차별화 스택

다른 스택은 대수 기하학에서 대수학 스택의 미분 기하학에서 아날로그를 의미한다.그것은 지도책을 인정하는 서로 다른 다지관 위에 쌓이거나 모리타 동등성까지의 Lie groupoid로 묘사될 수 있다.^[1][2]

차별화 가능한 스택은 차등 기하학에서는 자연스럽게 나타나지만 차별화 가능한 다지관은 아닌 특이점(즉, 오비폴드, 잎 공간, 인용구)이 있는 공간을 처리하는 데 특히 유용하다.예를 들어, 차별화할 수 있는 스택은 엽론, 포아송 기하학^[4],^[3] 꼬인 K 이론에 응용이 있다.^[5]

정의

범주형 정의(2-functor를 통해)

Recall that a prestack (of groupoids) on a category ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$, also known as a 2-presheaf, is a 2-functor ${\displaystyle X:{\mathcal {C}}^{\text{opp}}\to \mathrm {Grp} }$, where ${\displaystyle \mathrm {Grp} }$ is the 2-category of (set-theoretical) groupoids, their형태론, 그리고 그들 사이의 자연적 변화.스택은 추가 접착 특성을 만족하는 프리스트택이다(스택에 의해 만족되는 접착 속성과 유사하게).그러한 속성을 정확하게 기술하기 위해서는 현장의 (준비)스택을 정의해야 한다. 즉, 그로텐디크 위상(Grotendique topology)이 장착된 범주.

Any object ${\displaystyle M\in \mathrm {Obj} ({\mathcal {C}})}$ defines a stack ${\displaystyle {\underline {M}}:=\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(-,M)}$, which associated to another object ${\displaystyle N\in \mathrm {Obj} ({\mathcal {C}})}$ the groupoid ${\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(N,M)}$ of morphisms from ${\displaystyle N}$ to ${\displaystyle M}$. A stack ${\displaystyle X:{\mathcal {C}}^{\text{opp}}\to \mathrm {Grp} }$ is called geometric if there is an object ${\dis$$Playstyle M\in \mathrm {Obj}({\mathcal {C})$ 및$$ 스택 $M{\displaystyle \underset{}{}}$ ${\displaystyle \_}$→ X ${\displaystyle {\underline${\M$}\to X$ 스택 $X{\displaystyle }$ ${\displaysty X}$의 지도, 프리젠테이션 또는 커버를 호출하는 경우가 많다$.$

A differentiable stack is a stack on the category ${\displaystyle {\mathcal {C}}=\mathrm {Mfd} }$ of differentiable manifolds (viewed as a site with the usual open covering topology), i.e. a 2-functor ${\displaystyle X:\mathrm {Mfd} ^{\text{opp}}\to \mathrm {Grp} }$, which is also geometric,즉, 위에서 설명한 바와 같이$$ 지도책 $M{\displaystyle \underset{}{}}$ ${\displaystyle \underset{}{\_}}$→ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\underline{M}\to X}$를 허용한다.

서로 다른 다지관의 범주를 부속 체계 범주로 대체하면 대수적 스택의 표준 개념을 얻는다.마찬가지로 $M{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathrm{f}}$ ${\displaystyle \mathrm{d}}$ ${\$를) 위상학적 공간의 범주로$$ 대체하면 위상학적 스택의 정의를 얻는다.

기하학적 정의(Morita 동등성을 통한)

Lie groupoid는 두 개의 서로 다른 다지관 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$ 및 M$$ ${\displaystyle M}$과$($$와{\displaystyle }$) 두 개의 돌출형 $하위조{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle t}$: ${\displaystyle G}$→ M ${\displaystyle s,t$로 구성되어 있음을 상기하십시오$.$${\displaystyle G}$$\to M}$및 부분 곱셈 맵 $m{\displaystyle }$ :${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle G_{}}$→ G ${\displaystyle m:$$G\time _{M}G\to G},$단위 지도${\displaystyle u}$ : M${\displaystyle }$→ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle u:$$M\to G}$및 역지도 $i{\displaystyle }$: ${\displaystyle G}$→ G ${\displaystyle i:$$G\to$ G$},$ 그룹과 같은 호환성을 만족한다$.$

Two Lie groupoids ${\displaystyle G\rightrightarrows M}$ and ${\displaystyle H\rightrightarrows N}$ are Morita equivalent if there is a principal bi-bundle ${\displaystyle P}$ between them, i.e. a principal right ${\displaystyle H}$-bundle ${\displaystyle P\to M}$, a principal left ${\displ$$aystyle G}$ ${\displaystyle \mathrm{-bundle<img\; alt="G"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b"\; style="vertical-align:\; -0.338ex;\; width:1.827ex;\; height:2.176ex;"\; papago-attr-id="132">}}$ $P{\displaystyle }$→ N ${\displaystyle P\$$to$ N$}$에 대한 두 동작이 통근되도록$$ 한다$.$모리타 동등성은 Lie groupoids 사이의 동등성 관계로서, 이소모르피즘보다 약하지만 많은 기하학적 성질을 보존할 만큼 충분히 강하다.

