으로 나타났습니다. 상대론적이지 않은 형태를 로렌츠 자기력이라고 하고, 상대론적인 형태를 로렌츠-디랙 힘 또는 아브라함-로렌츠-디랙 힘이라고 통칭합니다.^[3] 방정식은 양자 물리학이 아닌 고전 물리학의 영역에 있으므로 대략 콤프턴 파장 이하의 거리에서는 유효하지 않을 수 있습니다.^[4] 그러나 이 공식에는 완전히 양자론적이고 상대론적인 두 가지 유사체가 있습니다: 하나는 "아브라함-로렌츠-디랙-랑주 방정식"이라고 불리고,^[5] 다른 하나는 움직이는 거울 위의 자기 힘입니다.^[6]

힘은 물체의 전하의 제곱에 비례하고 물체가 경험하고 있는 저크를 곱한 것입니다. (Jerk는 가속도의 변화율입니다.) 힘은 저크 방향을 가리킵니다. 예를 들어, 저크가 속도와 반대를 가리키는 사이클로트론에서 복사 반응은 입자의 속도와 반대 방향으로 진행되어 제동 작용을 제공합니다. 아브라함-로렌츠 힘은 전파를 방사하는 무선 안테나의 복사 저항의 근원입니다.

아브라함-로렌츠-디랙 방정식에는 입자가 힘을 가하기 전에 가속하는 병리학적 해, 소위 사전 가속 해가 있습니다. 이것은 원인 이전에 발생하는 효과를 나타낼 것이기 때문에(역인과성), 일부 이론은 방정식이 신호가 시간을 거슬러 이동하도록 허용하여 인과성의 물리적 원리에 도전한다고 추측했습니다. 이 문제의 해결책 중 하나는 Arthur D에 의해 논의되었습니다. 야그지안은^[7] 프리츠 로를리히와^[4] 로드리고 메디나에 의해 더 논의되었습니다.^[8]

정의 및 설명

수학적으로 비상대론적 속도 근사 $v$ ≪ c {\ $displaystyle$ v\ll c}에 대해 유도된 로렌츠 자기 힘은 다음과 같이 SI 단위로 주어집니다.

\mathbf {F} _{\mathrm {rad} }={\frac {\mu _{0}q^{2}}{6\pi c}}\mathbf {\dot {a}} ={\frac {q^{2}}{6\pi \varepsilon _{0}c^{3}}}\mathbf {\dot {a}} ={\frac {2}{3}}{\frac {q^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}c^{3}}}\mathbf {\dot {a}}

또는 가우시안 단위로 표시됩니다.

\mathbf {F}_{\mathrm {rad}} = {2 \over 3}{\frac {q^{2}}{c^{3}}\mathbf {\dot {a}} .

$\mathbf {F} _{\mathrm {rad} }$ 서 $Fr$ $\mathbf {F} _{\mathrm {rad} }$ {\ $displaystyle \mathbf$ { $F}$ _{\ $mathrm$ {rad $}}$ 는 힘이고, $\mathbf {\dot {a}}$ ˙ ${\displaystyle \mathbf {\$ dot {a}}는 가속도의 도함수 또는 변위의 제3 도함수이며, μ는 자기 상수, ε는 전기 상수, c는 자유 공간에서의 빛의 속도입니다. 그리고 q는 입자의 전하입니다.

물리적으로 가속하는 전하는 방사선을 방출하고(라모르 공식에 따라), 이 방사선은 전하로부터 운동량을 전달합니다. 운동량이 보존되기 때문에 전하는 방출되는 방사선의 반대 방향으로 밀려납니다. 실제로 위의 복사력 공식은 아래와 같이 라모르 공식에서 유도될 수 있습니다.

임의의 속도에 대한 로런츠 자기력의 일반화인 아브라함-로런츠 힘은 다음과 같이 주어집니다.^[9]^[10]

\mathbf {F} _{\mathrm {rad} }={\frac {2kq^{2}}{3c^{3}}}\left(\gamma ^{2}{\dot {a}}+{\frac {\gamma ^{4}v(v\cdot {\dot {a}})}{c^{2}}}+{\frac {3\gamma ^{4}a(v\cdot a)}{c^{2}}}+{\frac {3\gamma ^{6}v(v\cdot a)^{2}}{c^{4}}}\right)

γ $\gamma$ {\displaystyle \gamma}가 v{\displaystyle v $}$ 와 관련된 로렌츠 인자이고, 입자 및 k {\displaystyle k}의 속도는 쿨롱 상수입니다. 이 공식은 특수 상대성 이론과 일치하며 낮은 속도 한계에 대한 로렌츠의 자기 힘 표현으로 줄어듭니다.

