슈바르츠실트 좌표

로렌츠 다지관 이론에서, 세속적으로 대칭적인 스페이스타임이 내포된 둥근 구체의 집단을 인정한다. 그러한 틈새 시간에서 특히 중요한 종류의 좌표 차트는 이러한 중첩된 원형 구에 적응하는 정적 및 수직 대칭의 극구형 좌표 차트의 일종인 슈바르츠실트 차트다. 슈바르츠실트 차트의 정의적 특성은 방사형 좌표가 각 구의 표면적과 가우스 곡률 면에서 자연적인 기하학적 해석을 가지고 있다는 것이다. 그러나 방사상의 거리와 각도는 정확하게 표현되지 않는다.

이 차트는 일반 상대성 이론과 같은 중력의 미터법 이론에 많은 응용이 있다. 그것들은 주로 정적으로 대칭적인 공간 시간에 사용된다. 일반 상대성 이론의 경우, 비르코프의 정리는 아인슈타인 장 방정식의 모든 고립된 sphereric symmetric vacuum 또는 전기진공 용액은 정적인 것이라고 기술하고 있지만, 이것은 완벽한 유체에 대해서는 확실히 사실이 아니다. 극명하게 대칭되는 블랙홀의 사건 지평선 안에서의 슈바르츠실트 진공 용액의 외부 영역 확장은 수평선 안에서는 정적이 아니며, (공간적) 내포된 구체의 집단은 수평선 안에서는 확장할 수 없으므로, 이 솔루션에 대한 슈바르츠실트 차트는 반드시 수평선에서 분해된다.

정의

메트릭 텐서 $g$ $g$ 을(를) 지정하는 것은 $g$ 로렌츠 다지관의 정의의 일부다. 이 텐서를 정의하는 가장 간단한 방법은 호환 가능한 로컬 좌표 차트에서 텐서를 정의하고 차트의 도메인의 중복에 동일한 텐서가 정의되어 있는지 확인하는 것이다. 이 기사에서는 단일 차트의 도메인에서 미터법 텐서만 정의하려고 한다.

슈바르츠실트 차트(정적인 spacetime)에서 선 요소는 형태를 취한다.

g=-a(r)^{2}\,dt^{2}+b(r)^{2}\,dr^{2}+r^{2}\left(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}\right)=-a(r)^{2}\,dt^{2}+b(r)^{2}\,dr^{2}+r^{2}g_{\Omega }

[\\displaystyle -\\\,r_{0}<r<r_{1},\,0<\theta <\pi ,\,\,-\pi <\pi <\pi }}]

여기서 $\Omega =(\theta ,\phi )$ = ( $\Omega =(\theta ,\phi )$ , $\Omega =(\theta ,\phi )$ ) $\Oomega =(\theta ,\phi )$ 은 $\Omega =(\theta ,\phi )$ 표준 구형 좌표고 $g_{\Omega }$ ${\$ 은 2-sphere 유닛의 표준 미터법이다 $g_{\Omega }$ . 이 표현식의 자세한 파생에 대한 자세한 내용은 슈바르츠실트 솔루션 도출하기를 참조하십시오.

문맥에 따라 a와 b를 방사형 좌표의 결정되지 않은 함수로 보는 것이 적절할 수 있다(예를 들어 아인슈타인 장 방정식의 정확한 정적인 spherric symmetric 솔루션을 도출하는 경우). 또는 특정 기능(일부 파라미터에 따라 달라짐)을 꽂아 특정 로렌츠 스페이스타임에 슈바르츠실트 좌표 차트를 얻을 수 있다.

이것이 결과 모델이 아인슈타인 필드 방정식(예를 들어, 적절한 에너지 조건 및 합리적인 완벽한 유체가 예상되는 기타 특성에 따르는 정적으로 대칭적인 완벽한 유체의 경우)을 만족시키는 응력 에너지 텐서(stress-energy tensor)를 인정하는 것으로 판명될 경우, 매트와 같은 물리적 양을 나타내는 적절한 텐서(tensor) 필드를 사용한다.에르와 운동량 밀도는 아인슈타인 필드 방정식의 국부적 해법으로 간주될 수 있는, 아마도 더 큰 스팩타임을 가지고 있다.

킬링 벡터 필드

슈바르츠실트 차트와 관련하여 킬링 벡터 필드의 Lie 대수학은 타임라이크 비회전 킬링 벡터 필드에서 생성된다.