다른 스택은 Lie groupoid의 Morita 동등성 등급이다.

두 정의 간의 동등성

Every Lie groupoid ${\displaystyle G\rightrightarrows M}$ gives rise to the differentiable stack ${\displaystyle BG:\mathrm {Mfd} ^{\text{opp}}\to \mathrm {Grp} }$, which sends any manifold ${\displaystyle N}$ to the category of ${\displaystyle G}$-torsors on ${\displaystyle N$$}}($$예{\displaystyle }$: G ${\displaystyle G}$ -principal$$ 번들).$G{\displaystyle }$ ${\displaystyle \rightrightarrows }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle G\rightarrow M}$의 Morita 클래스에 있는 다른 Lie groupoid는 이형성 스택을 유도한다$$.

반대로 모든 다른 스택 $X{\displaystyle }$: ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ f ${\displaystyle {\mathrm{d}}^{}}$ ${\displaystyle {\text{opp}}^{}}$→ G ${\displaystyle \mathrm{r}}$ p ${\$ {$Mfd}^{\text{opp}}\to \mathrm {Grp}}}$은(는) $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaysty BG$ 즉, Lie groupoid로 나타낼 수 있다.More precisely, if ${\displaystyle {\underline {M}}\to X}$ is an atlas of the stack ${\displaystyle X}$, then one defines the Lie groupoid ${\displaystyle G_{X}:=M\times _{X}M\rightrightarrows M}$ and checks that ${\displaystyle BG_{X}}$ is isomorphic to ${\displayst$$yle X}$.

Dorette Frontk에 의한 정리는 첫 번째 정의에 따라 상이한 스택들 사이의 2종류의 등가성과 Morita 등가성까지의 Lie groupoids를 명시한다.^[6]

미분공간

서로 다른 공간은 사소한 안정기가 있는 서로 다른 스택이다.예를 들어, 리 그룹이 다지관에서 자유롭지만 반드시 적절하게 행동하지는 않는다면, 리 그룹에 의한 몫은 일반적으로 다지관이 아니라 다른 공간이다.

그로텐디크 위상 포함

다른 스택 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$에는 특정한 방식으로 Grotendieck 위상이 장착될 수 있다$$(참조 참조).This gives the notion of a sheaf over ${\displaystyle X}$. For example, the sheaf ${\displaystyle \Omega _{X}^{p}}$ of differential ${\displaystyle p}$-forms over ${\displaystyle X}$ is given by, for any ${\displaystyle x}$ in ${\displaystyle X}$ over a manifold ${\displaystyle U}$,letting ${\displaystyle \Omega _{X}^{p}(x)}$ be the space of ${\displaystyle p}$-forms on ${\displaystyle U}$. The sheaf ${\displaystyle \Omega _{X}^{0}}$ is called the structure sheaf on ${\displaystyle X}$ and is denoted by ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$. $$${\displaystyle {\mathrm{\Omega }}_{}^{}}$ $∗{\$은(는) 외부 파생상품과 함께$$ 제공되므로 X {\$displaystyle$ X$}$에 대한 벡터 공간 덩어리: 즉$,$ $X{\displaystyle }$ ${\displaysty$ X$}$의 de Rham 코호몰로지 개념을 가지고 있다$.$

게르베

상이한 스택 $G{\displaystyle }$→ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G\to$ X$}$ 사이의 경동형도${\displaystyle G}$ → G${\displaystyle {}_{}}$× X ${\displaystyle {}_{}}${\$displaystyle$ G$\to$G\$time$ _${X}G}$도 경동형이라면 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyty X}$를 넘는 경동형이라고 한다$$.예를 들어 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$이(가) 스택인$$ 경우 $B{\displaystyle }$ S ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle X}$→ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle BS^{1}\time$ X$\to$ X$}$은 게르베가 된다$$.A theorem of Giraud says that ${\displaystyle H^{2}(X,S^{1})}$ corresponds one-to-one to the set of gerbes over ${\displaystyle X}$ that are locally isomorphic to ${\displaystyle BS^{1}\times X\to X}$ and that come with trivializations of their bands.^[7]

참조

• Kai Behrend, Ping Su, Differentable Stacks and Gerbes, 2008년
• Eugene Lerman, Anton Malkin, 스택 및 사전 수량화(prequantization), 2008년
• Gregory Ginot, Differentable Stacks(및 Gerbes, moduli 공간 …), 2013년
• Jochen Heinlots: 다양한 스택에 대한 몇 가지 노트, Mathalisches Institute Semina, Universitette Götingen, 2004-05, 페이지 1-32.

외부 링크

• http://ncatlab.org/nlab/show/differentiable+stack