RLC 회로

RLC 회로는 직렬 또는 병렬로 접속된 저항(R), 인덕터(L) 및 콘덴서(C)로 이루어진 전기회로이다.회선명은 이 회선의 구성 컴포넌트를 나타내기 위해 사용되는 문자에서 유래합니다.이 경우 컴포넌트의 시퀀스는 RLC와 다를 수 있습니다.

이 회로는 전류용 고조파 발진기를 형성하고 LC 회로와 유사한 방식으로 공진합니다.저항을 도입하면 이러한 진동의 감쇠가 증가하며, 이를 댐핑이라고도 합니다.또한 저항기는 피크 공진 주파수를 줄입니다.저항기가 컴포넌트로서 특별히 포함되어 있지 않은 경우에도 일부 저항은 피할 수 없습니다.

RLC 회로에는 발진기 회로로서 많은 용도가 있습니다.라디오 수신기 및 텔레비전 수상기는 주변 전파에서 좁은 주파수 범위를 선택하기 위한 튜닝에 사용합니다.이 역할에서 회선은 종종 튜닝 회로라고 불립니다.RLC 회로는 밴드 패스 필터, 밴드 스톱 필터, 로우 패스 필터 또는 하이 패스 필터로 사용할 수 있습니다.예를 들어 조정 어플리케이션은 밴드 패스필터링의 한 예입니다.RLC 필터는 2차 회로로 설명됩니다.즉, 회로 내 전압 또는 전류는 회로 해석 시 2차 미분 방정식으로 설명할 수 있습니다.

R, L 및 C의 3개의 회로 소자는 다양한 토폴로지로 조합할 수 있습니다.직렬의 세 가지 요소 모두 또는 병렬의 세 가지 요소 모두 가장 단순하고 분석하기 쉬운 개념입니다.그러나 실제 회로에서는 실질적으로 중요한 다른 배치도 있습니다.자주 발생하는 한 가지 문제는 인덕터 저항을 고려해야 한다는 것입니다.인덕터는 일반적으로 와이어 코일로 구성되며, 와이어 코일의 저항은 바람직하지 않지만 회로에 큰 영향을 미치는 경우가 많습니다.

기본 개념

선형 아날로그 전자 필터
네트워크 합성 필터 버터워스 필터 체비셰프 필터 타원(카우어) 필터 베셀 필터 가우스 필터 최적 "L"(레전드) 필터 링크비츠-릴리 필터
이미지 임피던스 필터 상수 k 필터 m유래필터 일반 이미지 필터 Zobel 네트워크(정수 R) 필터 격자 필터(모두 통과) 브리지드 T 지연 이퀄라이저(올패스) 합성 이미지 필터 mm'형 필터
심플 필터 RC 필터 RL 필터 LC 필터 RLC 필터
v t

공명

이 회로의 중요한 특성은 특정 주파수인 공진 주파수 f에서₀ 공진하는 능력입니다.주파수는 헤르츠 단위로 측정됩니다.본 기사에서는 각주파수인 θ가₀ 수학적으로 더 편리하기 때문에 사용한다.이 값은 초당 라디안 단위로 측정됩니다.그들은 단순한 비율로 서로 연관되어 있다.

${\displaystyle \mega _{0}=2\pi f_{0},}$

공명은 이 상황의 에너지가 두 가지 다른 방식으로 저장되기 때문에 발생합니다. 즉, 캐패시터가 충전될 때의 전기장과 인덕터를 통해 전류가 흐를 때의 자기장입니다.에너지는 회로 내에서 다른 회로로 전달될 수 있으며 이는 진동할 수 있습니다.기계적 유추는 스프링에 매달린 중량이 해제될 때 위아래로 진동하는 것입니다.이것은 단순한 비유는 아닙니다.스프링의 중량은 RLC 회로와 완전히 동일한 2차 미분 방정식으로 설명되며, 한 시스템의 모든 특성에 대해 다른 시스템의 유사한 특성이 발견됩니다.회로의 저항기에 반응하는 기계적 특성은 스프링 중량 시스템의 마찰입니다.마찰은 외부 힘이 작용하지 않으면 진동이 서서히 멈춥니다.마찬가지로 RLC 회로의 저항은 진동을 "감쇠"시키고 회로에 구동 AC 전원이 없는 경우 진동을 시간이 지남에 따라 감소시킵니다.

공진 주파수는 회로의 임피던스가 최소인 주파수로 정의됩니다.마찬가지로 임피던스가 순수하게 실재하는 주파수(순수한 저항)로 정의할 수 있습니다.이는 공진 시 인덕터와 캐패시터의 임피던스가 동일하지만 반대 부호이며 상쇄되기 때문에 발생합니다.직렬이 아닌 L과 C가 병렬로 있는 회로에는 실제로 최소 임피던스가 아닌 최대 임피던스가 있습니다.이러한 이유로 종종 반공진기로 설명되지만, 여전히 공진 주파수로 이 주파수가 발생하는 주파수를 명명하는 것이 일반적입니다.

