로컬 컴팩트 그룹의 그룹 대수

수학의 기능 분석과 관련 영역에서, 그룹 대수학은 연산자 대수(또는 더 일반적으로 바나흐 대수)를 지역적으로 콤팩트한 그룹에 할당하기 위한 다양한 구성의 하나로서, 대수표현이 집단의 표현과 관련이 있다.이와 같이 별개의 그룹에 연결된 그룹 링과 유사하다.

콤팩트한 지지력을 갖는 연속함수의_c 대수 C(G)

G가 국소 소형 하우스도르프 그룹이라면 G는 본질적으로 고유한 좌상변량 계수 가능한 보렐 측정 μ를 하아 측정이라고 한다.Haar 측정을 사용하면 콤팩트한 지지로 G에 대한 복합 값 연속함수의 공간_c C(G)에 대한 콘볼루션 연산을 정의할 수 있다. C_c(G)는 다양한 규범 중 어느 것이라도 주어질 수 있고 완성은 그룹 대수학이 될 것이다.

콘볼루션 작동을 정의하려면, C_c(G)에서 f와 g를 두 함수로 한다.G의 t에 대해 정의

${\displaystyle [f*g](t)=\int _{G}f\left(s^{-1}t\right)\,d\mu(s)}$

$f{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ast }$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f*g}$이(가) 연속이라는$$ 사실은 지배적인 융합 정리에서 바로 나온다.또한

${\displaystyle \operatorname {Support}(f*g)\subseteq \operatorname {Support}(f)\cdot \operatorname {Support}(g)}$

G. C_c(G)의 제품을 나타내는 점의 자연적 비자발성도 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle f^{*}={\overline {f(s^{-1})}\,\Delta(s^{-1})$

여기서 Δ는 G의 모듈형 함수다.이 무의식중에, 그것은 *-알지브라다.

정리.일반적인 경우:

${\displaystyle \ f\ _{1}:=\int_{G}f \,d\mu,}$

C_c(G)는 대략적인 정체성을 가진 비자발적인 규범대수가 된다.

근사적인 아이덴티티는 콤팩트 세트로 구성된 아이덴티티를 기준으로 지수화할 수 있다.실제로 V가 그 정체성의 콤팩트한 동네라면, f는_V 다음과 같이 V에서 지원하는 비음성 연속함수가 되도록 하라.

${\displaystyle \int _{V}f_{V}(g)\,d\mu(g)=1.}$

그렇다면 {f_V}_V은(는) 대략적인 신분이다.그룹 대수학은 그룹의 위상이 별개의 위상일 경우에만 근사적인 정체성과는 반대로 정체성을 가진다.

이산 그룹의 경우 C_c(G)는 복합 그룹 링 C[G]와 동일하다는 점에 유의하십시오.

그룹 대수학의 중요성은 다음과 같이 G의 단일 대표이론을 포착한 것이다.

정리.G를 지역적으로 콤팩트한 그룹이 되게 하라.U가 Hilbert 공간 H에 G를 강하게 연속적으로 나타낸다면,

${\displaystyle \pi _{U}(f)=\int_{G}f(g)U(g)\,d\mu(g)}$

정규 대수 C_c(G)의 비-degenerate bound *-표현이다.지도

${\displaystyle U\mapsto \pi _{U}}$

G의 강력하고 연속적인 단일 표현 집합과_c 비감소 경계 *-표현 사이의 편향이다.이 편향은 단일성 균등성과 강한 억제를 존중한다.특히 π은_U u이 ir이 ir이 ir이면 ir이 ir가 ir가 ir가 ir가 ir가 ir가 ir가 is인가

Hilbert 공간 H에_π C_c(G)의 표현 π의 비감소성은 다음을 의미한다.

${\displaystyle \left\{\pi (f)\xi :f\in \operatorname {C} _{c}(G),\xi \in H_{\pi }\오른쪽\}}}}}}}}$

H가_π 밀집되어 있다.

콘볼루션 대수 L¹(G)

L¹(G) 규범에서 C_c(G)의 완성은 Har 측정에 대해 통합할 수 있는 기능 L¹(G)의 공간 L(G)에 이형성이라는 측정 이론의 표준 정리인데, 여기서 두 함수는 통상적으로 Har 측도 0 집합에서만 다른 경우에만 등가성으로 간주된다.

정리.L¹(G)은 위와 L¹ 규범으로 정의된 콘볼루션 제품과 비자발성을 가진 Banach *-알제브라다. L¹(G)도 경계 근사 정체성을 가지고 있다.

그룹 C*-알지브라 C*(G)

C[G]를 별개의 그룹 G의 그룹 링으로 한다.

