갈루아 모듈

Galois module

수학에서 갈루아 모듈은 G-모듈로, G는 어느 정도 분야를 확장한 갈루아 그룹이다. 갈루아 표현이라는 용어는 G-module이 필드 위에 있는 벡터 공간이나, 표현 이론에서 링 위에 있는 자유 모듈일 때 자주 사용되지만, G-module의 동의어로도 사용될 수 있다. 지역 또는 글로벌 분야의 확장을 위한 갈루아 모듈 연구와 그 그룹 코호몰로지 연구는 수 이론에서 중요한 도구다.

예

라미화 이론

K는 가치 있는 분야(평가가 v로 표시됨)가 되고 L/K는 갈루아 그룹 G와 함께 유한한 갈루아 연장이 되게 하라. v-L의 확장에 대해서는 관성 그룹을 표시한다w. 갈루아 모듈 ρ : G → Aut(V)는 ((Iw) = {1}일 경우 프로그래밍되지 않는다고 한다.

대수 정수의 갈루아 모듈 구조

고전 대수적 수 이론에서 L을 필드 K의 갈루아 확장자로 하고, G를 해당 갈루아 그룹이 되게 한다. 그러면 L의 대수 정수의 링 O는L OK[G]-module로 간주할 수 있고, 그 구조가 무엇인지 물어볼 수 있다. 이것은 산술적인 질문인데, 정상적인 기본 정리를 통해 L이 1등급의 자유로운 K[G]모듈임을 알 수 있다. 정수에 대해 동일한 것이 사실이라면, 이는 정상 적분 기준의 존재와 동등하며, 즉 G에L 따른 그것의 결합 원소가K O에 대한L O에 대한 자유로운 기준을 제공하는 것이다. 이것은 K가 합리적인 숫자 분야 Q일 때에도 (특히) 흥미로운 질문이다.

예를 들어, L = Q(√-3)인 경우, 일반적인 적분 기준이 있는가? 답은 '그렇다'는 것이다.

ζ = exp(2πi/3).

실제로 p에 대한 통일의 p-th 루트에 대한 사이클로토믹 장의 모든 하위 필드는 가우스 시대 이론(힐버트-스피저 정리)에서 추론할 수 있듯이 정상 적분 베이스(Z 이상)를 가지고 있다. 반면 가우스 분야는 그렇지 않다. 이것은 에미 노에더가 발견한 필수 조건의 예다. 여기서 중요한 것은 길들이기이다. L의 판별 D로 볼 때, 그리고 K = Q를 그대로 취하면, 그 어떤 prime p도 D를 p 검정력으로 나누면 안 된다. 그 후 노에더의 정리에서는 O가L Z[G]를 넘어 투영하는 모듈이 되기 위해서는 길들이기 라미화가 필요하고 충분하다고 말하고 있다. 그러므로 그것이 무료 모듈이 되는 것은 확실히 필요하다. 그것은 현재 큰 이론이 구축되어 있는 자유와 투영 사이의 괴리에 대한 문제를 남긴다.

데이비드 힐버트의 결과에 근거한 고전적인 결과는 길들여진 아벨 숫자 필드가 정상적인 적분 기초를 가지고 있다는 것이다. 이것은 크로네커-베버의 정리를 이용하여 아벨의 장을 사이클로토믹 장에 내장하는 것으로 볼 수 있다.[1]

수 이론에서의 갈루아 표현

수 이론에서 발생하는 많은 사물들은 자연적으로 갈루아 표현이다. 예를 들어 L이 숫자 필드 K의 갈루아 확장인 경우, L의 정수 O의L 링은 L/K의 갈루아 그룹에 대한 O에K 대한 갈루아 모듈이다(힐버트-스피저 정리 참조). K가 지역 분야라면 분리 가능한 폐쇄의 승법군은 K의 절대 갈루아 집단을 위한 모듈이며 그 연구는 지역 계급장 이론으로 이어진다. 글로벌 클래스 필드 이론의 경우, K의 모든 유한 분리 가능 확장의 아이디얼 클래스 그룹의 결합이 대신 사용된다.

보조 물체에서 생겨나 갈루아 집단을 연구하는 데 사용될 수 있는 갈루아 표현도 있다. 중요한 예시군은 아벨리아 품종의 ℓ-adic Tate 모듈이다.