고유 주파수

공진 주파수는 구동 소스에 표시되는 임피던스의 관점에서 정의됩니다.구동 소스가 제거된 후에도 회로가 계속 진동하거나 전압이 0으로 내려가는 단계(예: 단계 포함)를 받을 수 있습니다.이것은, 음이 울린 후에 음이 울리는 것과 비슷해, 그 효과를 호출음이라고 부릅니다.이 효과는 회로의 피크 자연 공진 주파수이며, 일반적으로 두 가지 효과는 서로 상당히 가깝지만 구동 공진 주파수와 정확히 동일하지는 않습니다.두 가지를 구별하기 위해 다양한 용어를 사용하지만, 일반적으로 공진 주파수가 한정되지 않은 것은 구동 공진 주파수를 의미합니다.구동 주파수는 비감쇠 공진 주파수 또는 비감쇠 고유 주파수라고 할 수 있으며, 피크 주파수는 감쇠 공진 주파수 또는 감쇠 고유 주파수라고 할 수 있습니다.이 용어가 사용되는 이유는 직렬 또는 병렬 공진 회로의 피동 공진 주파수가 다음과 같은^[1] 값을 가지기 때문입니다.

${\displaystyle \mega _{0}=syslogfrac {1}{\syslogrt {L,C~}}},~.}$

이는 LC회로의 공진주파수와 완전히 동일합니다.즉, 저항이 존재하지 않는 LC회로의 공진주파수입니다.RLC 회로의 공진 주파수는 댐핑이 없는 회로와 같기 때문에 비감쇠 공진 주파수가 됩니다.반면 피크 공진 주파수는 저항기의 값에 따라 다르며 감쇠 공진 주파수로 설명됩니다.감쇠가 심한 회로는 구동되지 않으면 공진하지 않습니다.링잉의 가장자리에 있는 저항 값을 가진 회로를 임계 감쇠 회로라고 합니다.임계 감쇠의 양쪽을 언더 감쇠(링잉 발생) 및 오버 감쇠(링잉 억제)라고 합니다.

직렬 또는 병렬보다 토폴로지가 복잡한 회로(기사의 뒷부분에서 설명하는 일부 예)는 감쇠되지 않은 공진 주파수, 감쇠된 주파수 및 구동된 공진 주파수에 대해 ${\displaystyle {\theta \mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle 1\sqrt{}}$ /$$L ${$0} =$1/{\display\display$rt {L$,$$C~}}}$에서 벗어난 구동 공진 주파수를 가집니다.낸스 주파수는 모두 다를 수 있습니다.

감쇠

댐핑은 회로 내 저항에 의해 발생합니다.회로가 자연스럽게 공진하는지(즉 구동 소스가 없는 경우) 여부를 결정합니다.이와 같이 공명하는 회로는 과소 감쇠회로, 과잉 감쇠되지 않는 회로로 기술됩니다.감쇠감쇠(심볼α)는 초당 네퍼 단위로 측정한다.그러나 단위 없는 감쇠 계수(기호 δ, 제타)가 종종 더 유용한 척도가 되며, 이는 다음과 같은 α와 관련이 있다.

$(\displaystyle \zeta = frac {\opega _{0}}),}$

δ = 1의 특수한 경우를 임계 댐핑이라고 하며, 발진 경계에 있는 회로의 경우를 나타냅니다.이는 진동을 유발하지 않고 적용할 수 있는 최소 댐핑입니다.

대역폭

공명 효과는 필터링에 사용할 수 있으며, 공명 근처의 임피던스 변화는 공명 주파수에 가까운 신호를 통과시키거나 차단하는 데 사용할 수 있습니다.밴드 패스 필터와 밴드 스톱 필터를 모두 구성할 수 있으며 일부 필터 회로는 이 문서의 뒷부분에 나와 있습니다.필터 설계의 주요 파라미터는 대역폭입니다.대역폭은 컷오프 주파수 사이에서 측정되며, 가장 자주 정의되는 주파수는 회로를 통과하는 전력이 공진 시 전달되는 값의 절반으로 떨어진 것입니다.이러한 반전력 주파수는 2개(위 및 공진 주파수 미만) 있습니다.

${\displaystyle \Delta \obega =\obega _{2}-\obega _{1},}$

여기서 "Diag"는 대역폭, "Diag"는₁ 하위 반전력 주파수, "Diag"는₂ 상위 반전력 주파수입니다.대역폭은 다음 조건에 의해 감쇠됩니다.

$\displaystyle \Delta \Omega = 2\alpha \,}$

여기서 단위는 각각 ^{[citation needed]}초당 라디안 및 초당 네퍼입니다.다른 단위는 변환 계수가 필요할 수 있습니다.대역폭의 보다 일반적인 척도는 프랙셔널 대역폭입니다.이것은 대역폭을 공진 주파수의 일부로 나타내며 다음과 같이 표시됩니다.

${\displaystyle B_{\mathrm {f}}=blac {Delta \obega}{\obega _{0}},}$

프랙셔널 대역폭은 종종 퍼센티지로도 언급됩니다.필터 회로의 감쇠는 필요한 대역폭이 되도록 조정됩니다.노치 필터와 같은 협대역 필터에는 낮은 댐핑이 필요합니다.광대역 필터에는 높은 댐핑이 필요합니다.

Q계수

Q 계수는 공진기를 특징짓는 데 사용되는 광범위한 측정값입니다.이 값은 회로에 저장된 피크 에너지를 공진 시 라디안당 방사된 평균 에너지로 나눈 값으로 정의됩니다.따라서 저Q회선은 감쇠되고 손실 및 고Q회선은 언더감쇠됩니다.Q는 대역폭과 관련되어 있습니다.저Q 회선은 광대역, 고Q 회선은 협대역입니다.실제로 Q는 부분 대역폭의 역수입니다.