국소 콤팩트 그룹 G의 경우, G의 C*-알제브라 C*(G) 그룹은¹ L(G)의 C*-개발 대수학으로 정의된다. 즉, 가장 큰 C*-규범에 대한_c C(G)의 완성:

${\displaystyle \ f\ _{C^{*}:=\sup _{\pi }\pi (f)\ ,}$

여기서 π은 Hilbert 공간의 C_c(G)의 모든 비-degeneration *-표현에 걸쳐 있다.G가 불연속적일 때, 그러한 π에 대해 다음과 같은 삼각 불평등에서 나타난다.

$\displaystyle \\pi(f)\ \leq \ f\ _{1},}$

따라서 규범은 잘 정의되어 있다.

C*(G)가 포함 지도를 통해 C[G]에서 일부 B(H)에 이르는 모든 *-호모형(일부 Hilbert 공간 H에 대한 경계 연산자의 C*-알지브라) 인자를 갖는다는 정의에서 다음과 같은 범용 특성을 갖는다.

${\displaystyle \mathbf {C} [G]\hookrightarrow C_{\max }^{*}(G).}$

감소된 그룹 C*-알지브라 C*(G_r)

감소된 그룹 C*-알제브라 C_r*(G)는 표준에 대한 C_c(G)의 완료다.

${\displaystyle \ f\ _{C_{r}^{*}:}:\supp \left\{\f*g\ _{2}\g\ _{2}=1\rig\}}$

어디에

${\displaystyle \ f\ _{2}={\sqrt {\int_{G} f ^{2}\,d\mu }}}}$

L² 표준이다.L² 표준에 관한 C_c(G)의 완성은 힐버트 공간이기 때문에, C_r* 표준은 f와 그에 따른 C* 표준으로 경련에 의해 L²(G)에 작용하는 경계 연산자의 표준이다.

동등하게 C_r*(G)는 ℓ²(G)의 왼쪽 정규 표현 영상에 의해 생성된 C*-algebra이다.

일반적으로_r C*(G)는 C*(G)의 지수다.감소된 그룹 C*-알지브라는 G가 수용 가능한 경우에만 위에서 정의한 축소되지 않은 그룹 C*-알지브라와 이형성이 있다.

그룹과 연관된 폰 노이만 알헤브라스

G의 그룹 폰 노이만 대수 W*(G)는 C*(G)의 포락 폰 노이만 대수다.

이산형 그룹 G의 경우 G가 정형외과적 기초가 되는 힐버트 공간² consider(G)을 고려할 수 있다.G는 기초 벡터를 허용함으로써 ℓ²(G)에서 동작하기 때문에 ((G²)에서 경계 연산자의 대수(subalgebra)로 복잡한 그룹 링 C[G]를 식별할 수 있다.이 아발지브라, NG의 약한 폐쇄는 폰 노이만 대수학이다.

NG의 중심은 결합 등급이 유한한 G의 원소로 설명할 수 있다.특히 G의 정체성 요소가 그 성질을 가진 유일한 그룹 요소인 경우(즉, G는 무한 결합성 등급 특성을 가지고 있다), NG의 중심은 정체성의 복잡한 배수로만 구성된다.

NG는 G가 계수 가능하고, 어메니티하며, 무한 결합 등급 속성을 가진 경우에만 하이퍼피니트 타입 II₁ 인자와 이형성이 있다.

참고 항목

• 그래프 대수
• 발생 대수
• 국소 콤팩트 집단의 헤케 대수
• 경로대수학
• 조로이드 대수
• 고정관념 대수학
• 고정관념군 대수학
• 호프 대수

메모들

참조

• Lang, S. (2002). Algebra. Graduate Texts in Mathematics. Springer. ISBN 978-1-4613-0041-0.
• Vinberg, E.B. (2003). A Course in Algebra. Graduate Studies in Mathematics. Vol. 56. doi:10.1090/gsm/056. ISBN 978-0-8218-3318-6.
• Dixmier, J. (2003). C*-algebras. North Holland. ISBN 978-0444557476.
• Kirillov, A.A. (1976). Elements of the theory of representations. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. Springer. ISBN 978-3-642-66243-0.
• Loomis, L.H. (2011). Introduction to Abstract Harmonic Analysis. Dover Books on Mathematics. Dover Publications. ISBN 978-0486481234.
• A.I. Shtern (2001) [1994], "Group algebra of a locally compact group", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press 이 글에는 크리에이티브 커먼스 귀속/공유 앨라이크 라이센스에 따라 라이센스가 부여된 PlanetMath의 그룹 $C^*$-algebra의 자료가 포함되어 있다.