준sphere

Quasi-sphere

수학과 이론물리학에서 준sphere는 사이비 유클리드 공간의 맥락으로 하이퍼바이저와 하이퍼플레인을 일반화한 것이다.중심점에서 변위 벡터에 적용되는 공간에 대한 2차적 형태가 일정한 값인 점 집합으로 설명될 수 있으며, 여기에는 하이퍼플레인이 제한 사례로 포함될 수 있다.

표기 및 용어

이 글에서는 다음과 같은 표기법과 용어를 사용한다.

  • R로s,t 표기된 사이비-유클리드 벡터 공간은 표식(s, t)이 있는 비데오제 2차 형태를 가진 실제 벡터 공간이다.2차 형태는 확정이 허용된다(여기서 s = 0 또는 t = 0). 이것은 유클리드 벡터 공간의 일반화가 된다.[a]
  • E로s,t 표시된 사이비 유클리드 공간은 변위 벡터가 공간 R의s,t 요소인 실제 부속 공간이다.벡터 공간과 구별된다.
  • 벡터 x ∈ R에s,t 작용하는 2차 형태 Q(x)는 유클리드 공간에서 제곱 유클리드 거리를 일반화한 것이다.엘리 카탄은 Q(x)를 x의 스칼라 사각형이라고 부른다.
  • 두 벡터 x에 작용하는 대칭 이선형식 B, y ∈ R은s,t B(x, y) 또는 x ⋅ y로 표시된다.[b]이것은 2차 형태 Q와 관련이 있다.[c]
  • 두 벡터 x, y ∈ R은s,t x ⋅ y = 0인 경우 직교한다.
  • 준승점에서의 정상 벡터는 그 지점에서 접선 공간의 각 벡터에 직교하는 0이 아닌 벡터다.

정의

준sphere는 기준점에서 변위 벡터 x = u - o가 방정식을 만족하는 점으로 구성된 유사 유클리드 공간 E의s,t 하위 관리형이다.

a x ⋅ x + b ⋅ x + c = 0,

여기서 a, c ∈ R 및 b, x ∈ Rs,t.[1][d]

a = 허용된 0이므로 이 정의는 하이퍼플레인을 포함한다. 따라서 일반화된 원과 그 유사성을 임의의 차원으로 일반화한 것이다.이러한 포함은 생략된 경우보다 순응적 변환 하에서 더 규칙적인 구조를 제공한다.

이 정의는 2차 형태를 은둔자 형태로 대체함으로써 복잡한 숫자와 쿼터니온 위에 공간을 붙이도록 일반화되었다.[2]

2차 공간(X, Q)의 준 vSphere P = {x ∈ X : Q(x) = k}에는 카운터 vSphere N = {x ∈ X : Q(x) = -k}[e]이(가) 있다.더욱이, k 0 0과 L이 X ~ x = 0의 등방성 선이라면, L ∩ (P n N) = ∅로 준-sphere와 카운터-sphere의 결합을 뚫는다.쌍곡면의 준조각을 이루는 단위 하이퍼볼라와 그것의 대항조인 결합 하이퍼볼라가 한 예다.

기하학적 특성

중심 및 방사형 스칼라 사각형

준승의 중심은 준승의 모든 점에서 동일한 스칼라 정사각형을 갖는 지점이며, 접선 하이퍼플레인에 정상인 선의 연필이 만나는 지점이다.준조립이 하이퍼플레인인 경우 중심은 이 연필로 정의한 무한대의 지점이다.

≠ 0일 때, 기준점에서 중심부의 변위 벡터 p와 방사형 스칼라 사각 r은 다음과 같이 찾을 수 있다.Q(x - p) = r을 넣었고, 위의 정의 방정식과 비교했을 때, 준-sphere를 구한다.

a = 0의 경우는 중심 p가 무한대 또는 0의 방사형 스칼라 사각형(null 하이퍼플레인 경우 후자)을 가진 무한대(infinite)에서 잘 정의된 점으로 해석될 수 있다.그러나 이 경우에 p(및 r)를 안다고 해서 하이퍼플레인의 위치가 우주에서의 방향만 결정되는 것은 아니다.

방사형 스칼라 사각형은 양의 값, 0 값 또는 음의 값을 가질 수 있다.2차적 형태가 확실할 때, 위의 식에서 p와 r을 결정할 수 있지만, 음의 방사형 스칼라 정사각형에 대한 유클리드 공간에서와 같이 정의 방정식을 만족하는 벡터 x의 집합은 비어 있을 수 있다.

지름과 반지름

구별할 필요가 없는 모든 점 쌍(이 중 최대 하나가 무한대의 점이라는 선택권을 포함)은 준 vSphere의 직경을 정의한다.준-sphere는 이 두 점으로부터 두 변위 벡터가 직교하는 점의 집합이다.

어떤 점이라도 중심(무한의 점 포함)으로 선택할 수 있으며, 준성의 다른 점(무한의 점 제외)은 준수의 반경을 정의하여 준수를 명시한다.

파티셔닝

방사형 스칼라 사각형으로서 중심(즉 Q(x - p))에서 준sphere의 한 지점의 변위 벡터에 적용되는 2차 형태를 가리키며, 모든 사이비 유클리드 공간에서 준스펙터는 양의 방사형 스칼라 사각형이 있는 부분, 음의 방사형 스칼라 사각형이 있는 부분, 0이 있는 부분 등 세 개의 분리 세트로 분리할 수 있다.방사상 [f]스칼라 사각형

양수확정 2차형(즉 유클리드 공간)의 공간에서 음수 방사형 스칼라 사각형이 있는 준성은 빈 세트, 방사형 스칼라 사각형이 0인 것은 단일 점으로 구성되며, 양수 방사형 스칼라 사각형이 있는 것은 표준 n-sphere, 곡률 0인 것은 n-sphe로 분할된 하이퍼플레인이다.재갈을 물리다

참고 항목

메모들

  1. ^ 일부 저자들은 확실한 경우를 제외하지만, 이 글의 맥락에서, 이 제외가 의도된 곳에 무기한 한정자를 사용할 것이다.
  2. ^ 두 벡터에 적용되는 대칭 이선형태를 스칼라 제품이라고도 한다.
  3. ^ 한(진짜)2차 형식 Q의 관련된 대칭 공일 차내삽 법의 형태이고 B(), y)).mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac .num, 결정할 수 있도록 Q()))B(x))정의된다..mw-parser-output.sfrac .den{디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}.mw-parser-output.sfrac .den{border-top:1px 고체}.mw-parser-output .sr-onlyᆭ1(Q(x+y)− Q()− y)cm이다.이 ID의 변형은 양극화 ID를 참조하십시오.
  4. ^ 소스에 언급되지는 않았지만 b = 0과 a = 0의 조합을 제외해야 한다.
  5. ^ Q가 확실할 때 주의사항이 있다.또한 k = 0일 때는 그 N = P를 따른다.
  6. ^ 하이퍼플레인(무한 방사형 스칼라 사각형 또는 0 곡률의 준 vSphere)은 접선된 준공간으로 분할된다.접선 초경면의 정상인 벡터에 적용되는 2차 형태가 양인지, 0인지, 음인지에 따라 세트가 정의될 수 있다.세 세 세트의 물체는 공간의 일치된 변형 하에 보존된다.

참조

  1. ^ Jayme Vaz, Jr.; Roldão da Rocha, Jr. (2016). An Introduction to Clifford Algebras and Spinors. Oxford University Press. p. 140. ISBN 9780191085789.
  2. ^ Ian R. Porteous (1995), Clifford Algebras and the Classical Groups, Cambridge University Press