아르틴 표현

추가 정보: Artin 지휘자 § Artin 표현과 Artin 캐릭터

K를 숫자 필드가 되게 하라. 에밀 아르틴은 현재 아르틴 표현이라고 불리는 K의K 절대 갈루아 그룹 G의 갈루아 표현 계급을 소개했다. 이것들은 복잡한 벡터 공간에서 G의K 연속적인 유한차원 선형 표현이다. 이러한 표현에 대한 아르틴의 연구는 그가 아르틴 상호주의 법칙을 공식화하고 아르틴 L-기능의 홀로모피에 관한 현재 아르틴 추측이라고 불리는 것을 추측하게 했다.

G의K 무궁무진한 위상과 복잡한 벡터 공간의 통상적인 (유클리드) 위상이 서로 맞지 않기 때문에 아르틴 표현 이미지는 항상 유한하다.

ℓ-addic 표현

ℓ을 프라임 넘버가 되게 하라. G의K ℓ-adic 표현은 연속군 동형상 ρ : G → AutK(M)이며 여기서 M은 Q에ℓ 걸친 유한차원 벡터 공간( (-adic number Q의ℓ 대수적 폐쇄) 또는 미세하게 생성된 Z-moduleℓ(여기서ℓ Z는 Q에서ℓ Z의ℓ 일체형 폐쇄)이다. 가장 먼저 발생한 예는 ℓ-adic cyclotomic 캐릭터와 K 위에 아벨리안 품종의 ℓ-adic Tate 모듈이었다. 다른 예는 모듈형 형태와 자동형 형태의 갈루아 표현과 대수형 변종의 ℓ-adic 코호몰로지 그룹에 대한 갈루아 표현에서 온다.

아르틴 표현과 달리 ℓ-adic 표현은 무한한 이미지를 가질 수 있다. 예를 들어 ℓ-adic 사이클로토믹 문자 아래 G의Q 이미지는 유한한 이미지의 ℓ-adic 표현을 흔히 아르틴 표현이라고 한다. C와 Q의ℓ 이형성을 통해 그들은 진정한 의미의 아르틴 표현으로 확인될 수 있다.

Mod ℓ 표현

추가 정보: 모듈러 표현 이론

이것들은 특징 characteristic의 유한한 분야에 걸친 표현이다. 그것들은 종종 ℓ-adic 표현에 대한 감소모드 ℓ로서 발생한다.

표현에 대한 현지 조건

대표성의 일부 속성에 의해 주어지는 표현에는 많은 조건이 있다. 일부 프라임의 분해 그룹에 제한된다. 이러한 조건의 용어는 작가마다 동일한 조건에 대해 서로 다른 이름을 발명하고 다른 의미를 가진 동일한 이름을 사용하는 등 다소 혼란스럽다. 이러한 조건 중 일부는 다음과 같다.

  • 아벨의 표현. 이것은 표현에서 갈루아 집단의 이미지가 아벨리안이라는 것을 의미한다.
  • 완전히 돌이킬 수 없는 표현. 이것들은 그 분야의 대수학적 폐쇄에 대해 설명할 수 없는 상태로 남아 있다.
  • 바르소티-테이트의 진술. 이것들은 유한한 평면 표현과 유사하다.
  • 결정체 표현.
  • 드 람 표현.
  • 유한 평면 표현. (이 이름은 유한하다기보다는 정말로 풍부하기 때문에 약간 오해의 소지가 있다.) 이것들은 유한한 평면 그룹 체계에 대한 갈루아 집단의 표현에 대한 투영적 한계로 구성될 수 있다.
  • 좋은 표현. 이러한 것들은 좋은 감소율을 가진 타원곡선의 표현과 관련이 있다.
  • 호지-테이트 표현.
  • 설명할 수 없는 표현. 이것들은 유일한 하위표현이 전체 공간 또는 0이라는 점에서 다시 설명할 수 없다.
  • 최소화된 표현.
  • 모듈식 표현. 이는 모듈형 형태에서 나온 표현이지만, 양성 특성 분야에 걸친 표현도 참조할 수 있다.
  • 평범한 표현. 이는 보통(비섭속) 감소가 있는 타원곡선의 표현과 관련이 있다. 보다 정확히 말하면 1차원 부표현으로 환원 가능한 2차원 표현으로, 관성군이 하위표현과 인수에 일정한 방식으로 작용한다. 정확한 조건은 저자에 따라 달라진다. 예를 들어, 그것은 시세에 따라 사소한 행동을 할 수도 있고 하위절의 문자 ε에 의해 행동할 수도 있다.
  • 잠재적으로 무언가가 표현될 수 있다. 이것은 유한지수의 개방된 부분군에 제한된 표현은 특정한 특성을 가지고 있다는 것을 의미한다.
  • 축소 가능한 표현. 이것들은 0이 아닌 적절한 하위 표현을 가지고 있다.
  • 반증 가능한 표현. 이것들은 반증 가능한 타원곡선에서 나온 표현과 관련된 2차원 표현이다.
  • 길들여진 표현들. 이것들은 첫 번째 라미네이션 그룹에서는 사소한 것이다.
  • 명료하지 않은 표현. 이것들은 관성군에서는 사소한 것이다.
  • 광적으로 격찬된 표현들. 이것들은 (첫 번째) 라미네이션 그룹에서는 비교가 안 된다.