$({displaystyle Q=matfrac {1},B_{\mathrm {f},}}=matfrac {\text{o}}{,\operatorname {Delta}\,}}\;}$^[2]

Q 계수는 대역폭에 반비례하므로 Q 계수는 선택성에 정비례합니다.

직렬 공진 회로(아래 그림 참조)의 경우 Q 계수는 ^[2]다음과 같이 계산할 수 있습니다.

${{displaystyle Q=snapfrac {X}{,R\;}=snapfrac {1}{,\otext{o}R,C,}=snapfrac {1}{,R\;}{sqrt\frac {L},{C}}=napfrac {,}{\c}$^[2]

${\displaystyle 여기}$서 X$({$$$$)$는 공진 시 L$(\$$\,$$L$$,)$ 또는$$C(\$displaystyle$\,C$$${\displaystyle \sqrt{,)\frac{}{}}}$의 ${\displaystyle {반응도}_{}}$이며 Z$displaystyle\,Z_{\text{o}}\equiv({sqrt {\frac {L$},C$}}}}})$입니다$.$

스케일링된 파라미터

파라미터_b ", F 및 Q는 모두 "까지₀ 스케일링됩니다.즉, 파라미터가 유사한 회로는 같은 주파수 대역에서 동작하고 있는지 여부에 관계없이 유사한 특성을 공유합니다.

다음으로 시리즈 RLC 회로에 대한 자세한 분석을 제공합니다.기타 구성에 대해서는 자세히 설명하지 않지만 시리즈 케이스와의 주요 차이점이 제시되어 있습니다.직렬 회로 섹션에 나와 있는 미분 방정식의 일반적인 형식은 모든 2차 회로에 적용 가능하며 각 회로의 모든 소자의 전압 또는 전류를 설명하는 데 사용할 수 있습니다.

직렬 회로

이 회로에서는 세 가지 구성 요소가 모두 전압 소스와 직렬입니다.지배 미분방정식은 3가지 요소 각각에 대한 구성방정식을 키르히호프의 전압법칙(KVL)으로 대체함으로써 구할 수 있습니다.KVL에서

${\displaystyle V_{\mathrm {R}}+V_{\mathrm {L}}+V_{\mathrm {C}}=V(t),}$

여기서_R V, V_L 및_C V는 각각 R, L 및 C의 전압이고 V(t)는 소스로부터의 시간 가변 전압입니다.

${\displaystyle {대체}_{}}$ V R ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle R\text{I}}$ (${\displaystyle t}$)$$, { $displaystyle V$_ { R } $= R$ \$I$ ($t$ ) , , , } $V$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle {=}_{}}$ ${\displaystyle L\frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{d}{}}$I${\displaystyle \frac{}{}}$( ${\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ ) ${\displaystyle \frac{d}{}}$ t$t$ t t \ displaystyle 、 ,$V$_ { \$mathrm${ L } =$$L { \$frac$ { d$（ t$}$t}I(\tau ),\mathrm${d} \$tau,}$를 위의 수율에 대입합니다.

${\displaystyle RI(t)+L{\frac {,\mathrm {d} I(t),}{\mathrm {d} t}+V(0)+{\frac {1}{,C,}}\int _{0}^{t}I(\tau),\mathrm {d} \t =V(t)\}.$

소스가 변하지 않는 전압인 경우 시간 미분을 L로 나누면 다음과 같은 2차 미분 방정식이 발생합니다.

${{displaystyle {d^{2}}{dt^{2}}I(t)+{\frac {R}{,L}}{\mathrm {d}}{\mathrm {d}}{\frac {1}{,L,C}}}}{\frac {\}{\frac {\frac {{\}}{,L,C}}},0}.$

이는 보다 일반적으로 적용할 수 있는 형식으로 유용하게 표현할 수 있습니다.

${\displaystyle {\mathrm {d} ^{2} {\mathrm {d} } I(t)+2\alpha {\mathrm {d} t} {\mathrm {d} I(t)+{0}I(t)=0\;}$

α와 θ는₀ 둘 다 각주파수 단위이다.α는 네퍼 주파수 또는 감쇠라고 불리며 자극이 제거된 후 회로의 과도 응답이 얼마나 빨리 사라지는지를 나타내는 척도입니다.Neper는 neper/second로 간주할 수도 있기 때문에 이름에서 발생합니다.neper는 감쇠의 로그 단위입니다.θ는₀ ^[3]각공진주파수이다.

직렬 RLC 회로의 경우 이 두 가지 파라미터는 ^[4]다음과 같습니다.

${\displaystyle {\displaystyle}\alpha &=syslogfrac {R}{,2L,}}\\\Omega _{0}&=syslogfrac {1}{\displaystyle {L,C,}}}\;\end { aligned}}$

유용한 파라미터는 감쇠계수 δ로 이들 2개의 비율로 정의된다.단, 때때로 δ를 사용하지 않고 대신 α를 감쇠계수로 참조하므로 그 ^[5]용어의 사용법을 신중하게 지정해야 한다.

