퍼펙트 맵

수학, 특히 위상학에서 완벽한 지도는 위상학 공간 사이의 특정한 종류의 연속적인 기능이다.완벽한 지도는 동형성에 비해 약하지만, 연속적인 지도에 의해 항상 보존되는 것은 아닌 국소적 압축성과 같은 일부 위상학적 특성을 보존할 수 있을 만큼 충분히 강하다.

형식 정의

Let $X$ and $Y$ be topological spaces and let $p$ be a map from $X$ to $Y$ that is continuous, closed, surjective and such that each fiber $p^{-1}(y)$ is compact relative to ${\displays$ $Y$ $Y$ 의 $y$ $각$ y $y$ 에 $X$ $대한 tyle$ X $Y$ 그러면 $p$ $p$ 이(가) 완벽한 지도로 알려져 $p$ 있다.

예제 및 속성

1. $p\colon X\to Y$ : $p\colon X\to Y$ → Y ${\displaystyle p\colon X\to$ Y $}$ 이 $p\colon X\to Y$ (가) 완벽한 지도이고 Y $Y$ 이 $Y$ (가) 소형이라면 $X$ ${\displaystyle$ X $}$ 은(가) 소형이다 $X$ .

2. $p\colon X\to Y$ : $p\colon X\to Y$ → Y ${\displaystyle p\colon X\to$ Y $}$ 이(가) 완벽한 지도이고 $p\colon X\to Y$ $X$ $X$ 이 $X$ (가) 정규라면 Y ${\$ $displaystyle Y$ $}$ 이( $)$ $Y$ 인 $Y$ 지도라면 $p$ $X$ ${\displaystyty$ X $}$ 이 정규적인 $X$ 것일지라도 $Y$ $}은$ 정규적인 것이 $아니다$ . $Y$ 를 들어 $X$ $X$ 이 $X$ (가) 정규 공간이고 Y $Y$ 이 $Y$ (가) 비구체적 위상에서의 무한 집합인 경우).

$p\colon X\to Y$ . $p\colon X\to Y$ : $p\colon X\to Y$ → Y ${\displaystyle p\colon$ X $\to Y}$ 이(가) 완벽한 지도이고 $p\colon X\to Y$ $X$ ${\displaystyle$ X}이 $($ 가 $X$ ) 로컬로 압축된 경우 Y ${\displaystyle$ Y}이 $($ 가) 로컬로 압축된 $Y$ 경우

4. $p\colon X\to Y$ : $p\colon X\to Y$ → $p\colon X\to Y$ ${\displaystyle p\colon X\to$ Y $}$ 이(가) 완벽한 맵이고 $p\colon X\to Y$ , $X$ $X$ 이 $X$ (가) 두 번째 카운트할 수 있다면 $Y$ ${\displaystyle$ Y $}$ 은(가) 두 번째 카운트할 수 있다 $Y$ .

5. 모든 주입식 완벽한 지도는 동형상이다.이것은 비주사적인 폐쇄 지도가 연속적인 역수를 가지고 있다는 사실에서 따온 것이다.

6. $p\colon X\to Y$ : $p\colon X\to Y$ → $p\colon X\to Y$ ${\displaystyle p\colon$ X $\to Y}$ 이(가) 완벽한 지도이고 $p\colon X\to Y$ $Y$ $Y$ 이 $Y$ (가) 연결되어 있으면 $X$ ${\displaystyle$ X $}$ 을(를) 연결할 필요가 $X$ 없다.예를 들어, 콤팩트하게 단절된 공간에서 싱글톤 공간으로 이어지는 상수지도는 완벽한 지도다.

7. 완벽한 지도가 열려 있을 필요는 없다.Indeed, consider the map $p\colon [1,2]\cup [3,4]\to [1,3]$ given by $p(x)=x$ if $x\in [1,2]$ and $p(x)=x-1$ if $x\in [3,4]$ . This map is closed, 연속(붙여넣는 보조정리) 및 추연성. 따라서 완벽한 지도(다른 조건은 사소한 것으로 만족함)이다.단, p 아래의 [1, 2] 이미지가 [1, 3](p의 범위)에 비해 개방되지 않은 [1, 2]이기 때문에 p는 개방되지 않는다.이 지도는 지수 지도이며 지수 연산은 두 구간을 함께 '글링'하는 것이라는 점에 유의한다.