디랙이 임의의 형태의 기본 전하에 대해 추론한 복사 반응의 공변 형태는 다음과 같습니다.^[11]^[12]

F_{\mu }^{\mathrm {rad} }={\frac {\mu _{0}q^{2}}{6\pi mc}}\left[{\frac {d^{2}p_{\mu }}{d\tau ^{2}}}-{\frac {p_{\mu }}{m^{2}c^{2}}}\left({\frac {dp_{\nu }}{d\tau }}{\frac {dp^{\nu}}{d\tau }\right)\right]

역사

전류에 의한 전자기 복사 에너지의 최초 계산은 1883년 조지 프랜시스 피츠제럴드에 의해 이루어졌는데, 여기서 복사 저항이 나타납니다.^[13] 그러나 하인리히 헤르츠의 쌍극자 안테나 실험은 더 큰 영향을 주었고 방사선 방출로 인한 진동자의 상각이나 감쇠에 대한 푸앵카레의 논평을 모았습니다.^[14]^[15]^[16] 가속 전하에 의해 방출되는 방사선의 감쇠 효과를 둘러싼 정성적 논의는 1891년 헨리 푸앵카레에 의해 촉발되었습니다.^[17]^[18] 1892년 헨드릭 로렌츠는 낮은 속도에 대한 전하의 자기 상호작용력을 유도했지만 방사선 손실과는 관련이 없었습니다.^[19] 방사선 에너지 손실과 자기 힘 사이의 관계에 대한 제안은 맥스 플랑크에 의해 처음으로 이루어졌습니다.^[20] 기본 하전 입자에 대해 특별한 모양을 가정하지 않은 플랑크의 감쇠력 개념은 1898년 맥스 에이브러햄에 의해 안테나의 복사 저항을 찾기 위해 적용되었으며, 이는 현상의 가장 실용적인 응용으로 남아 있습니다.^[21]

1900년대 초, 아브라함은 로런츠 자기력을 임의의 속도로 일반화하는 것을 공식화했고, 물리적 일관성은 나중에 조지 아돌프 쇼트에 의해 나타났습니다.^[9]^[22]^[23] 쇼트는 아브라함 방정식을 유도할 수 있었고, "가속 에너지"가 전자기 복사의 에너지원이라고 생각했습니다. 원래 1908년 아담스상의 에세이로 제출된 그는 대회에서 우승했고 1912년에 에세이를 책으로 출판했습니다. 자기 힘과 방사선 반응의 관계는 이 시점에서 잘 정립되었습니다.^[24] 볼프강 파울리는 처음에 복사 반응의^[25]^[26] 공변 형태를 얻었고 1938년에 폴 디랙은 하전 입자의 운동 방정식이 입자의 모양을 가정하지 않고 합리적인 근사치 내에서 아브라함의 공식을 포함한다는 것을 발견했습니다. 디랙이 도출한 방정식은 고전 이론의 한계 내에서 정확한 것으로 간주됩니다.^[11]

배경

고전 전기역학에서 문제는 일반적으로 두 가지 클래스로 나뉩니다.

필드의 전하와 전류원이 특정되고 필드가 계산되는 문제 및
반대 상황, 필드가 지정되는 문제, 입자의 움직임이 계산됩니다.

플라즈마 물리학과 수송 계수 계산(전도도, 확산도 등)과 같은 물리학의 일부 분야에서는 소스에 의해 생성된 필드와 소스의 움직임을 자체적으로 해결합니다. 그러나 이러한 경우 선택한 소스의 움직임은 다른 모든 소스에서 생성된 필드에 응답하여 계산됩니다. 동일한 입자에 의해 생성된 필드로 인해 입자(소스)의 움직임이 계산되는 경우는 거의 없습니다. 그 이유는 두 가지입니다.

"자기 분야"를 소홀히 하면 일반적으로 많은 지원이 가능할 정도로 정확한 답변으로 이어집니다.
자기 분야를 포함하면 물질과 에너지의 본질과 관련된 재규격화와 같은 물리학의 문제가 발생합니다.