$(\displaystyle\zeta\equiv{frac\alpha}{,\Omega_{0},}}\;}$

직렬 RLC 회로의 경우 댐핑 계수는 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle \zeta = frac {,R,}{2}}{\sqrt {\frac {C}{,L,}}},}}\;}$

댐핑 계수의 값에 따라 회로에서 나타나는 ^[6]과도현상의 유형이 결정됩니다.

과도 응답

미분방정식은 특성방정식을 ^[7]가지고 있다.

${\displaystyle s^{2}+2\alpha s+\obega_{0}^{2}=0,}$

s-domain에서의 방정식의 근은 다음과 같습니다.^[7]

$\displaystyle { displaystyle { s _ { nargeta } s _ { } & = - \ alpha + { \ alpha ^ { 2 } - \ obega _ { 0 } 、 } = \ s _ { 2 } = - \ alpha - { right ^ 2 } 、 { 0 }\end { aligned}}$

미분방정식의 일반적인 해는 두 개의 루트 또는 선형 중첩의 지수이다.

${\displaystyle I(t)=A_{1}e^{s_{1}t}+A_{2}e^{s_{2}t}\;}$

계수₁ A와₂ A는 분석 대상 특정 문제의 경계 조건에 의해 결정된다.즉, 과도 시작 시 회로 내 전류 및 전압 값과 무한 시간 ^[8]후 정착할 추정 값에 의해 설정됩니다.회로의 미분방정식은 θ의 값에 따라 3가지 방법으로 해결됩니다.이 값은 초과 감쇠(섭취 > 1), 과소 감쇠(섭취 < 1) 및 임계 감쇠(섭취 = 1)입니다.

과잉 응답

과잉 응답(' > 1)은^[9] 다음과 같습니다.

${\displaystyle I(t)=A_{1}e^{-\Omega_{0}\left(\zeta +{\sqrt {\zeta ^{2}-1}}\right)t}+A_{2}e^{-\Omega_{0}\left(\zeta - {\sqrt {\zeta ^{2}-1}}\right)t}\;}$

과잉 감쇠 응답은 ^[10]진동이 없는 과도 전류의 감쇠입니다.

감쇠된 응답

언더 덤프 응답(' < 1)은^[11] 다음과 같습니다.

${\displaystyle I(t)=B_{1}e^{-\alpha t}\cos(\omega _{\mathrm {d} }t)+B_{2}e^{-\alpha t}\sin(\omega _{\mathrm {d} }t),}$

표준 삼각함수를 적용하면 두 삼각함수가 위상 ^[12]편이가 있는 단일 사인파로 표현될 수 있습니다.

${\displaystyle I(t)=B_{3}e^{-\alpha t}\sin(\omega_{\mathrm {d}}t+\varphi)\;}$

언더댐프 응답은 주파수 µ에서의_d 감쇠 진동입니다.진동은 감쇠α에 의해 결정되는 속도로 감소합니다.α의 지수는 진동의 엔벨로프를 나타냅니다.B와₁₂ B(또는₃ 두 번째 형태의 B와 위상 편이θ)는 경계 조건에 의해 결정되는 임의의 상수이다.주파수 θ는_d 다음과 같이 지정됩니다^[11].

${\displaystyle \mathrm {d} = paramrt {{0}^{2}-\alpha ^{2}} =\opera _{0} {\paramrt {1-\zeta ^{2},} \;}$

이를 감쇠 공진 주파수 또는 감쇠 고유 주파수라고 합니다.외부 소스에 의해 구동되지 않는 한 회로가 자연스럽게 발진하는 주파수입니다.공진주파수 δ는₀ 외부진동에 의해 회로가 구동될 때 공진하는 주파수입니다.^[13]공진주파수를 구별하기 위해 비감쇠 공진주파수라고 부르는 경우가 많습니다.

심각하게 감쇠된 응답

임계 감쇠 응답(표준 = 1)은^[14] 다음과 같습니다.

${\displaystyle I(t)=D_{1}te^{-\alpha t}+D_{2}e^{-\alpha t}\;}$

임계 감쇠 응답은 발진하지 않고 가능한 한 빨리 감쇠하는 회로 응답을 나타냅니다.이 고려사항은 오버슈팅 없이 원하는 상태에 최대한 빨리 도달해야 하는 제어 시스템에서 중요합니다.D와₁₂ D는 경계 ^[15]조건에 의해 결정되는 임의의 상수입니다.

라플라스 도메인

시리즈 RLC는 Laplace ^[16]변환을 사용하여 일시적인 AC 상태와 안정된 AC 상태 동작을 모두 분석할 수 있습니다.위의 전압 소스가 라플라스 변환 V(s)로 파형을 생성하는 경우(여기서 s는 복소 주파수 s = δ + jµ), KVL을 라플라스 영역에 적용할 수 있습니다.

${\displaystyle V(s)=I(s)\left(R+L,s+{\frac {1}{,C,s,}},\right},}$

여기서 I(s)는 모든 컴포넌트에서 라플라스 변환된 전류입니다.I에 대한 해결:

${\displaystyle I(s)=paramfrac {1}{,R+L,s+{\frac {1}{,C,s,}}V(s)\;}$

그리고 재배열을 통해

${\displaystyle I(s)=specfrac {s}{,L\left(s^{2}+{\frac {R}{,L,C,}}}}s+{\frac {1}{,L,C,}}},\right}V(s);}$

라플라스 입장

Laplace 입장 문제 해결 Y:

$({displaystyle Y(s)=paramfrac {I(s)}{,V(s)}}=paramfrac {s}{,L\left(s^{2}+{\frac {1}{,L,C,}}}}+{\frac {1}{,L,C}}}},},},}.,},},},}.$

이전 섹션에서 정의한 매개변수 α와 θ를₀ 사용하여 단순화하면 다음과 같이 됩니다.

