유사그룹

Pseudogroup

수학에서, 유사 집단은 열린 공간의 집합들 사이의 차이점 형질들의 집합으로, 그룹과 같은 특성과 피와 같은 특성을 만족시킨다.추상 대수(예를 들어 퀘이시그룹 등)가 아닌 미분 방정식의 대칭성을 조사하는 것은 소푸스 리의[1] 기하학적 접근법에서 비롯되는 집단 개념의 일반화다.현대 유사 집단의 이론은 1900년대 초에 Elie Cartan에 의해 개발되었다.[2][3]

정의

유사 집단은 주어진 유클리드 공간의 오픈 세트 U에 정의된 일련의 동형체(존중, 차이점체) 또는 보다 일반적으로 고정 위상학적 공간(존중, 매끄러운 다지관)에 여러 조건을 부과한다.두 개의 동형성 h : U → V, g : V → W는 U에서 W로 동형성까지 구성하기 때문에, 가형성들은 구성과 반전 속에서 폐쇄될 것을 요구한다.단, 집단의 공리와는 달리, 유사 집단을 정의하는 공리는 순수하게 대수적인 것이 아니다. 추가 요건은 동형성을 제한하고 패치하는 가능성과 관련이 있다.

보다 정확히 말하면 위상학적 공간 S에 있는 유사 집단은 다음과 같은 특성을 만족하는 S의 열린 하위 집합들 사이의 동형성의 Ⅱ 집합이다.[4][5]

  1. γ의 요소 g의 영역은 S("커버")를 커버한다.
  2. γ의 요소 g를 그 도메인에 포함된 모든 오픈 세트에 대한 제한도 γ("제한")에 있다.
  3. γ의 두 요소 중 g ○ h를 정의하면 γ("구성")에 있다.
  4. g 원소의 역은 γ("역")이다.
  5. γ에서 거짓말을 하는 속성은 국부적이다. 즉, g : U → V가 S의 오픈 세트와 U의 오픈 세트 사이의 동형질성인 경우, 각 i에 대해 γ에서 U로i 거짓말을 하는 g가 제한되어 있는 오픈 세트 U로i 덮인 다음, g도 γ("로컬")에 놓여 있다.

그 결과 S의 어떤 열린 부분집합의 정체성 동형성은 γ에 있다.

마찬가지로, 부드러운 다지관 X에 있는 유사 집단은 유사성을 만족시키는 X의 열린 부분 집합 사이의 차이점 유형 집합 Ⅱ로 정의된다(우리가 동형체를 차이점 유형으로 대체하는 곳).[6]

X의 두 점은 원소가 같은 궤도에 있다고 한다.Γ한 사람을 다른 사람에게 보내다유사집단의 궤도는 X의 구획을 이루고 있으며, 유사집단은 궤도가 하나만 있으면 전이성이라고 불린다.

예

주어진 기하학적 구조를 보존하는 유사 집단에 의해 광범위한 종류의 예가 제시된다.예를 들어 (X, g)가 리만 다지관이라면 (X, Ω) 국부 등위관절의 유사 집단을 가지고 있고, (X, Ω)이 동일원형 다지관절의 유사 집단을 가지고 있다.이러한 유사 집단은 이러한 구조물의 국부 대칭 집합으로 간주되어야 한다.

대칭 및 기하학적 구조의 유사 그룹

추가 구조가 있는 다지관은 고정 로컬 모델의 대칭의 유사 집단을 사용하여 정의할 수 있다.더 정확히 말하면, 위상학적 공간 S의 γ-atlas는 좌표 변화(즉, 전이 지도)가 γ에 속하도록 S의 표준 지도책으로 구성된다.등가 등급의 ases-atlases를 S의 γ-구조라고도 한다.

특히 Ⅱ가 국지적으로 정의된 모든 R의n 차이점형성의 유사집합일 때, 매끄러운 지도책과 매끄러운 구조의 표준 개념을 회복한다.보다 일반적으로는 위상학적 공간 S의 γ 구조로 정의할 수 있다.

보다 일반적으로 모든 통합형 G-구조와 (G, X)-매니폴드는 적절한 유사그룹 γ을 위한 γ구조물의 특별한 경우다.

유사집단과 거짓말 이론

일반적으로 무한차원 거짓말 그룹의 가능한 이론으로 유사집단이 연구되었다.지역 리 그룹의 개념, 즉 유클리드 공간 E의 기원의 인접 지역에서 정의된 기능의 유사 집단은 실제로 리의 원래 개념인 다지관을 통한 현대적 정의보다 관련된 변환이 한정된 수의 매개변수에 의존하는 경우에 더 가깝다.카르탄의 업적 중 하나는 지역 리 그룹이 항상 글로벌 그룹을 낳는다는 점 등 관련 포인트를 현재의 의미(리히의 세 번째 정리, 그룹을 결정하는 리 알헤브라에 관한 리의 아날로그적 정리)에서 명확히 한 것이다.공식 집단은 여전히 무한히 Lie 집단의 사양에 대한 또 다른 접근법이다.그러나 국내 위상학 집단이 반드시 글로벌 상대 집단을 갖는 것은 아닌 것으로 알려져 있다.