자기 분야가 만들어내는 이러한 개념적 문제들은 표준 대학원 텍스트에서 강조됩니다. [잭슨]

이 문제가 제시하는 어려움은 물리학의 가장 기본적인 측면 중 하나인 기본 입자의 특성과 맞닿아 있습니다. 제한된 영역 내에서 작동 가능한 부분적인 해결책을 제시할 수 있지만, 기본적인 문제는 여전히 해결되지 않고 있습니다. 고전적인 치료에서 양자역학적 치료로의 전환이 어려움을 제거하기를 바랄 수도 있습니다. 이것이 결국 일어날 수 있다는 희망은 여전히 있지만, 현재의 양자역학적 논의는 고전적인 논의보다 훨씬 더 정교한 문제를 안고 있습니다. 로렌츠 공분산과 게이지 불변성의 개념이 양자 전기역학의 이러한 어려움을 피하기 위해 충분히 영리하게 활용되어 매우 작은 복사 효과를 매우 높은 정밀도로 계산할 수 있게 된 것은 비교적 최근 몇 년(~ 1948-1950)의 성과 중 하나입니다. 실험에 전적으로 동의하여 그러나 근본적인 관점에서는 여전히 어려움이 있습니다.

아브라함-로렌츠 힘은 자기 생성 장의 효과를 가장 기본적으로 계산한 결과입니다. 가속하는 전하가 방사선을 방출한다는 관측에서 비롯됩니다. 아브라함-로렌츠 힘은 가속하는 하전 입자가 복사 방출로 인한 반동에서 느끼는 평균 힘입니다. 양자 효과의 도입은 양자 전기역학으로 이어집니다. 양자전기역학의 자기장은 재규격화 과정에 의해 제거될 수 있는 계산에서 유한한 수의 무한대를 생성합니다. 이를 통해 지금까지 인간이 했던 가장 정확한 예측을 할 수 있다는 이론이 나왔습니다. (QED의 정밀도 시험 참조) 그러나 중력을 가하면 재규격화 과정은 실패합니다. 이 경우의 무한대는 무한대로 재규격화 실패의 원인이 됩니다. 따라서 일반 상대성 이론은 해결되지 않은 자기 장 문제를 가지고 있습니다. 끈이론과 고리양자중력은 이 문제를 해결하기 위한 현재의 시도로, 공식적으로는 복사 반응의 문제 또는 자기력의 문제라고 불립니다.

파생

자기력에 대한 가장 간단한 유도는 빛의 속도보다 훨씬 낮은 속도로 움직이는 점전하에서 복사되는 힘에 대한 라모르 공식으로부터 주기적인 운동에 대해 발견됩니다.

P={\frac {\mu _{0}q^{2}}{6\pi c}}\mathbf {a} ^{2}.

대전된 입자의 움직임이 주기적이라고 가정하면, 아브라함-로렌츠 힘에 의해 입자에 수행되는 평균 작업은 $\tau _{1}$ τ 1 ${\displaystyle$ $\tau _{2}$ $\$ tau_{1}}부터 τ 2 {\displaystyle \tau_{2}}까지의 한 기간 동안 통합된 라모르 파워의 음수입니다.

\int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}\mathbf {F} _{\mathrm {rad} }\cdot \mathbf {v} dt=\int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}-Pdt=-\int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}{\frac {\mu _{0}q^{2}}{6\pi c}}\mathbf {a} ^{2}dt=-\int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}{\frac {\mu _{0}q^{2}}{6\pi c}}{\frac {d\mathbf {v} }{dt}}\cdot {\frac {d\mathbf {v} }{dt}}dt.

위 표현은 부품별로 통합할 수 있습니다. 주기적인 운동이 있다고 가정하면, 적분에서 경계항은 부분적으로 사라집니다.

\int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}\mathbf {F} _{\mathrm {rad} }\cdot \mathbf {v} dt=-{\frac {\mu _{0}q^{2}}{6\pi c}}{\frac {d\mathbf {v} }{dt}}\cdot \mathbf {v} {\bigg  }_{\tau _{1}}^{\tau _{2}}+\int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}{\frac {\mu _{0}q^{2}}{6\pi c}}{\frac {d^{2}\mathbf {v} }{dt^{2}}}\cdot \mathbf {v} dt=-0+\int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}{\frac {\mu _{0}q^{2}}{6\pi c}}\mathbf {\dot {a}} \cdot \mathbf {v} dt.

분명히 우리는 느리게 움직이는 입자에 적용할 수 있는 로렌츠 자기력 방정식을 다음과 같이 식별할 수 있습니다.

\mathbf {F}_{\mathrm {rad}} = {\frac {\mu_{0}q^{2}}{6\pic}\mathbf {\dot {a}}

참고: 이 도출에는 두 가지 문제가 있습니다.