${\displaystyle Y(s)=paramfrac {I(s)}{,V(s),}=paramfrac {s}{,L\left(s^{2}+2\alpha s+\Omega _{0}^2}\right},}\;}$

극과 영

Y의 0은 s의 값입니다. 여기서 Y(s) = 0:

$(\displaystyle s=0\display style s=0\mbox{and}\displays\rightarrow\infty\;).$

Y(s)의 극은 Y(s) → θ인 s의 값이다. 2차 공식에 의해, 우리는 다음과 같이 구한다.

${\displaystyle s=-\alpha \pm {rt {alpha ^{2}-\Omega _{0}^{2},}\;}$

Y의 극은 위의 절에서 미분 방정식의 특성 다항식의 루트₁ s 및 s와₂ 동일합니다.

일반적인 솔루션

임의의 V(t)의 경우 I의 역변환을 통해 얻을 수 있는 해는 다음과 같다.

• underdamped 케이스의 경우₀ > α:

  ${\displaystyle I(t)=squalfrac {1}{,L,}}\int _{0}^{t}V(t-\tau)\left(\cos(\cos(\mathrm {d}}\cos(\cos(\mathrm {d}}}{,\mathrm})})-{\frac}{{{{\d}}}}}}},\csin},},\csin},\csin},\csin},\csin},\c$

• 임계 감쇠의 경우 θ₀ = α:

  ${\displaystyle I(t)=frac {1}{,L,}}\int _{0}^{t}V(t-\tau)e^{-\alpha \display}(1-\alpha \displays},\mathrm {d},}$

• 초과 감쇠의 경우 θ₀ < α:

  ${\displaystyle I(t)=synfrac {1}{L}}\int _{0}^{t}V(t-\tau)e^{-\alpha \left(\cosh \ope_{\mathrm {r}}}\display - {\alpha \over \mathrm {rm})$

여기서 θ_r = θα² - θ₀², cosh 및 sinh는 일반적인 쌍곡선 함수입니다.

사인파 정상 상태

정현파 정상 상태는 s = jll로 표시되며, 여기서 j는 가상 단위이다.이 치환으로 위의 방정식의 크기를 구하면:

${\displaystyle {\big }Y(j\obega)=bigfrac {1}{\displayrt {R^2}+\left(\obmega L-{\frac {1}{,\obmega C,}}}},\;}.$

the의 함수로서의 전류는 다음에서 구할 수 있다.

${\displaystyle {\big }I(\big }=\big }Y(j\obega)\cdot {\bigl}V(j\obe){\bigr }\;}$

I(j))의 피크값이 있습니다.이 피크에서 µ의 값은 이 경우 비감쇠 자연 공진 ^[17]주파수와 동일합니다.

${\displaystyle \mega _{0}=syslogfrac {1}{\syslogrt {L,C,}},}}\;}$

전류의 주파수 응답으로부터 다양한 회로 소자에 걸친 전압의 주파수 응답도 결정할 수 있다.

병렬 회로

병렬 RLC 회로의 속성은 전기회로의 이중성 관계에서 얻을 수 있으며 병렬 RLC가 직렬 RLC의 이중 임피던스임을 고려할 때 얻을 수 있습니다.이를 고려하면 이 회로를 기술하는 미분방정식이 직렬 RLC를 기술하는 일반방정식과 동일하다는 것이 명확해집니다.

병렬회로는 다음과 같이 감쇠α가 주어진다^[18].

$(\displaystyle \alpha = flac {1}{,2,R,C,}})$

감쇠 계수는 결과적으로

${\displaystyle \zeta = specfrac {1} {,2,R,}} {\sqrt {\frac {L} {C}},~}$

마찬가지로 다른 스케일 파라미터인 프랙셔널 대역폭과 Q도 서로 상호 작용합니다.즉, 값이 동일한 컴포넌트로 구성하면 한쪽 토폴로지의 광대역저Q회로가 다른 쪽 토폴로지의 협대역 고Q회로가 됩니다.병렬회선의 부분대역폭과 Q는 다음과 같습니다.

$디스플레이 스타일B_{\mathrm {f}}&=sqrt {1}{,R,}}{\sqrt {\frac {L}{C}}~}}\Q&=R {\sqrt {\frac {C}}~}}.end{aligned}}}.$

여기서의 공식은 위에서 설명한 직렬 회로 공식의 왕복수입니다.

주파수 영역

이 회로의 복잡한 어드미턴스는 컴포넌트의 어드미턴스를 합산함으로써 얻을 수 있습니다.

$({displaystyle {\frac {1}{,Z,}}&=frac {1}{,Z_{L},}}+{\frac {1}{,Z_{C}}}}}\\&=frac {1}{,Z_{R},}}},\&amp;frac {{J}},$

직렬 배열에서 병렬 배열로 변경되면 회로는 최소값이 아닌 공진 시 임피던스의 피크를 가지므로 회로는 안티 레조네이터입니다.