\cHB_{t}

^{[주 1]}

세 개의 공간 같은 킬링 벡터 필드와

\partial _{\phi }

\displaystyle \sin \phi \,\phi \, \phi \{\phi \}}{\phi \}}}

\displaystyle \cos \phi \,\phi \phi \, \phi \}{\phi \}}}

여기서 ${\vec {X}}=\partial _{t}$ → = ${\vec {X}}=\partial _{t}$ ${\vec {X}}=\partial _{t}$ ${\$ 이 $\vec{X} = \partial_t$ (가) 비회전적이라는 것은 해당 시간적 조응의 vorticity tensor가 소멸됨을 의미하므로 이 킬링 벡터 필드는 초경직직이다. 우리의 스페이스타임이 비회전적 타임라이크 킬링 벡터 필드를 인정하는 것은 사실 정적 스페이스타임을 정의하는 특성이다. 한 가지 즉각적인 결과는 일정한 시간 좌표 표면 $t=t_{0}$ = $t=t_{0}$ $t=t_{0}$ ${\$ 이(가) (등축) 공간 과급자 패밀리를 형성한다는 $t=t_{0}$ 것이다. (예를 들어, 타이머 좌표 벡터가 초경직면이 아닌 커 진공 외부 영역에 대한 보이어-린스키스트 차트에서는 그렇지 않다.)

마지막 두 필드는 좌표 변환 $\phi \mapsto \phi +\pi /2$ $\phi \mapsto \phi +\pi /2$ + + $\phi \mapsto \phi +\pi /2$ / 2 $\phi \mapsto \phi +\pi /2$ {\ $displaystyle \mapsto$ \ $mapsto \phi$ +\ $pi$ /2 $}$ 에서 다른 필드의 회전이며 $\phi \mapsto \phi +\pi /2$ 킬링 벡터 필드에 관한 기사는 공간과 유사한 세 가지 필드의 상세한 파생 및 토론을 제공한다.

정적인 중첩된 구체의 가족

슈바르츠실트 도표에서 $t=t_{0},\,r=r_{0}$ t = $t=t_{0},\,r=r_{0}$ 0 $t=t_{0},\,r=r_{0}$ = r = $t=t_{0},\,r=r_{0}$ 0 $t=t_{0},\,r=r_{0}$ {\ $displaystyle$ t $=t_{0},\,r=r_{0}}$ 은 원형 구(polar 구형 패션으로 loci를 플롯할 때)로 $t=t_{0},\,r=r_{0}$ 나타나며, 그 형태에서 이러한 표면 중 어느 하나에 제한되는 슈바르츠실트 메트릭은 양성이 확실하며, 에 의해 주어지는 것을 알 수 있다.

g _{t=t_{0},r=r_{0}}=r_{0}^{2}g_{\Omega }=r_{0}^{2}\left(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}\right),\;0<\theta <\pi ,\;-\pi <\phi <\pi

여기서 $g_{\Omega }$ $g_{\Omega }$ ${\$ 은 $g_{\Omega }$ (는) 단위 반지름 2-sphere의 표준 리만 메트릭이다. 즉, 이 중첩된 좌표구는 사실 다음과 같은 기하학적 구를 나타낸다.

표면 면적 $A=4\pi r_{0}^{2}$
가우스 곡률 $K=1/r_{0}^{2}$

특히 기하학적 원형구들이다. 더욱이 각도 좌표 $\Omega =(\theta ,\phi )$ = ( $\Omega =(\theta ,\phi )$ , $\Omega =(\theta ,\phi )$ ) $\Oomega =(\theta ,\phi )$ 은 정확히 일반적인 극구형 각도 좌표인데 $\Omega =(\theta ,\phi )$ , $\theta$ $\theta$ 은 $\theta$ 때때로 colativity라고 $\phi$ , { $\phi$ {\ $displaysty \pi$ }은 보통 경도라고 부른다 $\phi$ . 이것은 본질적으로 슈바르츠실트 차트의 기하학적 특징을 정의하는 것이다.