E의 모든 차이점 유형의 유사 집단부터 시작하여 무한 차원 유사 집단의 예가 많다.관심사는 주로 차이점형성의 하위 pseudogroups에 있으며, 따라서 벡터장의 Lie 대수 아날로그를 갖는 물체에 있다.이러한 대상을 연구하기 위해 Lie와 Cartan이 제안한 방법은 컴퓨터 대수학의 진보를 감안할 때 더욱 실용적이 되었다.

1950년대에 카탄의 이론은 시잉센 체르누스에 의해 개혁되었고, 가성그룹에 대한 일반적인 변형 이론은 고다이라[7] 구니히코와 D. C. 스펜서에 의해 개발되었다.[8]1960년대에 동질대수는 과의결정의 기본적인 PDE 문제에 적용되었다; 그러나 이것은 이론의 대수학이 잠재적으로 매우 무겁다는 것을 밝혀냈다.같은 10년 동안 무한차원 거짓말 이론의 이론물리학에 대한 관심이 현재 대수학의 형태로 처음으로 나타났다.

직관적으로, Lie figogroup은 PDE 시스템으로부터 "원래"되는 유사 그룹이어야 한다.문학에는 비슷하지만 불평등한 개념들이 많이 있다;[9][10][11][12][13] "올바른" 개념은 어떤 응용 프로그램을 염두에 두고 있느냐에 달려 있다.그러나 이러한 모든 다양한 접근법은 γ의 (완료형 또는 무한차원) 제트기 다발을 포함하는데, γ은 리 그룹오이드(Lie groupoid)가 되어 달라는 요청을 받고 있다.특히 리필로그 그룹은 그것의 k-jet의 공간에서 "재구성"될 수 있다면 유한 순서 k라고 불린다.

참조

  1. ^ Sophus, Lie (1888–93). Theorie der Transformationsgruppen. B.G. Teubner. OCLC 6056947.{{cite book}}: CS1 maint: 날짜 형식(링크)
  2. ^ Cartan, Élie (1904). "Sur la structure des groupes infinis de transformations" (PDF). Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure. 21: 153–206. doi:10.24033/asens.538.
  3. ^ Cartan, Élie (1909). "Les groupes de transformations continus, infinis, simples" (PDF). Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure. 26: 93–161. doi:10.24033/asens.603.
  4. ^ Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1963). Foundations of Differential Geometry, Volume I. Wiley Classics Library. New York: John Wiley & Sons Inc. pp. 1–2. ISBN 0470496487.
  5. ^ Thurston, William P. (1997). Silvio Levy (ed.). Three-dimensional geometry and topology. Princeton Mathematical Series. Vol. 35. Princeton University Press. ISBN 0-691-08304-5. MR 1435975.
  6. ^ Loomis, Lynn; Sternberg, Shlomo (2014). "Differentiable manifolds". Advanced Calculus (Revised ed.). World Scientific. pp. 364–372. ISBN 978-981-4583-93-0. MR 3222280.
  7. ^ Kodaira, K. (1960). "On Deformations of Some Complex Pseudo-Group Structures". Annals of Mathematics. 71 (2): 224–302. doi:10.2307/1970083. ISSN 0003-486X. JSTOR 1970083.
  8. ^ Guillemin, Victor; Sternberg, Shlomo (1966). "Deformation theory of pseudogroup structures". Memoirs of the American Mathematical Society (64): 0. doi:10.1090/memo/0064. ISSN 0065-9266.
  9. ^ Kumpera, Antonio; Spencer, Donald Clayton (1973-01-01). Lie Equations, Vol. I. Princeton University Press. doi:10.1515/9781400881734. ISBN 978-1-4008-8173-4.
  10. ^ Singer, I. M.; Sternberg, Shlomo (1965). "The infinite groups of Lie and Cartan Part I, (The transitive groups)". Journal d'Analyse Mathématique. 15 (1): 1–114. doi:10.1007/bf02787690. ISSN 0021-7670. S2CID 123124081.
  11. ^ Claude., Albert (1984–1987). Pseudogroupes de Lie transitifs. Hermann. OCLC 715985799.
  12. ^ Kuranishi, Masatake (1959). "On the Local Theory of Continuous Infinite Pseudo Groups I". Nagoya Mathematical Journal. 15: 225–260. doi:10.1017/s0027763000006747. ISSN 0027-7630.
  13. ^ Olver, Peter J.; Pohjanpelto, Juha (2005). "Maurer–Cartan forms and the structure of Lie pseudo-groups". Selecta Mathematica. 11 (1): 99–126. doi:10.1007/s00029-005-0008-7. ISSN 1022-1824. S2CID 14712181.

외부 링크