함수의 탄력성

수학에서, 지점 a에 있는 양의 변수(양수 입력, 양의 출력)^[1]의 양수 차이 함수 f의 탄력성 또는 점 탄력성은 다음과^[2] 같이 정의된다.

${\displaystyle Ef(a)={\frac {a}{f(a)}}f'(a)}$

${\displaystyle =\lim _{x\to a}{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}{\frac {a}{f(a)}}=\lim _{x\to a}{\frac {f(x)-f(a)}{f(a)}}{\frac {a}{x-a}}=\lim _{x\to a}{\frac {1-{\frac {f(x)}{f(a)}}}{1-{\frac {x}{a}}}}\approx {\frac {\%\델타 f(a)}{\%\Delta a}}$

또는 동등하게

${\displaystyle Ef(x)={\frac {d\log f(x)}{d\log x}.}$

따라서 점$(,{\displaystyle f}$(${\displaystyle }$) ${\displaystyle (a,f(a)})$으로부터의 극소수 변경에 대한$$ $입력{\displaystyle }$ x$${\$displaystyle x$의 상대적($백분율)$ 변경 비율$.$ 동등하게, 최소값 변경 비율이다. 인수의 로그에 대한 최소한의 변경에 대한 함수의 로그 다중 입력 다중 출력 사례에 대한 일반화도 문헌에 존재한다.^[3][4]

함수의 탄성은 함수 형식이 $f{\displaystyle (}$ ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= C ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\alpha }^{}}$ ${\$$displaystyle \alpha }$인 경우에만$$ 상수 $\alpha {\displaystyle }${\$displaystyle f(x)}$이다.$^{\alpha }$ 상수 > 0 ${\displaystyle C>0$에 대한 .

한 점에서의 탄성은 두 점 사이의 분리가 0에 가까워질 때 두 점 사이의 호 탄성의 한계다.

탄력성의 개념은 경제학에서 널리 사용되고 있다; 자세한 것은 탄력성(경제학)을 보라.

규칙.

상품과 시세의 탄력성을 찾는 규칙은 파생상품보다 간단하다. f, g는 차별성을 갖도록 하자. 그러면^[2]

${\displaystyle E(f(x)\cdot g(x))=Ef(x)+Eg(x)}$

${\displaystyle E{\frac {f(x)}{g(x)}}}=Ef(x)-Eg(x)}$

${\displaystyle E(f(x)+g(x))={\frac {f(x)\cdot E(f(x))+g(x)\cdot E(g(x))}{f(x)+g(x}}}$

${\displaystyle E(f(x)-g(x))={\frac {f(x)\cdot E(x)-g(x))\cdot E(g(x)}{f(x)-g(x)}}}$

파생상품은 탄력성 측면에서 다음과 같이 표현할 수 있다.

${\displaystyle Df(x)={\frac {Ef(x)\cdot f(x)}{x}}}}$

a와 b를 상수가 되게 하라. 그러면

${\displaystyle E(a)=0\ }$

${\displaystyle E(a\cdot f(x)))$$=Ef(x$

${\displaystyle E}$( ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle a^{}}$)${\displaystyle }$= ${\$

점 탄력성 추정

경제학에서 수요의 가격탄력성은 수요함수 Q(P)의 탄성을 말하며, (dQ/dP)/(Q(P)/P) 또는 평균함수 값(dQ/dP)에 대한 한계함수(dQ/dP)의 비율(dQ/dP)으로 표현할 수 있다. 이 관계는 수요 곡선이 특정 지점에서 탄력적인지 비탄력적인지를 쉽게 판단할 수 있는 방법을 제공한다. 첫째, 수학에서 독립 변수(P)를 수평으로 그리고 종속 변수(Q)를 수직으로 표시하는 일반적인 관례를 따른다고 가정합시다. 그런 다음 해당 지점에서 곡선에 접하는 선의 기울기는 해당 지점의 한계함수의 값이다. 원점에서 점을 통과하는 광선의 기울기는 평균함수의 값이다. 접선의 기울기 절대값이 광선의 기울기보다 크면 함수는 지점에서 탄력성이 있고, 세컨트의 기울기가 접선의 기울기 절대값보다 크면 그 지점에서 곡선이 비탄성적이다.^[5] 접선선이 수평축으로 확장되면 문제는 단순히 선과 수평축에 의해 생성된 각도를 비교하는 문제일 뿐이다. 한계 각도가 평균 각도보다 크면 해당 지점에서 함수가 탄성이고, 한계 각도가 평균 각도보다 작으면 해당 지점에서 함수가 비탄성적이다. 그러나 경제학자들이 채택한 관례를 따르고 독립 변수 P를 수직축에, 종속 변수 Q를 수평축에 나타낸다면 반대 규칙이 적용될 것이다.

공급 기능이나 다른 기능에도 동일한 그래픽 절차를 적용할 수 있다.

반탄성

반탄성(또는 반탄성)은 x의 변화(백분율-와이드가 아님) 측면에서 f(x)의 백분율 변화를 준다. 대수학적으로 x의 함수 f의 반탄성 S는 다음과 같다.

${\displaystyle Sf(x)={\frac {1}{f(x)}f'(x)={\frac {d\ln f(x)}{dx}}}}}$

반탄성도는 $f{\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle x^{}}$ ${\$ 형식의$$ 지수함수에 대해 일정하게 유지된다.

${\dplaystyle \ln {f}=\ln {C\alpha ^{x}=\ln {C}+x\ln {\lpha }\implies {\d\ln {f}}=\ln {\lfa }}}$

반탄성성의 예는 채권 거래에서 변경된 기간이다.

"반탄성(semi-lasticity)"이라는 용어는 x의 백분율 변화 측면에서 f^[8](x)가 변경될 경우 "반탄성(semi-lasticity)"이라는 용어도 가끔 사용된다.

${\dfrac {df(x)}{d\ln(x)}}={\frac {df(x)}{dx}x}$

참고 항목

• 아크탄성
• 탄력성(경제학)
• 동질함수

참조

추가 읽기

• Nievergelt, Yves (1983). "The Concept of Elasticity in Economics". SIAM Review. 25 (2): 261–265. doi:10.1137/1025049.