우리의 로렌츠 다지관의 추상 벡터 장으로 간주되는 위에 주어진 4개의 킬링 필드는 정적 spherric spacetime의 양쪽 대칭에 대한 가장 진실된 표현을 제공하는 반면, 그들이 우리 차트에서 취하는 특정한 삼각형 형태는 슈바르츠라는 용어의 의미에 대한 가장 진실된 표현이다.아동 도표 특히 3개의 공간 킬링 벡터 필드는 E에³ 있는 세 개의 비투과적 킬링 벡터 필드와 정확히 같은 형태를 가지고 있다. 즉, 그들은 기원이나 구형 대칭에 대한 임의 유클리드 회전의 개념을 보여준다.

단, 잘 참고: 일반적으로 슈바르츠실트 방사 좌표는 방사상 거리, 즉 $\partial _{r}$ nested $\partial _{r}$ ${\$ 의 일체형 곡선으로 발생하는 공간적 지오데틱 결합을 따라 취한 거리를 정확하게 나타내지 않는다 $\partial _{r}$ 오히려, 우리 중첩된 두 개의 스페어 사이에서 '공간 거리'라는 적절한 개념을 발견하기 위해서입니다.es, 원점에서 $b(r)dr$ 좌표선을 $b(r)dr$ b $b(r)dr$ ( $b(r)dr$ ) d r {\ $displaystyle$ b(r $b(r)dr$ )dr}을(를) 통합해야 한다.

\Delta \rho =\int_{r_{1}^{r_{2}}b(r)dr

마찬가지로, 우리는 각 구를 이상화된 관찰자들의 구면 구름의 중심지로 간주할 수 있는데, 그들은 (일반적으로) 위치를 유지하기 위해 방사상으로 가속하기 위해 로켓 엔진을 사용해야 한다. 이들은 정적 관찰자들로, $r=r_{0},\theta =\theta _{0},\phi =\phi _{0}$ = r $r=r_{0},\theta =\theta _{0},\phi =\phi _{0}$ $r=r_{0},\theta =\theta _{0},\phi =\phi _{0}$ = $r=r_{0},\theta =\theta _{0},\phi =\phi _{0}$ 0 $r=r_{0},\theta =\theta _{0},\phi =\phi _{0}$ $r=r_{0},\theta =\theta _{0},\phi =\phi _{0}$ = ϕ = ϕ $r=r_{0},\theta =\theta _{0},\phi =\phi _{0}$ , $r=r_{0},\theta =\theta _{0},\phi =\phi _{0}$ = ϕ 0 ${\$ = $_{0},\phi =\phi _{0$ 물론 슈바르츠실트 차트에 수직 좌표선의 형태를 띠고 있다.

이러한 관찰자 중 한 명의 월드 라인에 있는 두 사건 사이의 적절한 시간 간격을 계산하려면 적절한 좌표선을 따라 $a(r)dt$ $a(r)dt$ ( $a(r)dt$ ) d $a(r)dt$ $a(r)dt$ 을(를) 통합해야 한다.

\Delta \tau =\int _{t_{1}^{{1}:{t_{2}}a(r)dt

좌표 특이점

Looking back at the coordinate ranges above, note that the coordinate singularity at $t=t_{0},\,r=r_{0},\,\theta =0$ marks the location of the North pole of one of our static nested spheres, while $t=t_{0},\,r=r_{0},\,\theta =\pi$ ma남극의 위치를 파악하다 E의³ 일반적인 극구형 차트와 마찬가지로 위상학적 이유로 우리는 전체 구체에서 연속 좌표를 얻을 수 없다; 우리는 1차 $\phi =0$ circle = 0 $[\displaystyle \phi =0}$ 의 역할을 할 약간의 경도(대원)를 선택하고 이것을 $\phi =0$ 차트에서 잘라내야 한다. 그 결과, 각 공간 $t=t_{0}$ t $t=t_{0}$ = t $t=t_{0}$ ${\$ 에서 축 $r=0$ = 0 $r=0$ 과 $r=0$ 축에서 확장되는 반평면을 포함하여 $t=t_{0}$ 닫힌 반평면을 잘라낸다.

$\partial _{\phi }$ 에서 $\partial _{\phi }$ ${\$ 이 킬링 벡터 필드라고 $\partial _{\phi }$ 말했을 때, 우리는 $\phi$ $\pi$ 을 순환 좌표로 생각하고 $\phi$ 있는 현학적이면서도 중요한 한정자를 생략하고, 실로 우리의 세 공간 같은 킬링 벡터를 둥근 구에 작용한다고 생각했다.

