특별특수그룹

추상 대수학의 한 분야인 그룹 이론에서, 특별한 그룹은 크기가 프라임인 유한한 분야에 걸쳐 하이젠베르크 집단의 유사점이다.각 prime p와 양의 정수 n에 대해 정확히 두 개의 (이형성까지) 특별한 순서 p가¹⁺²ⁿ 있다.특별한 집단은 종종 비자발성의 중앙집중자에서 발생한다.특출한 집단의 평범한 성격 이론은 잘 이해된다.

정의

유한집단이 그 질서가 prime p의 힘이라면 p-그룹이라고 불리는 것을 상기하라.

p-그룹 G는 그 중심 Z가 순서 p의 주기적이라면 엑스트라 스페셜이라고 하며, 지수 G/Z는 비교우위적인 초등 아벨리안 p-그룹이다.

특별한 순서 p 그룹은¹⁺²ⁿ 종종 기호 p로¹⁺²ⁿ 표시된다.예를 들어, 2는¹⁺²⁴ 순서 2의²⁵ 특별한 그룹을 의미한다.

분류

모든 특별한 p-그룹에는 어떤 양의 정수 n에 대한¹⁺²ⁿ p 순서가 있고, 반대로 그러한 각각의 숫자에 대해 정확히 두 개의 이형성까지 특별한 그룹이 있다.두 개의 특별한 p-그룹으로 구성된 중앙 제품은 특별하며, 모든 특별한 그룹은 특별 주문 p³ 그룹의 중심 제품으로 기록될 수 있다.이것은 특별한 그룹의 분류와 특별한 순서 p의³ 분류가 줄어든다.분류는 종종 p 홀수와 p = 2의 두 경우에서 다르게 표시되지만, 균일한 표시도 가능하다.

괴짜

순서 p에는³ 특별한 두 그룹이 있는데, p 홀드의 경우 다음이 주어진다.

• 필드 위에 있는 삼각형 3x3 행렬의 그룹과 p 요소가 있고 1이 대각선에 있다.이 그룹은 p 홀수(p = 2)에 대한 지수 p를 가지고 있다.
• 오더 p의 주기적 그룹에 의한 오더 p의² 주기적 그룹의 반간접적 생산물.이 그룹은 지수 p를² 가지고 있다.

n이 양의 정수인 경우 순서 p의¹⁺²ⁿ 특별한 두 그룹이 있는데, p 홀수는 다음과 같다.

• 순서 p의³ n extraspecial 그룹의 중심 산물, 모든 지수 p.이 특별한 그룹은 또한 지수 p를 가지고 있다.
• 순서 p의³ n extraspecial 그룹의 중심 산물, 적어도 지수 p의² 하나.이 특별한 그룹은 지수 p를² 가지고 있다.

순서 p의¹⁺²ⁿ 두 특별한 그룹은 한 그룹은 최대 p의 모든 순서의 요소를 가지고 있고 다른 그룹은 순서 p의² 요소를 가지고 있다는 사실 때문에 가장 쉽게 구별된다.

p = 2

순서 8 = 2의³ 특별한 두 그룹이 있는데, 이 그룹은 다음과 같다.

• 순서 8의 이면군 D는₈ p = 2에 대해 위 섹션의 두 구성 중 하나에 의해서도 주어질 수 있다(p 홀수의 경우 다른 그룹을 주지만 p = 2의 경우 동일한 그룹을 주기도 하다.이 그룹은 순서 4의 두 가지 요소를 가지고 있다.
• 순서 4의 6개 요소를 가진 순서 8의 쿼터니온 그룹 Q₈.

n이 양의 정수인 경우 순서 2의¹⁺²ⁿ 특별한 두 그룹이 있으며, 이 그룹은 다음과 같이 지정된다.

• 순서 8의 n extraspecial 그룹의 중심 제품이며, 이중 홀수 수는 쿼터니온 그룹이다.해당 2차 형태(아래 참조)에는 아르프 불변성 1이 있다.
• 순서 8의 n extraspecial 그룹의 중심 생산물이며, 짝수 수는 쿼터니온 그룹이다.해당 2차 형태(아래 참조)는 아르프 불변성 0을 갖는다.

순서 2의¹⁺²ⁿ 특별한 두 그룹 G는 다음과 같이 가장 쉽게 구별된다.Z가 중심이라면 G/Z는 2개의 원소를 가진 필드 위의 벡터 공간이다.그것은 2차 형태 q를 가지고 있는데, 여기서 q는 원소의 양력이 G의 순서 4를 가질 경우 1이고, 그렇지 않을 경우 0이다.그러면 이 이차 형태의 아르프 불변제를 사용하여 두 개의 특별한 그룹을 구별할 수 있다.동등하게 순서 4의 원소 수를 세면 그룹을 구분할 수 있다.

