결합요소(장 이론)

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수학에서, 특히 장 이론에서, 자기장 확장 L/K에 대한 대수적 원소 α의 결합 요소 또는 대수적 결합은 K에 대한 α의 최소 다항 p_K,α(x)의 뿌리다.결합 원소는 이것이 모호하지 않은 맥락에서 흔히 결합체라고 불린다.일반적으로 α 자체는 α의 결합체 집합에 포함된다.

동등하게, α의 결합체는 K의 원소를 고정시키는 L의 자기장 자동화에 따른 α의 영상이다.두 정의의 등가성은 갈루아 이론의 출발점 중 하나이다.

복잡한 숫자의 R${\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$에 대한 대수적 결합은 숫자 자체와 그 복잡한 결합이기 때문에 개념은 복합 결합을 일반화한다.

예

숫자 1의 큐브 루트는 다음과 같다.

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{1}:{1}={\case}1\\[3pt]-{\frac{1}2}}+{\frac{\sqrt{3}}}{{5pt]-{1}-{\frac {\sqrt}{3}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

후자의 두 근은 최소한의 다항식을 가진 Q[i√3]의 결합원소다.

${\displaystyle \left(x+{\frac {1}{1}:{2}}\\오른쪽)^{2}+{\frac {3}{4}}=x^{2}+x+1.}$

특성.

만약 K가 대수적으로 닫힌 필드 C 안에 주어진다면, 접합자는 C 안에서 가져갈 수 있다.그러한 C가 지정되지 않은 경우, 비교적 작은 필드 L에서 결합체를 가져갈 수 있다.L에 대해 가능한 가장 작은 선택은 α를 포함한 p의_K,α K에 대한 분할장을 취하는 것이다. 만약 L이 α를 포함한 K의 정상적인 확장이라면, 정의상 이미 그러한 분할장을 포함하고 있다.

이때 K의 정상적인 연장 L을 주어 자동형성 그룹 Aut(L/K) = G를 포함하고 α를 포함하는 경우, 자동형성 g는 p의 뿌리를 p의 뿌리로 보내기 때문에 G에서 G에 대한 모든 원소 g(α)는 α의 결합이 될 것이다.반대로 α의 임의의 결합 β는 이러한 형태의 것이다. 즉, G는 결합체에 전이적으로 작용한다.이는 K(α)가 최소 다항식의 재확정성에 의해 K(β)에 대한 K-이항형이며, 다항식 p'를 F에 대한 p와 p'의 분할 영역의 이항형성으로 각각 확장될 수 있다.

요약하면, 자동(L/K)에서 g에 대한 g(α) 원소의 집합으로서 K(α)를 포함하는 K의 정상적인 확장 L에서 α의 결합 원소가 발견된다.각 원소의 해당 리스트에 있는 반복측정 횟수는 분리 가능한 정도[L:K(α)]_sep이다.

크로네커의 정리는 α와 복잡한 숫자의 모든 결합체가 최대 1에서 절대값을 갖는 비제로 대수 정수라면, α는 단결의 뿌리라고 명시한다.이것에는 대수적 정수가 단결의 뿌리임을 암시하는 결합의 가장 큰 절대값에 대해 보다 정밀하게 한계(도에 따라)를 명시하는 양적 형태가 있다.

참조

• 데이비드 S.더밋, 리차드 M.풋, 추상 대수학, 2004년 와일리 3번지

외부 링크

• Weisstein, Eric W. "Conjugate Elements". MathWorld.