물론 r $r_{1}>0$ > $r_{1}>0$ ${\displaystyle r_{1$ }> $0}$ 또는 $r_{1}>0$ $r_{2}<\infty$ $r_{2}<\infty$ < $r_{2}<\infty$ $r_{2}<\fty$ 이 경우 우리는 차트의 영역으로부터 일부 공 바깥이나 일부 공 안쪽의 영역도 제거해야 한다. 이는 슈바르츠실트 방사 좌표 r의 어떤 값에서 f 또는 g가 폭파될 때마다 발생한다.

정적 하이퍼링크 시각화

슈바르츠실트 방사형 좌표의 중요성을 더 잘 이해하기 위해, 평평한 유클리드 공간에 공간 과민성 t $t=t_{0}$ = $t=t_{0}$ $t=t_{0}$ ${\$ 물론 그것들은 모두 서로 등축이다) 중 하나를 삽입하는 데 도움이 될 수 있다. 4차원 유클리드 공간을 시각화하는 것이 어렵다고 생각하는 사람들은 구형의 대칭을 이용하여 하나의 좌표를 억제할 수 있다는 것을 관찰하면 기뻐할 것이다. $t=0,\theta =\pi /2$ 은 t $t=0,\theta =\pi /2$ = $t=0,\theta =\pi /2$ $t=0,\theta =\pi /2$ = $t=0,\theta =\pi /2$ / 2 $t=0,\theta =\pi /2$ (\ $displaystyle t=0,\theta =\pi /2})$ 를 설정하면 편리하다 $t=0,\theta =\pi /2$ 이제 우리는 국부 방사형 좌표도를 가진 2차원 리만 다지관을 갖게 되었다.

g _{t=0,\theta =\pi /2}b(r)^{2}+r^{2}+r^{2}d\pi ^{2},\;r_{1}<r_{2},\,\\pi <\pi }

E에³ 이 표면(또는 환형 링에)을 삽입하기 위해, 우리는 E에³ 있는 프레임 필드를 채택한다.

매개 변수화된 표면에서 정의되며, 포함 공간으로부터 원하는 메트릭을 상속한다.
방사형 차트에 맞춰져 있고
결정되지 않은 함수 $f(r)$ ( $f(r)$ ) $f(r)$ 을(를) 특징으로 한다 $f(r)$

매개 변수화된 표면을 고려하십시오.

(z,r,\phi )\오른쪽 화살표(f(r)\r\cos \pi ,\r\sin \phi )

이 표면의 좌표 벡터 필드는

\phys \r}=(f^{\premy }(r),\\cos \phi ,\\sin \phi )\\;\\\\phi }=(0,-r\sin \phi,r\cos \pi )

E의³ 유클리드 측정기준을 매개 변수화된 표면으로 제한할 때 상속되는 유도 측정기준은

d\rho ^{2}=\좌측(1+f^{\pym }(r)^{2}\,dr^{2}+r^{2}\,d\pi ^{1},<r<r_{2},\pi <\pi }}

이를 하이퍼라이스의 메트릭으로 식별하려면 다음과 같은 방법으로 $f(r)$ $f(r)$ $f(r)$ ) $f(r)$ 을(를) 선택해야 한다.

{\displaystyle f^{\premy }(r)={\sqrt{1-b(r)^{2}}:

다소 어리석은 예를 들자면 $b(r)=f(r)=\sin(r)$ ( $b(r)=f(r)=\sin(r)$ ) $b(r)=f(r)=\sin(r)$ = $b(r)=f(r)=\sin(r)$ ( r $b(r)=f(r)=\sin(r)$ ) $b(r)=f(r)=\sin(r)$ = $b(r)=f(r)=\sin(r)$ $b(r)=f(r)=\sin(r)$ ( $b(r)=f(r)=\sin(r)$ ) $b(r)=f(r)=\sin(r)$ 이 있다 $b(r)=f(r)=\sin(r)$