1. 두 개의 적분이 같다는 것은 두 개의 적분이 같다는 것을 의미하는 경우는 거의 없습니다.

2. 라모르 파워가 방출되기 때문에 경계항은 사라지지 않을 것입니다.

효과적인 필드 이론 공식을 사용하여 주기적인 움직임이 필요 없는 더 엄격한 유도를 발견했습니다.^[27]^[28]

맥스 아브라함은 임의의 속도에 대한 일반화된 방정식을 공식화했는데, 이 방정식은 특수 상대성 이론과 일치하는 것으로 나타났습니다. 당시 잘 정립된 상대성 이론을 이용한 대안적인 유도가 디랙에 의해 하전 입자의 모양에 대한 어떠한 가정도 없이 발견되었습니다.^[3]

미래에서 온 신호

아래는 고전적인 분석을 통해 놀라운 결과를 얻을 수 있는 예시입니다. 고전 이론은 인과관계의 표준 그림에 도전하는 것으로 볼 수 있으며, 따라서 이론의 붕괴 또는 확장의 필요성을 시사합니다. 이 경우 양자역학과 상대론적 대응 양자장 이론으로 확장됩니다. "물리 이론의 타당성 한계를 준수하는 것의 중요성"에 대한 소개에서 Rohrlich의 인용문을 참조하십시오.

외력 $\mathbf {F} _{\mathrm {ext} }$ ${\$ _ ${\mathrm {ext}}$ 의 $입자$ 에 대해 $\mathbf {F} _{\mathrm {ext} }$ 우리는

m{\dot {\mathbf {v}}}=\mathbf {F}_{\mathrm {rad}}+\mathbf {F}_{\mathrm {ext} =mt_{0}{\dot {\mathbf {v}}}+\mathbf {F}_{\mathrm {ext}

어디에

t_{0}={\frac {\mu _{0}q^{2}}{6\pi mc}}.

이 방정식을 한 번 적분하면 다음을 얻을 수 있습니다.

m{\dot {\mathbf {v}}}={1 \over t_{0}}\int_{t}^{\infty}\exp \left (-{t'-t \over t_{0}\right)\,\mathbf {F}_{\mathrm {ext}(t')\,dt'

적분은 현재에서 미래의 무한히 먼 곳까지 확장됩니다. 따라서 힘의 미래 값은 현재 입자의 가속도에 영향을 미칩니다. 미래 값은 요인에 의해 가중치가 부여됩니다.

\exp \left (-{t'-t \over t_{0}}\right)

향후

t_{0}

t_{0}

{\

보다 큰 시간 동안 빠르게 떨어집니다. 따라서 약

t_{0}

{\

간격의 신호가 미래의

t_{0}

가속도에 영향을 미칩니다. 전자의 경우, 이 시간은 약

10^{-24}

-

10^{-24}

{\

초이며

10^{-24}

, 이 시간은 광파가 고전적인 전자 반지름인 전자의 "크기"를 가로질러 이동하는 데 걸리는 시간입니다. 이 "크기"를 정의하는 한 가지 방법은 다음과 같습니다. 두

r

의 전자가 거리 r {\

display

r

}

만큼

r

떨어져 있고 떨어져 있을 때 빛의 속도의 절반에 도달하기에 충분한 에너지를 가질 수 있도록

r

거리

r

{\

display

r

}

입니다. 다시 말해서, 그것은 전자처럼 가벼운 것이 완전히 상대론적인 길이(또는 시간, 또는 에너지) 척도를 형성합니다. 이 표현은 플랑크 상수를 전혀 포함하지 않으므로 이 길이 척도에서 무언가 문제가 있음을 나타내지만 양자 불확실성이나 광자의 주파수-에너지 관계와 직접적인 관련이 없다는 점에 주목할 필요가 있습니다. 양자역학에서는 ℏ

\hbar \to 0

→ 0

{\

displaystyle \hbar \ to 0}을 "classical 한계"로 취급하는 것이 일반적이지만, 플랑크 상수가 어떻게 고정되든 고전 이론조차도 재규격화가 필요하다는 추측도 있습니다.

에이브러햄-로렌츠-디랙 군

상대론적 일반화를 찾기 위해 디랙은 1938년 아브라함-로렌츠 힘으로 운동 방정식에서 질량을 다시 정규화했습니다. 이 재규격화된 운동 방정식은 아브라함-로렌츠-디랙 운동 방정식이라고 불립니다.^[11]^[29]

정의.

Dirac에 의해 유도된 표현은 다음에^[11]^[12] 의해 서명(-, +, +, +)으로 표시됩니다.