Weil 그룹의 대표성

K가 지역적 또는 글로벌적 분야라면, 계급형성 이론은 K의 Weil 그룹K W, 연속적 집단 동형성 : : WK → GK, 위상학적 집단의 이형성 이론에 붙는다.

여기서 C는K K 또는× 이상 클래스 그룹 IK/K×(K가 로컬인지 글로벌인지에 따라 다름)이며 WABK는
K의 Weil 그룹의 아벨리안화다. φ을 통해 G의K 어떤 표현도 W의K 표현으로 간주할 수 있다. 그러나 W는K G보다K 엄밀히 말해 더 많은 표현을 할 수 있다. 예를 들어, r을K 통해 W의K 연속적인 복합 문자는 C의K 문자와 편향된다. 따라서 C의K 절대값 문자는 이미지가 무한하고 따라서 G의K 문자가 아닌 W의K 문자를 산출한다(모든 것이 유한한 이미지를 가지고 있기 때문에).

W의K ℓ-adic 표현은 G와K 동일한 방법으로 정의된다. 이러한 자연스럽게 기하학에서:그때의 φ을 통해 W의ℓ-adic 표현을 유도하는 X의 기하학적 섬유의 K을 넘어서면 X은 매끈매끈한 사영의 다양한 다음ℓ-adic cohomology은ℓ-adic 표현을 발생한다.residue 특성 p≠ ℓ의 만약 K는 국 소장 o.다면, 소위Weil–Deligne 표현 공부하기가 더 간단하다f WK.

Weil-Deligne 표현

K를 지역 분야가 되게 하라. E를 특징 0의 장으로 하자. W의K E(또는 단순히 K)에 대한 Weil-Deligne 표현은 다음과 같이 구성된 쌍(R, N)이다.

  • 연속군 동형상 r : W → AutKE(V), 여기서 V는 이산 위상이 장착된 E 위에 유한차원 벡터 공간이다.
  • nilpotent endomorphism N : V → V 모든 w에K 대해 r(w)Nr(w)=−1 N을 나타내는 V.[2]

이러한 표현은 K의 Weil-Deligne 그룹의 E에 대한 표현과 동일하다.

K의 잔류특성이 from과 다른 경우, Grotendieck의 ℓ-adic monodromy 정리는 W의K ℓ-adic 표현(Q이상ℓ)과 Weil-Deligne overKℓ Q(또는 동등하게 C 이상) 사이의 편차를 설정한다. 이들 후자는 r의 연속성이 오직 V의 이산 위상에 관한 것이라는 좋은 특징을 가지고 있어, 따라서 상황을 맛으로 더 대수적으로 만든다.

참고 항목

메모들

  1. ^ 프롤리히 1983, 페이지 8
  2. ^ 여기서 w는 q v(w)K가 부여한다.
     여기서 q는K K의 잔류장 크기이고 v(w)는 w가 W의K (산술) 프로베니우스의 -v(w)번째 힘과 동등하다.

참조

  • Kudla, Stephen S. (1994), "The local Langlands correspondence: the non-archimedean case", Motives, Part 2, Proc. Sympos. Pure Math., vol. 55, Providence, R.I.: Amer. Math. Soc., pp. 365–392, ISBN 978-0-8218-1635-6
  • Neukirch, Jürgen; Schmidt, Alexander; Wingberg, Kay (2000), Cohomology of Number Fields, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 323, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-66671-4, MR 1737196, Zbl 0948.11001
  • Tate, John (1979), "Number theoretic background", Automorphic forms, representations, and L-functions, Part 2, Proc. Sympos. Pure Math., vol. 33, Providence, R.I.: Amer. Math. Soc., pp. 3–26, ISBN 978-0-8218-1437-6

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