얼음형 모델

통계 역학에서 얼음형 모델 또는 6-Vertex 모델은 수소 결합이 있는 결정 격자용 정점 모델이다.최초의 그러한 모델은 1935년 리너스 폴링에 의해 물 얼음의 잔류 엔트로피를 설명하기 위해 도입되었다.^[1]변형은 특정 강전^[2] 및 반전기^[3] 결정의 모델로 제안되어 왔다.

1967년 엘리엇 H. 리브는 "사각형 얼음"으로 알려진 2차원 얼음 모델의 정확한 용액을 발견했다.^[4]3차원의 정확한 용액은 특수한 "동결" 상태로만 알려져 있다.^[5]

설명

얼음형 모델은 4번 조정 격자에 정의된 격자 모델이다.즉, 격자의 각 꼭지점은 가장자리에 의해 네 개의 "가장 가까운 이웃"에 연결된다.모델의 상태는 격자의 각 가장자리에 화살표로 구성되며, 따라서 각 꼭지점에서 안쪽을 가리키는 화살표의 수는 2이다.화살표 구성에 대한 이러한 제한을 얼음 규칙이라고 한다.그래프 이론적 용어에서, 상태는 기초적인 4-정기 비방향 그래프의 오일러 방향이다.파티션 함수는 또한 0이 아닌 3 흐름의 수를 계산한다.^[6]

2차원 모델의 경우 격자는 정사각형 격자로 간주된다.보다 현실적인 모델의 경우 고려되는 재료에 적합한 3차원 격자를 사용할 수 있다. 예를 들어 육각형 얼음 격자는 얼음을 분석하는 데 사용된다.

어떤 꼭지점에서도 얼음 규칙을 만족하는 화살표는 6가지 구성이 있다("6Vertex 모델"이라는 명칭을 정당화함).(2차원) 사각 격자에 대한 유효한 구성은 다음과 같다.

상태의 에너지는 각 꼭지점에서 구성의 함수로 이해된다.사각 격자의 경우 총 에너지 $E{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ E$}$이(가) 다음에 의해 주어진다고$$ 가정한다.

${\displaystyle E=n_{1}\epsilon _{1}+n_{2}\epsilon _{2}+\ldots +n_{6}}\epsilon _{6}}$

일부 상수 $ϵ{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$… ,${\displaystyle {ϵ\mathrm{}}_{}}$ 6 ${\$ 여기서$$ $n{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$ $n_$${i}$는 위 그림의 $i{\displaystyle }$ ${\displaysty$ i$}$ 구성을$$ 가진 정점의 수를 나타낸다.$value{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$ 값은 꼭지점 구성 번호 $i{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ i$\}$와 연관된 에너지$$ 입니다.

하나는 얼음형 모델의 파티션$$ 함수 $Z{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ Z$}$를 계산하는 것을 목표로 하는데, 이 계산식은 공식에 의해 주어진다.

${\displaystyle Z=\sum \exp(-E/k_{\rm {B}T),}$

합계가 모델의 모든 상태를 인수하는 $경우{\displaystyle }$ E ${\displaystyle E}$은(는) 상태의 에너지, ${\displaystyle {k\mathrm{}}_{}}$ B ${\$ {$B}$은(는) 볼츠만의 상수, T ${\displaystytle T}$은(는) 시스템의 온도.

일반적으로 정점의 $N$ ${\displaystyle$ N$}$이(가) 무한대에 접근하는 열역학적 한계에 관심이 있다.이 경우, 대신 $한계$의 꼭지점 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$당 자유 에너지를 N${\displaystyle }$→${\displaystyle \mathrm{}}$∞ ${\displaystyle N\to \inflt }($으)로 $평가$한다$.$$$여기서 f {\$displaystyle f}$은(으)에 의해 부여된다$$.

${\displaystyle f=-k_{\rm{B}}TN^{-1}\log Z.}$

이와$$ 동등하게 열역학 한계에서 $정점{\displaystyle }$W {\$displaystyle$ W$}$당 파티션 함수를 평가한다.