이것은 반지름으로 분리된 두 지점 사이의 실제 거리가 반지름 좌표 사이의 차이보다 더 큰 표면에 적용된다. 실제 거리가 더 작다면 대신 E에^1,2 리만 다지관을 우주와 같은 표면으로 박아 넣어야 한다. 예를 들어 $b(r)=f(r)=\sinh(r)$ ( $b(r)=f(r)=\sinh(r)$ ) $b(r)=f(r)=\sinh(r)$ = $b(r)=f(r)=\sinh(r)$ ( $b(r)=f(r)=\sinh(r)$ ) $b(r)=f(r)=\sinh(r)$ = $b(r)=f(r)=\sinh(r)$ ⁡ $b(r)=f(r)=\sinh(r)$ ( r ) ${\displaystyle b(r)=f(r)=\sinh(r$ 때로는 고리 모양의 국소 내장(양 또는 음의 가우스 곡률 지역)이 두 개 이상 필요할 수 있다. 일반적으로, 우리는 어떤 하나의 평평한 공간에 세계적인 임베딩을 기대해서는 안 된다(소멸하는 리만 텐서 포함).

요점은 방사형 좌표의 기하학적 해석 측면에서 슈바르츠실트 차트의 정의적 특성은 우리가 공간적 과밀성의 이러한 종류의 shererrically symmetric emblices를 (원칙적으로) 수행하는데 필요한 것에 불과하다는 것이다.

미터법 안사츠

위에 주어진 선 요소는 슈바르츠실트 방사 좌표 r의 결정되지 않은 함수로 간주되며 일반 상대성 이론(또는 다른 중력 측정 이론)에서 정적인 spherically 대칭 해결책을 도출하는 데 종종 미터법 ansatz로 사용된다.

그림으로서, 우리는 카르탄의 외부 미적분법을 사용하여 연결과 곡률을 계산하는 방법을 나타낼 것이다. 먼저, 선 요소를 코프레임 필드로 읽었고

\sigma ^{0}=-a(r)\,dt

\sigma ^{1}=b(r)\,dr

\sigma ^{2}=rd\theta \,

\phma ^{3}=r\sin \theta \,d\phi

$a\,b$ 서 b ${\displaystyle$ a $\,b}$ 은 $a\,b$ (는) $r$ $r$ 의 아직 결정되지 않은 부드러운 함수들이다 $r$ (우리 스페이스타임이 이러한 특정한 삼각형 형식을 갖는 프레임을 인정하는 사실은 정적이고 세속적으로 대칭적인 로렌츠 다지관의 슈바르츠실트 차트의 개념에 대한 또 다른 동등한 표현이다.)

둘째, 우리는 이러한 단일 형태의 외부 파생상품을 계산한다.

d\bma ^{0}=-a'(r)\,dr\frac {a'(r)}}{b(r)}\,dt\nowled \bma ^{1}

d\\ma ^{1}=0\,

d\d\thema ^{2}=dr\dr\dr\d\theta

d\sigma ^{3}=\sin \theta \,dr\wedge d\phi +r\,\cos \theta \,d\theta \wedge d\phi =-\left({\frac {\sin \theta \,d\phi }{b(r)}}\wedge \sigma ^{1}+\cos \theta \,d\phi \wedge \sigma ^{2}\right)

Cartan의 첫 번째 구조 방정식(또는 그 통합성 조건)과 비교

d\jamma ^{\m}=-{\omega ^{\m}_{\m}_{\hat{n}\n1},\cHot \ma ^{\n}}}

우리는 하나의 연결 형태에 대한 표현들을 추측한다. (모자는 단지 우리에게 지표가 좌표 $dt,\,dr,\,d\theta ,d\phi$ $dt,\,dr,\,d\theta ,d\phi$ d $dt,\,dr,\,d\theta ,d\phi$ $dt,\,dr,\,d\theta ,d\phi$ , $dt,\,dr,\,d\theta ,d\phi$ d $dt,\,dr,\,d\theta ,d\phi$ , d ${,$ $dr.d.d.$ t, d.d.t.d. $d.$ d. $pi$ }가 아니라 우리의 cobasis 단-형식을 의미한다는 것을 상기시켜주는 공칭 장치일 뿐이다.) $dt,\,dr,\,d\theta ,d\phi$

${\omega ^{\hat {m}}}_{\hat {n}}$ ${\omega ^{\hat {m}}}_{\hat {n}}$ n^{\ $displaystyle {\omega$ ^{\ $m}_{\hat{\n}}}}}}$ 에서 대칭(space-time)이고 대칭(space-space)인 인덱스 쌍을 떠올리면 6개의 연결 원폼이 있음을 확인할 수 있다 ${\omega ^{\hat {m}}}_{\hat {n}}$