반대쪽 그래프는 회로가 정전압으로 구동되는 경우 공진 주파수 ${\displaystyle {\theta \mathrm{}}_{}}$ 0 $=$ / ${\displaystyle \sqrt{L}}$ ${\displaystyle \sqrt{C}\sqrt{}}${\$displaystyle ~\obega$ _${0$}=$1/{\displayrt${,$L,C~}~}}~}$에서 전류의 주파수 응답에 최소값이 있음을 보여줍니다.한편, 정전류에 의해 구동되는 경우에는 직렬 회로의 전류와 동일한 곡선을 따르는 전압에 최대값이 있습니다.

기타 구성

그림 4와 같이 병렬 LC 회로에 인덕터가 있는 직렬 저항은 코일 권선의 저항을 고려해야 하는 일반적인 토폴로지입니다.병렬 LC회로는 밴드 패스필터링에 자주 사용되며 Q는 주로 이 저항에 의해 제어됩니다.이 회로의^[19] 공진 주파수는 다음과 같습니다.

${\displaystyle \mega _{0}=sqrt {\frac {1} {LC}}-\left({\frac {R}}\right)^2},}$

이는 어드미턴스에 가상 부분이 0인 주파수로 정의되는 회로의 공진 주파수입니다.특성 방정식의 일반화된 형태로 나타나는 주파수(이 회로는 이전과 동일)

${\displaystyle s^{2}+2\alpha s+{\omega '_{0}}^{2}=0}$

같은 주파수가 아닙니다.이 경우 이는 자연 비감쇠 공진 ^[20]주파수입니다.

$\displaystyle \mega '_{0}=\displayrt {1}{LC}}},}$

임피던스 크기가 최대가 되는 주파수 µ는_m 다음과^[21] 같습니다.

${\displaystyle \mathrm {m} =\operg '_{0} {\frac {1} {Q_{L} {2}} + {\sqrt {1+{\frac {2} {Q_{L} {2}}}}}}},}$

어디 멋지다).mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac.num,.mw-parser-output.sfrac .den{디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}.mw-parser-output.sfrac .den{border-top:1pxsolid}.mw.코일의 -parser-output .sr-only{국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}ω′0L/R은 품질 요소이다.이것은 에 의해 충분히^[21] 근사할 수 있다.

${\displaystyle \mathrm {m}\approx \mega '_{0}{\displayrt {1-{\frac {1}{2}Q_{L}^{4}}}}},}$

또한 정확한 최대 임피던스 크기는 다음과 같이 주어진다^[21].

${\displaystyle Z _{\mathrm {max}}=RQ_{L}^{2}{\sqrt {1}{2}Q_{L}{\sqrt {Q_{L}^{2}+2}}:-2Q_{L}^{2}-1},}$

Q 값이_L unity보다 클 경우 이는 다음과 같이 근사할^[21] 수 있습니다.

${\displaystyle Z _{\mathrm {max}}\약 {RQ_{L}^{2}},}$

같은 맥락에서 직렬 LC회로에서 콘덴서와 병렬하는 저항을 이용하여 손실 유전체를 가진 콘덴서를 나타낼 수 있다.이 구성은 그림 5에 나타나 있습니다.이 경우 공진 주파수(임피던스가 0의 가상 부분을 갖는 주파수)는^[22] 다음과 같습니다.

${\displaystyle \mega _{0}=sqrt {\frac {1}{LC}-{\frac {1}{2}},},}$

임피던스 크기가 최소인 주파수 µ는_m 다음과 같이 지정됩니다.

${\displaystyle \mathrm {m} =\operg '_{0} {\frac {1} {Q_{C} {2}} + {\sqrt {1+{\frac {2} {Q_{C} {2}}}}}}},}$

여기서_C Q = ₀RC입니다.

역사

콘덴서가 전기 진동을 일으킬 수 있다는 최초의 증거는 1826년 프랑스 과학자 펠릭스 사바리에 ^[23][24]의해 발견되었다.그는 레이든 항아리가 철제 바늘에 감긴 철사를 통해 배출될 때, 때로는 바늘이 한 방향으로, 때로는 반대 방향으로 자화된 채로 남아 있다는 것을 발견했다.그는 이것이 와이어의 감쇠된 진동 방전 전류에 의해 발생했으며, 이로 인해 바늘의 자화가 앞뒤로 역전되어 바늘이 무작위 방향으로 자화된 것으로 정확하게 추론했다.

미국의 물리학자 조셉 헨리는 1842년 사바리의 실험을 반복했고 분명히 독립적으로 ^[25][26]같은 결론에 도달했다.1853년 영국의 과학자 윌리엄 톰슨(켈빈 경)은 인덕턴스를 통한 레이든 항아리의 방전이 진동해야 한다는 것을 수학적으로 보여주고 공명 ^[23][25][26]주파수를 도출했다.

영국의 라디오 연구자 올리버 로지는 긴 와이어를 통해 레이든 항아리를 대량으로 방전시킴으로써 방전 ^[25]시 불꽃에서 음악적인 음색을 내는 오디오 범위의 공명 주파수를 가진 튜닝 회로를 만들었다.1857년, 독일 물리학자 베렌트 빌헬름 페더센은 회전 거울로 공명하는 레이든 항아리 회로에서 발생하는 불꽃을 촬영하여,^[23][25][26] 진동의 가시적인 증거를 제공했다.1868년 스코틀랜드의 물리학자 제임스 클럭 맥스웰은 인덕턴스와 캐패시턴스로 회로에 교류 전류를 인가하는 효과를 계산하여 공진 ^[23]주파수에서 응답이 최대임을 보여 줍니다.