$[\displaystyle W=Z^{1/N}.}$

$f{\displaystyle }$$$ ${\displaystyle f}$ 및$$ $W{\displaystyle }$ ${\displaystyle W}$ 값은

${\displaystyle f=-k_{\rm{B}}T\log W.}$

물리적 정당성

얼음과^[1] 이수소 인산염 KHPO
_2
4^[2](KDP)를 포함해 수소 결합을 가진 여러 개의 실제 결정체가 얼음 모델을 만족시킨다.실제로, 그러한 결정들은 얼음 타입의 모델에 대한 연구에 동기를 부여했다.

얼음에서 각각의 산소 원자는 4개의 다른 옥시겐에 결합되어 연결되며, 각 결합은 단자 옥시겐 사이에 하나의 수소 원자를 포함하고 있다.수소는 대칭적으로 위치한 두 위치 중 하나를 차지하며, 두 위치 모두 결합의 중간에 있지 않다.폴링은 수소 원자의 허용 가능한 구성이 각 산소마다 항상 정확히 두 개의 수소가 가까이 있기 때문에 지역 환경이 물 분자인 HO를
₂ 모방하게 한다고 주장했다^[1].따라서 산소 원자를 격자 정점, 수소 결합을 격자 가장자리로 삼고, 수소 원자가 앉아 있는 결합의 측면을 가리키는 결합에 화살을 그리면 얼음이 얼음 모델을 만족시킨다.KDP가 얼음 모델도 만족시킨다는 것을 보여주는 유사한 추론이 적용된다.

최근 몇 년 동안, 얼음형 모델은 바이스트 가능한 자기 모멘트("스핀") 사이의 상호작용에서 기하학적 좌절감이 "얼음 규칙" 회전 구성을 선호하게 하는 ^[8][9]파이로클로르 스핀 얼음과^[7] 인공 스핀 얼음 시스템에 대한 설명으로 탐구되었다.

정점 에너지의 특정 선택

정점 구성 1-6과 관련된$$ 에너지${\displaystyle }$1${\displaystyle {}_{}{1\mathrm{}}_{}}$ , ${\displaystyle \dots }$ , ${\displaystyle {ϵ\mathrm{}}_{}}$ 6 ${\$ ,\epsilon $_{6}}$은 상태의 상대 확률을 결정하므로 시스템의 거시적 거동에 영향을 줄 수 있다.다음은 이러한 정점 에너지에 대한 일반적인 선택이다.

얼음 모형

얼음을 모델링할 때, 모든 허용 정점 구성이 동일한 것으로 이해되기 때문에 ${\displaystyle {one\mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle {ϵ\mathrm{}}_{}}$ 2${\displaystyle {}_{}}$=${\displaystyle }$… =${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {6\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \epsilon _{1}=\epsilon _{2}=\ldots =\epsilon _{6}=0$을 사용한다.이 경우 파티션 함수 $Z{\displaystyle }$ ${\displaystyle Z}$은 총 유효 상태 수와 동일하다.이 모델은 (얼음형 모델과는 반대로) 얼음 모델이라고 알려져 있다.

KDP의 강전모형

슬레이터는^[2] KDP가 에너지를 가진 얼음형 모델로 표현될 수 있다고 주장했다.

${\displaystyle \epsilon \{1}=\epsilon _{2}=0,\epsilon _{3}=\epsilon _{4}=\epsilon _{5}=\epsilon _{6}}}}}$

이 모델(KDP 모델이라고 함)의 경우, 가장 가능성이 높은 상태(최소 에너지 상태)는 모든 수직 화살표에 대해 동일한 방향을 가리키며 마찬가지로 모든 수평 화살표를 가진다.그러한 상태는 모든 수소 원자가 하나의 고정된 면에 대한 선호도를 갖는 강전상태다.

리스 F형 항암기 모델

Rys $F{\displaystyle }$ ${\displaystyle F}$ 모델은^[3] 설정을 통해 얻음

$\displaystyle \epsilon _{1}=\epsilon _{2}=\epsilon _{3}=\epsilon _{4}0,\epsilon _{5}=\epsilon _{6}=0.}$

이 모델의 최소 에너지 상태는 꼭지점 구성 5와 6에 의해 지배된다.그러한 상태의 경우 인접한 수평 결합은 반드시 반대방향으로, 수직 결합의 경우 유사하게 화살을 가지고 있으므로 이 상태는 반전기 상태라고 할 수 있다.