{\omega^{0}_{1}={\frac {a'}{b}(r)\,dt

{\omega^{0}_{2}=0

{\omega^{0}_{3}=0

{\omega^{1}_{2}=-{\frac {d\theta}{b(r)}}}

{\omega^{1}_{3}=-{\frac {\sin \theta \,d\phi }{b(r)}}}}

{\omega^{2}}_{3}=-\cos \theta \,d\phi }

(이 예에서는 6개 중 4개만 비바니싱이다.) 우리는 이 단일 양식을 하나의 형태의 행렬로 수집할 수 있고, 심지어 SO(1,3)의 가치가 있는 단일 형태의 행렬로 수집할 수 있다. 단일 형태의 결과 행렬은 SO(4) 값 단일 형태의 경우처럼 대칭성이 그다지 크지 않을 것이라는 점에 유의하십시오. 대신 로렌츠 어음 부호에서 발생하는 전치 개념을 사용해야 한다.

셋째, 우리는 연결 원폼의 외부 파생상품을 계산하고 Cartan의 두 번째 구조방정식을 사용한다.

{\displaystyle{\hat{m}}_{\hat{n}}}=d{\omega^{n}-{n}-{\omega^{\m}}-{\hat{\hat}}}}\wedge{\omega ^{\hat{\}}}}}}}}}}}}}

곡률의 두 형태를 계산한다. 넷째, 공식 사용

{\displaystyle{\hat ^{\m}_{\hat{n}}={R^{\m}}{{\m}}}{\hat{\imath{\jmath }}}}}{\hat{\imath }}}}\sigma ^{\hat{\jmath }}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}

바흐 막대가 6쌍의 지수(i,j)에 대해서만 합계를 내야 한다는 것을 나타내는 경우, 우리는 우리의 코프레임과 그것의 이중 프레임 영역에 관하여 리만 텐서의 선형 독립적 요소들을 읽을 수 있다. 당사는 다음을 얻는다.

{\displaystyle{R^}_{101}={\frac {-a'\,b+a'\,b'}{a\,b^{3}}}(r)}

{R^{0}_{202}={\frac {1}{1}{1}{r}{\frac {-a'}{a\,b^{2}}(r)={R^{0}_{303}}}}}}

{{R^{1}_{212}={\frac {1}{1}{1}{b'}{b^{3}}}(r)={R^{1}_{313}}}}

{R^{2}}_{323}={\frac {1}{r^{2}}{b^{2}-1}{b^{2}}(r)

다섯째, 지수를 낮추고 성분 $R_{{\hat {m}}{\hat {n}}{\hat {i}}{\hat {j}}}$ $R_{{\hat {m}}{\hat {n}}{\hat {i}}{\hat {j}}}$ $R_{{\hat {m}}{\hat {n}}{\hat {i}}{\hat {j}}}$ $R_{{\hat {m}}{\hat {n}}{\hat {i}}{\hat {j}}}$ $R_{{\hat {m}}{\hat {n}}{\hat {i}}{\hat {j}}}$ $R_{{\hat {m}}{\hat {n}}{\hat {i}}{\hat {j}}}$ $R_{{\hat {m}}{\hat {n}}{\hat {i}}{\hat {j}}}$ {\ $displaystyle$ R_ ${{\m}{\hat{n$ }}{\ $hat{i}}{\hat{$ j}}}}을 행렬로 $R_{{\hat {m}}{\hat {n}}{\hat {i}}{\hat {j}}}$ 구성할 수 있다.

\left[{\begin{matrix}R_{0101}&R_{0102}&R_{0103}&R_{0123}&R_{0131}&R_{0131}&R_{0112}\\R_{0201}&R_{0202}&R_{0203}&R_{0203}&R_{0223}&R_{0231}&R_{0212}\R_{0301}&R_{0302}&R_{0303}&R_{0323}&R_{0331}&R_{0312}\R_{2301}&R_{2302}&R_{2303}&R_{233}&R_{233}&R_{2331}&R_{2312}\\R_{3101}&R_{3102}&R_{3103}&R_{3103}&R_{3103}&R_{312}\R_{1201}&R_{1202}&R_{1203}&R_{1223}&R_{1231}&R_{1212}\end{matrix}\right]=\좌측[{\begin}E&B\\b^{1231}}}}\{1231}}}\{1231}\end{matrix}}}}\rigin}}}}}}}}\{{{{matrix}}}\rigin}\{{{{{{{{{{{{{T}&L\end{매트릭스}\오른쪽]