전기 공명 곡선의 첫 번째 예는 1887년 독일의 물리학자 하인리히 헤르츠가 전파의 발견에 관한 선구적인 논문에서 발표되었는데, 이는 그의 스파크갭 LC 공명자 검출기에서 얻을 수 있는 스파크의 길이를 ^[23]주파수의 함수로 보여준다.

튜닝된 회로 사이의 공명에 대한 첫 번째 시연 중 하나는 1889년 경^[23][25] 로지의 "싱토닉 항아리" 실험이었다. 그는 두 개의 공명 회로를 나란히 배치했는데, 각각 스파크 갭이 있는 조절 가능한 원턴 코일에 연결된 레이든 항아리로 구성되어 있다.한쪽 튜닝 회로에 유도 코일의 고전압이 인가되어 스파크가 발생하고 전류가 진동하면 인덕터가 공명으로 조정되어야 다른 쪽 튜닝 회로에 스파크가 들뜨게 됩니다.Lodge와 일부 영국 과학자들은 이러한 효과를 위해 "syntony"라는 용어를 선호했지만, "resonance"라는 용어는 결국 그대로 ^[23]유지되었다.

RLC 회로에 대한 최초의 실용적인 용도는 1890년대에 수신기를 송신기에 튜닝할 수 있도록 하기 위해 스파크 갭 무선 송신기에서였습니다.최초의 실용적 시스템은 1900년 영국의 이탈리아 라디오 선구자인 굴리엘모 마르코니에 ^[23]의해 발명되었지만, 튜닝을 허용하는 라디오 시스템에 대한 첫 번째 특허는 1897년에 로지에 의해 제출되었습니다.

적용들

가변 동조 회로

아날로그 무선의 튜닝 회선에서는, 이러한 회선이 자주 사용됩니다.조정 가능한 튜닝은 일반적으로 C 값을 변경하고 다른 주파수의 스테이션에 맞춰 튜닝할 수 있는 병렬 플레이트 가변 캐패시터를 사용하여 이루어집니다.공장에서 튜닝이 사전 설정되어 있는 무선 IF 스테이지의 경우, 보다 일반적인 솔루션은 인덕터 내의 조정 가능한 코어로 L을 조정하는 것입니다.이 설계에서는 코어(인덕턴스를 증가시키는 효과가 있는 고투과성 재료)를 나사산하여 필요에 따라 인덕터 권선에 나사산 또는 나사산할 수 있도록 한다.

필터

그림 6. 로우패스 필터로서의 RLC 회로	그림 7. 하이패스 필터로서의 RLC 회로
그림 8. 라인과 직렬로 연결된 직렬 밴드 패스 필터로서의 RLC 회로	그림 9. 라인 전체에 걸친 션트의 병렬 밴드 패스 필터로서의 RLC 회로
그림 10.라인 간 분로의 직렬 대역 정지 필터로서의 RLC 회로	그림 11라인과 직렬로 병렬 대역 정지 필터로서의 RLC 회로

필터링 어플리케이션에서 저항은 필터가 처리하는 부하가 됩니다.감쇠율 값은 필터의 원하는 대역폭을 기반으로 선택됩니다.대역폭이 넓어지려면 댐핑 팩터의 값이 커야 합니다(반대도 마찬가지).이 세 가지 구성요소는 디자이너에게 3가지 자유도를 부여합니다.대역폭과 공진 주파수를 설정하려면 이 중 2개가 필요합니다.설계자는 여전히 R, L 및 C를 편리한 실제 값으로 척도화하는 데 사용할 수 있는 설계자를 남겨두고 있습니다.또는 R은 마지막 자유도를 사용하는 외부회로에 의해 미리 결정될 수 있다.

로우패스 필터

RLC 회로는 로우패스필터로서 사용할 수 있습니다.그림 6에 회선 구성을 나타냅니다.코너 주파수, 즉 3dB 포인트의 주파수는 다음과 같습니다.

$\displaystyle \mathrm {c} = scsfrac {1} {\scsrt {LC}},}$

이것은 필터의 대역폭이기도 합니다.감쇠 계수는 다음과^[27] 같습니다.

${\displaystyle \zeta = flac {1}{2R_{L}} {\sqrt {\frac {L} {C}},}$

하이패스 필터

하이패스 필터는 그림 7에 나와 있습니다.코너 주파수는 로우패스 필터와 동일합니다.

$\displaystyle \mathrm {c} = scsfrac {1} {\scsrt {LC}},}$

필터에는 이 ^[28]폭의 정지 대역이 있습니다.

대역 통과 필터

밴드 패스 필터는 로드 저항과 직렬 LC 회로를 배치하거나 로드 저항과 병렬 LC 회로를 배치하여 RLC 회로와 함께 형성할 수 있다.이러한 배치는 각각 그림 8과 그림 9에 나타나 있다.중심 주파수는 다음과 같습니다.