영점 필드 가정

주변 전기장이 없는 경우 충전 역전(즉, 모든 화살표 뒤집기) 시 주의 총 에너지는 변하지 않아야 한다.따라서 일반성을 잃지 않고 다음과 같이 가정할 수 있다.

${\displaystyle \epsilon _{1}=\epsilon _{2},\dism \epsilon _{3}=\epsilon _{4},\dism \epsilon _{5}=\epsilon _{6}}}}}}}}}}$

이 가정은 영점 가정으로 알려져 있으며, 얼음 모델, KDP 모델 및 Rys F 모델에 대한 가정이다.

역사

얼음 규칙은 윌리엄 F가 측정한 얼음의 잔류 엔트로피를 설명하기 위해 1935년 리너스 폴링에 의해 도입되었다. 지아우케와 J. W. ^[10]스타우트얼음의 잔류 엔트로피 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ S$}$는$$공식에 의해 주어진다.

${\displaystyle S=k_{\rm {B}\log Z=k_{\rm {B}\,N\,\log W,}$

여기서 $k{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {B\mathrm{}}_{}}$ ${\$은(는) 볼츠만의 상수$,$ $N{\displaystyle }$ {\$displaystyle N}$은(는) 얼음 조각에 들어 있는 산소 원자의 수입니다(열역학적 한계), $Z{\displaystyle }$= ${\displaystyle W^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$$W^{N}}$는 폴링의 얼음 규칙에 따른 수소 원자의 구성 수입니다.수소 원자의 수는 $[\displaystyle 2N}$이고 각 수소는 두 개의 가능한 위치를 가지기 때문에$$ 얼음 규칙이 없다면 $W{\displaystyle }$= ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle W=4}$이 있을 것이다.Pauling은 얼음 규칙이 이것을 $S$의 Giauque-Stout 측정과 매우 잘 일치하는 숫자인$$$W{\displaystyle }$= 1$[\$$displaystyle W$$=1.5}$로 줄인다고 추정했다$.$ Pauling이 얼음의 $S$ ${\displaystyle$ S$}$을 계산한 것은 가장 간단하지만 가장 정확한 통계적 적용의 하나라고 말할 수 있다. 지금까지 만들어진 실제 물질에 대한 역학남아 있는 문제는, 모델을 볼 때$,$ 매우 근사했던, Pauling의 $W{\displaystyle }$ ${\displaystyle W}$의 계산이 엄격한 계산에 의해 유지될 수 있을 것인가 하는 것이었다.이것은 조합학에서 중요한 문제가 되었다.

3차원 모델과 2차원 모델 모두 존 F에 의해 수치적으로 계산되었다.1966년의^[11] Nagle은 3차원에서는$$ $W{\displaystyle }$=${\displaystyle 1.50685}$± ${\displaystyle 0.00015}$ $[\displaystyle W=1.50685\pm 0.00015},$ 2차원에서는${\displaystyle \mathrm{}}W{\displaystyle }$= 1${\displaystyle .540}$± $[\displaystyle W=1.540\pm 0.001$}을 발견했다.둘 다 놀랍게도 파울링의 대략적인 계산인 1.5에 가깝다.

1967년, Lieb은 얼음 모델,^[4] $Rys{\displaystyle }$ F ${\displaystyle F}$ 모델$$,^[12] KDP 모델 등 3가지 2차원 얼음 타입 모델의 정확한 솔루션을 찾아냈다.^[13]얼음 모델에 대한 솔루션은 $W{\displaystyle }$ ${\displaystyle W}$의 정확한 값을 2차원 단위로 제공했다$$.