여기서 E,L은 대칭(일반적으로 6개의 선형 독립 구성 요소)이고 B는 트레이스가 없는(일반적으로 8개의 선형 독립 구성 요소)이며, 이는 두 형태의 6차원 벡터 공간에 대한 선형 운영자를 나타내는 것으로 생각되고 있다(각 사건에서). 여기서 우리는 타임라이크 단위 벡터 ${\vec {X}}={\vec {e}}_{0}={\frac {1}{a(r)}}\,\partial _{t}$ X ${\vec {X}}={\vec {e}}_{0}={\frac {1}{a(r)}}\,\partial _{t}$ → ${\vec {X}}={\vec {e}}_{0}={\frac {1}{a(r)}}\,\partial _{t}$ = e ${\vec {X}}={\vec {e}}_{0}={\frac {1}{a(r)}}\,\partial _{t}$ → ${\vec {X}}={\vec {e}}_{0}={\frac {1}{a(r)}}\,\partial _{t}$ = ${\vec {X}}={\vec {e}}_{0}={\frac {1}{a(r)}}\,\partial _{t}$ a ( ${\vec {X}}={\vec {e}}_{0}={\frac {1}{a(r)}}\,\partial _{t}$ ) ${\vec {X}}={\vec {e}}_{0}={\frac {1}{a(r)}}\,\partial _{t}$ ${\$ {1 $}{a(r)}\partial _{t}$ 에 대한 벨 분해를 읽을 수 있다 ${\vec {X}}={\vec {e}}_{0}={\frac {1}{a(r)}}\,\partial _{t}$ 전극판 텐서는

E[{\vec {X}}]_{11}={\frac {a''\,b-a'\,b'}{a\,b^{3}}}(r),\;E[{\vec {X}}]_{22}=E[{\vec {X}}]_{33}={\frac {1}{r}}{\frac {a'}{a\,b^{2}}}(r)

자기광학 텐서는 동일하게 사라지며, 여기서부터 ( ${\vec {X}}$ → ${\$ 가 비회전적이라는 ${\vec {X}}$ 사실을 사용하여) 공간초음극의 3차원 리만 텐서를 결정할 수 있다.

L[{\vec{X}}_{11}={\frac {1}{r^{2}}:{\frac {1-b^{2}}:{b^{2}}(r),\;L[{\vec{X}}_{22}=L[{\vec {X}]_{33}={\frac {1}{r}{\frac {-b'}{b^{3}}(r)

이것은 로렌츠 다지관에는 모두 유효하지만, 일반 상대성에서는 전기화 텐서가 우리의 프레임에 해당하는 관찰자에 의해 측정된 작은 물체에 대한 조력응력을 제어하고, 자기화 텐서는 우리의 프레임에 해당하는 관찰자에 의해 측정된 회전하는 물체에 대한 스핀 스핀 스핀 스핀응력을 제어한다는 점에 주목한다..

우리 코프레임 필드의 이중 프레임 필드는

{\vec{e}_{0}={\frac {1}{a(r)}\,\cHB_{t}}

{\vec{e}_{1}={\frac {1}{b(r)}\,\properties _{r}}

{\vec{e}_{2}={\frac {1}{r}\,\cHB_{\theta }}

{\vec{e}_{3}={\frac {1}{r\sin \theta }\,\cHI }}

${\frac {1}{b(r)}}$ ${\frac {1}{b(r)}}$ ${\frac {1}{b(r)}}$ ( r ${\frac {1}{b(r)}}$ ) ${\$ 이(가) 여기서 세 가지 정형 공간 공간 벡터 필드 중 첫 번째에만 ${\frac {1}{b(r)}}$ 곱한다는 것은 슈바르츠실트 차트가 공간적으로 등방성이 아니라는 것을 의미한다(국소적인 평탄한 시간이라는 사소한 경우는 제외). 오히려 가벼운 콘이 나타난다(방사선).게이트). 이것은 물론 슈바르츠실트 차트가 각 중첩된 원형 구체 내의 거리를 정확하게 나타낸다는 또 다른 표현이지만, 방사형 좌표는 방사형 적정 거리를 충실하게 나타내지 않는다.

슈바르츠실트 차트를 허용하는 정확한 해결책

이러한 방법으로 얻을 수 있는 정확한 해결책의 예는 다음과 같다.