${\displaystyle \mathrm {c} } = flac {1} {\displayrt {LC}},}$

직렬 회선의^[29] 대역폭은

$(\displaystyle \Delta \Omega = frac {R_{L}}{L}}),}$

회로의 션트 버전은 고임피던스 소스, 즉 정전류 소스에 의해 구동되도록 설계되었습니다.이러한 상황에서 대역폭은^[29]

${\displaystyle \Delta \Omega = frac {1}{CR_{L}}}},},}$

밴드 스톱 필터

그림 10은 부하를 가로지르는 션트로 직렬 LC 회로에 의해 형성된 밴드 스톱 필터를 보여줍니다.그림 11은 부하와 직렬로 병렬 LC 회로에 의해 형성된 밴드 스톱 필터입니다.첫 번째 경우 공진 시 임피던스가 낮을 때 전류가 공진기로 전환되도록 높은 임피던스 소스가 필요합니다.두 번째 경우 공진 ^[30]시 고임피던스가 될 때 전압이 반공진기 전체에서 떨어지도록 낮은 임피던스 소스가 필요합니다.

발진기

발진기 회로의 경우 일반적으로 감쇠(또는 이에 상당하는 감쇠 계수)를 가능한 작게 하는 것이 바람직합니다.실제로 이 목표는 직렬 회로에 대해 회로 저항 R을 물리적으로 가능한 한 작게 하거나 병렬 회로에 대해 가능한 한 R을 증가시켜야 합니다.어느 경우든 RLC 회로는 이상적인 LC 회로에 대한 적절한 근사치가 됩니다.단, 매우 낮은 감쇠 회로(고Q 계수)에서는 코일 및 콘덴서의 유전 손실과 같은 문제가 중요해질 수 있습니다.

발진기 회로 내

${\displaystyle \alpha \ll \mega _{0},}$

또는 동등하게

$(\displaystyle\zeta\ll 1),}$

결과적으로.

$\displaystyle \mathrm {d}\approx \mega _{0},}$

전압 승수

공진 상태의 직렬 RLC 회로에서 전류는 회로의 저항에 의해서만 제한됩니다.

${\displaystyle I=syslogfrac {V}{R}},}$

인덕터 권선 저항으로만 구성된 R이 작으면 이 전류가 커집니다.인덕터에 걸쳐 전압이 떨어집니다.

${\displaystyle V_{L}=subscfrac {V}{R}}\omega _{0}L,}$

캐패시터 전체에서도 동일한 크기의 전압이 확인되지만 인덕터와는 역위상입니다.R을 충분히 작게 할 수 있는 경우, 이러한 전압은 입력 전압의 몇 배일 수 있습니다.전압비는 사실 회로의 Q입니다.

${\displaystyle {V_{L}}{V}}=Q,}$

병렬 회로의 전류에서도 유사한 효과가 관찰됩니다.회로가 외부 소스에 대해 높은 임피던스로 보이지만 병렬 인덕터 및 캐패시터의 내부 루프에는 큰 전류가 흐르고 있습니다.

펄스 방전 회로

과잉 감쇠 직렬 RLC 회로를 펄스 방전 회로로 사용할 수 있습니다.파형을 생성하는 데 사용할 수 있는 성분의 값을 알아두면 유용한 경우가 많습니다.이는 다음 양식에 의해 설명됩니다.

${\displaystyle I(t)=I_{0}\left(, e^{-\alpha,t}-e^{-\beta,t}\right),}$

이러한 회로는 에너지 저장 캐패시터, 저항 형태의 부하, 일부 회로 인덕턴스 및 스위치로 모두 직렬로 구성됩니다.초기 조건은 캐패시터가 전압 V이고₀ 인덕터에 전류가 흐르지 않는 것입니다.인덕턴스 L이 알려진 경우 나머지 파라미터는 다음과 같은 캐패시턴스로 지정됩니다.

${\displaystyle C=syslogfrac {1}{~L,\alpha\,\syslog\,~},},$

저항(회로 및 부하의 합계):

${\displaystyle R=L,(\alpha +\display ),}$

콘덴서의 초기 단자 전압:

${\displaystyle V_{0}=-I_{0}L,\alpha\,\left\frac {1}{\flac }}-{\frac {1}{\alpha }}}\right},}$

R이 알려진 경우에 맞게 재배치 – 캐패시턴스:

${\displaystyle C=syslogfrac {~\alpha +\syslog ~}{R,\alpha,\syslog}},}$

인덕턴스(회로 및 부하의 합계):

${\displaystyle L=syslogfrac {R}{,\alpha +\syslog ~},},}$

콘덴서의 초기 단자 전압:

${\displaystyle V_{0}=flac {,-I_{0}R,\alpha},\flac ~}{\alpha +\flac}}\flac {1}{\flac {1}{\alpha }},}$

「 」를 참조해 주세요.

• RC 회로
• RL 회로
• 선형 회로

레퍼런스

참고 문헌

• Agarwal, Anant; Lang, Jeffrey H. (2005). Foundations of Analog and Digital Electronic Circuits. Morgan Kaufmann. ISBN 1-55860-735-8.
• Humar, J. L. (2002). Dynamics of Structures. Taylor & Francis. ISBN 90-5809-245-3.
• Irwin, J. David (2006). Basic Engineering Circuit Analysis. Wiley. ISBN 7-302-13021-3.
• Kaiser, Kenneth L. (2004). Electromagnetic Compatibility Handbook. CRC Press. ISBN 0-8493-2087-9.
• Nilsson, James William; Riedel, Susan A. (2008). Electric Circuits. Prentice Hall. ISBN 978-0-13-198925-2.