F_{\mu }^{\mathrm {rad} }={\frac {\mu _{0}q^{2}}{6\pi mc}}\left[{\frac {d^{2}p_{\mu }}{d\tau ^{2}}}-{\frac {p_{\mu }}{m^{2}c^{2}}}\left({\frac {dp_{\nu }}{d\tau }}{\frac {dp^{\nu}}{d\tau }\right)\right.

라모르 공식의 상대론적 일반화를 통해 라모르 공식을 동진 틀에서

P={\frac {\mu _{0}q^{2}a^{2}\gamma ^{6}}{6\pic}}

전력에 대한 시간 평균 방정식을 조작함으로써 이것이 유효한 힘임을 보여줄 수 있습니다.

{\frac {1}{\Delta t}}\int _{0}^{t}Pdt={\frac {1}{\Delta t}}\int _{0}^{t}{\textbf {F}}\cdot {\textbf {v}}\,dt.

패러독스

가속전

비상대론적인 경우와 마찬가지로, 아브라함-로렌츠-디랙 방정식을 사용하는 병리학적 해법이 있는데, 이 방정식은 외력의 변화를 예측하고, 이에 따라 입자가 힘을 가하기 전에 가속하는 소위 사전 가속 해법이 있습니다. 이 문제의 해결책 중 하나는 Yaghjian에 의해 논의되었고,^[7] Rohrlich와^[4] Medina에 의해 추가로 논의되었습니다.^[8]

폭주해법

폭주해는 시간이 지남에 따라 물체에 가해지는 힘이 지수 함수적으로 증가할 것임을 시사하는 ALD 방정식의 해입니다. 그것은 비물리적 해결책으로 간주됩니다.

쌍곡 운동

민코프스키 시공간 도표에서 ALD 방정식은 일정한 가속도나 쌍곡 운동에 대해 0으로 알려져 있습니다. 프리츠 로리히가 쌍곡면으로 움직이는 전하가 복사를 방출한다는 것을 보여줌으로써 문제를 해결하기 전까지는 이러한 상태의 전자기 복사가 존재하는지의 문제가 논쟁의 대상이었습니다. 그 후, 이 문제는 "가속 에너지" 또는 쇼트 에너지를 고려하여 고전적으로 해결되는 에너지 보존 및 등가 원리의 맥락에서 논의됩니다.

자기 상호작용

그러나 아브라함-로렌츠 힘으로 인한 안티 댐핑 메커니즘은 지연된 리에나드의 확장에서 종종 무시되는 다른 비선형 용어로 보상될 수 있습니다.비처트 포텐셜.^[4]

실험 관측치

아브라함-로렌츠 힘은 많은 실험적 고려 사항으로 크게 무시되지만 큰 국소 필드 향상으로 인해 더 큰 나노 입자의 플라즈모닉 여기에 대한 중요성을 얻습니다. 방사선 감쇠는 표면 강화 라만 산란에서 플라즈모닉 여기에 대한 제한 요소로 작용합니다.^[30] 감쇠력은 금 나노입자, 나노로드 및 클러스터에서 표면 플라즈몬 공명을 넓히는 것으로 나타났습니다.^[31]^[32]^[33]

핵자기 공명에 대한 방사선 감쇠의 영향은 특정 경우 스핀-스핀 및 스핀-격자 완화 메커니즘에 대한 지배력을 보고한 니콜라스 블로엠버겐과 로버트 파운드에 의해서도 관찰되었습니다.^[34]

아브라함-로렌츠 힘은 상대론적 전자 빔을 고강도 레이저로 산란시키는 실험에서 반고전적 체제에서 관찰되었습니다.^[35]^[36] 실험에서 헬륨 가스의 초음속 제트는 고강도(10¹⁸–10²⁰ W/cm²) 레이저에 의해 차단됩니다. 레이저는 헬륨 가스를 이온화하고 "레이저-웨이크 필드" 효과를 통해 전자를 가속시킵니다. 그런 다음 두 번째 고강도 레이저 빔이 이 가속된 전자 빔에 대항하여 전파됩니다. 소수의 경우에는 광자와 전자빔 사이에 역컴프턴 산란이 일어나 산란된 전자와 광자의 스펙트럼을 측정합니다. 그런 다음 광자 스펙트럼을 QED 또는 고전 LL 운동 방정식을 사용하는 몬테카를로 시뮬레이션에서 계산된 스펙트럼과 비교합니다.

참고 항목

참고문헌

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