슈바르츠실트 진공청소기의 외부 지역
Ditto, 이전의 예를 특수 사례로 포함하는 Reissner-Nordström 전기 진공에 대해,
Ditto, 이전의 예를 특별한 사례로 포함하는 Reissner-Nordström-de Sitter 전기 rollambdavacuum의 경우,
Janis-Newman-Winacour 솔루션(무중량 결합 스칼라 필드가 있는 정적 spheric 대칭 물체의 외부를 모델링함)
외부 영역과 정적으로 대칭되는 완벽한 유체 용액인 내부 영역을 슈바르츠실트 진공 영역의 일부에 국소적으로 등축인 외부 영역과 일치시켜 얻은 항성 모델.

일반화

일반화된 슈바르츠실트 차트와 함께, 정적이 아니지만 세속적으로 대칭적인 스페이스타임을 고려하는 것은 자연스럽다.

g=-a(t,r)^{2}\,dt^{2}+b(t,r)^{2}\,dr^{2}+r^{2}}\왼쪽(d\ta ^{2}+\sin ^{2}\ta \,d\phi ^{2},prig)

[\\displaystyle -\\\,r_{0}<r<r_{1},\,0<\theta <\pi ,\,\,-\pi <\pi <\pi }}]

다른 방향으로 일반화하면 원형 2구경에서 다른 좌표계를 사용하여 예를 들어 스테레오그래픽 슈바르츠실트 차트를 얻을 수 있으며, 이 차트는 때때로 유용하다.

g=-a(r)^{2}\,dt^{2}+b(r)^{2}\,dr^{2}+{\frac {dx^{2}+dy^{2}}{(1+x^{2}+y^{2})^{2}}},\;-\infty <t,x,y<\infty ,r_{1}<r<r_{2}

참고 항목

정적 스페이스타임,
spacetime으로 대칭적으로,
정적으로 대칭적으로 완벽한 유체,
등방성 좌표, 정적 spherric spacetime에 대한 또 다른 인기 차트,
가우스 극좌표, 정적으로 대칭되는 스페이스타임을 위한 덜 일반적인 대체 도표,
Gullstrand-Painlevé 좌표, 정적 블랙홀의 이벤트 지평선 안에서 유효한 간단한 차트.
일반 상대성 분야의 프레임 필드, 프레임 필드 및 코프레임 필드에 대한 자세한 내용은
리만 텐서 벨 분해
위의 ${\vec {X}}$ ${\vec {X}}$ → ${\$ 와 같은 조합에 대한 자세한 내용은 일반 상대성(일반 상대성)을 참조하십시오.
Kruskal-Szekeres 좌표, 최대 확장된 Schwarzschild 솔루션의 전체 스페이스 시간 다지관을 포괄하는 도표로서 물리적 특이점 외부 어디에서나 잘 행동한다.
에딩턴-핀켈슈타인 좌표, 정적으로 대칭되는 스페이스타임을 위한 대체 차트,

메모들

^ $\partial _{t}$ $\partial _{t}$ ${\$ 는 시간별 방향을 가리키는 벡터 장을 가리키는 표기법이다 $\partial _{t}$ . 파생상품은 이 방향을 따라 취해질 수 있기 때문에 t와 관련하여 차등사업자와 유사하도록 작성되었다. $\partial _{x}$ x ${\$ $\partial _{x}$ = $\partial /\partial x$ / $\partial /\partial x$ x ${\displaystyle \partial /\partial$ x $}$ 표기법은 접선 번들의 벡터 필드를 나타내는 데 자주 그리고 일반적으로 사용된다 $\partial /\partial x$ .

[1] $\partial _{t}$ $\partial _{t}$ ${\$ 는 시간별 방향을 가리키는 벡터 장을 가리키는 표기법이다 $\partial _{t}$ . 파생상품은 이 방향을 따라 취해질 수 있기 때문에 t와 관련하여 차등사업자와 유사하도록 작성되었다. $\partial _{x}$ x ${\$ $\partial _{x}$ = $\partial /\partial x$ / $\partial /\partial x$ x ${\displaystyle \partial /\partial$ x $}$ 표기법은 접선 번들의 벡터 필드를 나타내는 데 자주 그리고 일반적으로 사용된다 $\partial /\partial x$ .

[주 1]

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