모두 p

특별 주문 p¹⁺²ⁿ 그룹의 균일한 프레젠테이션은 다음과 같이 제공될 수 있다.두 그룹을 정의하십시오.

• ${\displaystyle M(p)=\langle a,b,c:a^{p}=b^{p}=1,c^{p}=1,ba=a=ac=bc\angle }}$
• ${\displaystyle N(p)=\langle a,b,c:a^{p}=b^{p}=c^{p}=1,ba=a=ac=bc\angle }}$

M(p)과 N(p)은 c에 의해 생성된 순서 p의 중심과 함께 순서 p의³ 비이형적 특수 그룹이다.2개의 비이형성 특별 주문 p¹⁺²ⁿ 그룹은 M(p) 또는 M(p)의 n개 복사본과 N(p)의 1개 복사본의 중심 제품이다.이것은 (Newman 1960)에 제시된 주기적 중심과 단순한 파생적 하위집단을 가진 p-그룹 분류의 특별한 경우다.

특성 이론

G가 특별한 순서 p의¹⁺²ⁿ 그룹인 경우, 수정할 수 없는 복잡한 표현은 다음과 같이 제시된다.

• 차원 1의 수정 불가능한 표현이 정확히 있다²ⁿ.센터 Z는 사소한 행동을 하며, 표현은 아벨 그룹 G/Z의 표현에 해당할 뿐이다.
• 치수 p에는ⁿ 정확히 p - 1의 수정 불가능한 표현이 있다.중앙의 비견문자 χ에 대해 이것들 중 하나가 있는데, 중심은 χ에 의해 곱셈의 역할을 한다.문자 값은 Z의 pχ에ⁿ 의해 주어지며, Z에 없는 요소의 경우 0이다.
• 비아벨리안 p-그룹 G가 최소 수준의 p² - p 비선형 불가해한 문자를 가지고 있는 경우, 그것은 특별하다.

예

유한 단순 그룹에서 비자발성의 중앙집중기가 정상적인 특별한 하위그룹을 포함하는 것은 꽤 흔한 일이다.예를 들어, 몬스터 그룹에서 타입 2B의 비자발성의 중앙집중기는 구조 2를¹⁺²⁴ 가지고 있다.Co₁, 즉 순서 2의¹⁺²⁴ 정상적인 특수 부분군을 가지고 있고, 그 몫은 콘웨이 그룹 중 하나이다.

일반화

중심, 파생 부분군, 프라티니 부분군이 모두 같은 그룹을 특수 그룹이라고 한다.파생된 하위 그룹이 순서 p를 갖는 무한 특수 그룹을 특수 그룹이라고도 한다.헤아릴 수 없을 정도로 무한한 특별 집단의 분류는 유한한 경우(Newman 1960)와 매우 유사하지만, 더 큰 추기경들의 경우에도 집단의 기본 속성조차 집합론의 미묘한 문제에 의존하고 있는데, 그 중 일부는 (Shelah & Steprangns 1987) harv 에 노출되어 있다: 대상 없음: CITREFShelahSteprangs1987(도움).중심부가 주기적이고 파생된 하위그룹이 순서 p를 가지며 결합성 클래스가 최대 무한인 nilpotent 그룹은 (Newman 1960)에 분류된다.파생된 하위그룹이 순서 p를 갖는 유한집단은 (Blackburn 1999)에 분류된다.

참조

• Blackburn, Simon R. (1999), "Groups of prime power order with derived subgroup of prime order", Journal of Algebra, 219 (2): 625–657, doi:10.1006/jabr.1998.7909, ISSN 0021-8693, MR 1706841
• Gorenstein, D. (1980), Finite Groups, New York: Chelsea, ISBN 978-0-8284-0301-6, MR 0569209
• Newman, M. F. (1960), "On a class of nilpotent groups", Proceedings of the London Mathematical Society, Third Series, 10: 365–375, doi:10.1112/plms/s3-10.1.365, ISSN 0024-6115, MR 0120278
• Shelah, Saharon; Steprāns, Juris (1987), "Extraspecial p-groups", Annals of Pure and Applied Logic, 34 (1): 87–97, doi:10.1016/0168-0072(87)90041-8, ISSN 0168-0072, MR 0887554