${\displaystyle W_{2D}=\왼쪽({\frac {4}{3}\오른쪽)^{3/2}=1.5396007....}$

'리브의 사각 얼음 상수'로 알려져 있지

이후 1967년 빌 서덜랜드는 리브의 세 가지 특정 얼음형 모델에 대한 솔루션을 제로 필드 가정을 충족하는 사각형 격자 얼음형 모델에 대한 일반적인 정확한 솔루션으로 일반화했다.^[14]

그러나 이후인 1967년에 C. P. Yang은^[15] 수평 전기장에서 사각형 얼음형 모델을 위한 정확한 용액에 대한 서덜랜드의 해결책을 일반화했다.

1969년 존 나글은 특정 온도 범위에서 KDP 모델의 3차원 버전에 대한 정확한 솔루션을 도출했다.^[5]그러한 온도의 경우 (열역학적 한계에서) 정점당 에너지와 정점당 엔트로피가 모두 0이라는 의미에서 모델은 "동결"이다.이것은 3차원 얼음형 모델에 대해 알려진 유일한 정확한 해법이다.

8-Vertex 모형에 대한 관계

또한 정확히 해결된 8-Vertex 모델은 (제곱-라티스) 6-Vertex 모델의 일반화: 8-Vertex 모델에서 6-Vertex 모델을 복구하고 정점 구성 7과 8에 대한 에너지를 무한대로 설정한다.예를 들어 8VERX 모델이 아닌 경우에 따라 6VERTEX 모델이 해결되었는데, 예를 들어 3차원 KDP 모델을^[5] 위한 Nagle의 솔루션과 6VERTEX 모델을 수평적으로 사용하는 양씨의 솔루션이 그것이다.^[15]

경계 조건

이 얼음 모델은 통계 역학에서 중요한 'counterexample'을 제공한다: 열역학 한계에서의 대량 자유 에너지는 경계 조건에 따라 달라진다.^[16]모델은 주기적인 경계 조건, 반주기적, 강자성 및 영역 벽 경계 조건에 대해 분석적으로 해결되었다.정사각형 격자 위에 도메인 벽 경계 조건이 있는 6개의 꼭지점 모델은 조합학에서 특정한 의미를 가지며, 교대 부호 행렬을 열거하는데 도움이 된다.이 경우 파티션 함수는 행렬의 결정요인(차원이 격자의 크기와 동일)으로 나타낼 수 있지만, 다른 경우에는 $W{\displaystyle }$ ${\displaystyle W}$의 열거가 이렇게 단순한 폐쇄형 형태로 나오지 않는다$$.

분명히 가장 큰 $W{\displaystyle }$ ${\displaystyle W}$은 자유 경계 조건(경계의 구성에 전혀 제약이 없음)에 의해 주어지지만$$, 원래 W ${\displaystyle {\mathrm{2D}}_{}}$ ${\$를 도출하는 데 사용된 $것$과 동일한 W ${\displaystyle$ W$}$이 열역학적 한계에서 발생한다$.$^[17]

격자 3색

격자의 유한 연결 사각형 결합의 내부 가장자리에 있는 얼음형 모델의 상태 수는 정사각형을 3색화하는 방법 수의 3분의 1과 같으며, 인접한 두 개의 정사각형이 동일한 색을 가지지 않는다.주 사이의 이러한 서신은 앤드류 레너드 덕분이며 다음과 같이 주어진다.사각형의 색상이 i = 0, 1 또는 2인 경우 인접한 사각형의 관찰자에 따라 가장자리에 있는 화살표는 인접한 사각형의 색상이 i+1인지 i-1모드 3인지에 따라 왼쪽 또는 오른쪽으로 이동한다.고정된 초기 사각형을 색칠하는 방법에는 세 가지가 있으며, 이 초기 색상을 선택하면 색상과 얼음 형태의 조건을 만족하는 화살표 배열 사이에 1:1의 일치성이 있다.

참고 항목

• 8-Vertex 모델

메모들

추가 읽기

• Lieb, E.H.; Wu, F.Y. (1972), "Two Dimensional Ferroelectric Models", in C. Domb; M. S. Green (eds.), Phase Transitions and Critical Phenomena, vol. 1, New York: Academic Press, pp. 331–490
• Baxter, Rodney J. (1982), Exactly solved models in statistical mechanics (PDF), London: Academic Press Inc. [Harcourt Brace Jovanovich Publishers], ISBN 978-0-12-083180-7, MR 0690578