등각 킬링 벡터 필드

등각 기하학에서 (시료) 리만 $메트릭$ g ${\displaystyle g}($ 등각 킬링 벡터 또는 등각 콜리네이션이라고도 함)이 있는 치수 $X$ n 다지관의 등각 킬링 벡터 필드는 (등각적으로 정의된 $)$ 흐름이 $등각$ 변환을 $정의$ 하는 벡터 $필드$ X {\displaystyle X $}$ 이다 $.$ 수평 구조를 스케일업 및 보존하기 위한 디스플레이 $g$ $스타일 g}.$ 순응적 킬링 방정식이라 불리는 몇 가지 등가 공식은 흐름의 Lie 파생상품의 관점에서 존재한다. ${\mathcal {L}}_{X}g=\lambda g$ $\lambda$ ${\mathcal {L}}_{X}g=\lambda g$ ${\mathcal {L}}_{X}g=\lambda g$ = ${\mathcal {L}}_{X}g=\lambda g$ ${\mathcal {L}}_{X}g=\lambda g$ ${\displaystyle {\mathcal {L}_{X}g=\lambda g}($ 다지관 $\lambda$ \ $displaystyle \lambda }).$ $n\neq 2$ $n\neq 2$ $n\neq 2$ ${\displaystyle n\neq$ 2 $}$ 의 경우, 해당 공간의 정합성 대칭을 명시하는 용액의 수가 한정되어 있지만 $n\neq 2$ , 2차원에서는 용액의 무한대가 존재한다.킬링이란 이름은 빌헬름 킬링을 말하며, 그는 리만 메트릭스를 보존하고 킬링 방정식 L ${\mathcal {L}}_{X}g=0$ ${\mathcal {L}}_{X}g=0$ = ${\mathcal {L}}_{X}g=0$ ${\displaystyle {\l}_{X}g=0$ 을(를) 만족시키는 킬링벡터 필드를 처음 조사했다.

밀도화된 메트릭 텐서 및 정합 킬링 벡터

벡터 필드 $X$ $X$ 은 흐름이 메트릭 텐서 $g$ $g$ 을(를) 보존하는 경우 킬링 벡터 필드다 $X$ ( $g$ 다지관의 각 콤팩트 서브셋에 대해 엄격히 말하면 흐름은 유한 시간 동안만 정의하면 된다). $X$ $X$ 이 $X$ (가) 충족되면 킬링 if가 되므로 이를 보다 편리하게(Infinite) 공식화할 수 있다.

{\mathcal{L}_{X}g=0.

여기서 ${\mathcal {L}}_{X}$ ${\mathcal {L}}_{X}$ ${\$ 은 $\mathcal{L}_X$ (는) Lie 파생상품이다.

보다 일반적으로 w-킬링 벡터 $필드$ X $X$ 을 $X$ (를) 벡터 필드로 정의하십시오. 이 $\mu _{g}$ 에서는 (로컬) 흐름이 밀도화된 메트릭 $g\mu _{g}^{w}$ g $μg$ g $g\mu _{g}^{w}$ ${\$ g $\$ $mu \{g$ $}{$ $\mu _{g}={\sqrt {|\det(g)|}}\,dx^{1}\cdots dx^{n}$ $}}}$ 이 $g\mu _{g}^{w}$ 가 $\mu _{g}$ $\mu _{g}={\sqrt {|\det(g)|}}\,dx^{1}\cdots dx^{n}$ $g$ {\ $\mu _{g}={\sqrt {|\det(g)|}}\,dx^{1}\cdots dx^{n}$ 에 의해 정의된 볼륨 밀도입니다 $\mu _{g}={\sqrt {|\det(g)|}}\,dx^{1}\cdots dx^{n}$ $\mu _{g}={\sqrt {|\det(g)|}}\,dx^{1}\cdots dx^{n}$ $\mu _{g}={\sqrt {|\det(g)|}}\,dx^{1}\cdots dx^{n}$ $\mu _{g}={\sqrt {|\det(g)|}}\,dx^{1}\cdots dx^{n}$ d $\mu _{g}={\sqrt {|\det(g)|}}\,dx^{1}\cdots dx^{n}$ $\mu _{g}={\sqrt {|\det(g)|}}\,dx^{1}\cdots dx^{n}$ ${\$ ^{1 $}\cdots dx^{n$ 와 w $w\in \mathbf {R}$ R ${\$ w $\in \mathbf {R}}}}$ 이 그 무게다 $w\in \mathbf {R}$ .킬링 벡터 필드는 $\mu _{g}$ ${\$ 을 $\mu_g$ 보존하므로 이 보다 일반적인 방정식도 자동으로 충족한다는 점에 유의하십시오.또한 $w=-2/n$ = $w=-2/n$ - $w=-2/n$ / $w=-2/n$ ${\$ $displaystyle$ $w=-2/n}$ 은 $w=-2/n$ (는) 메트릭의 스케일링에 따라 $g\mu _{g}^{w}$ $g\mu _{g}^{w}$ $g\mu _{g}^{w}$ w ${\$ displaystyle g $\mu _{g}^{w}}$ 의 조합 $g\mu _{g}^{w}$ 불변성을 만드는 고유한 중량이므로, 이 경우에는 등각 구조에 따라서만 조건이다.이제 $X$ $X$ 은 $X$ (는) w-킬링 벡터 필드 iff

{\mathcal{L}_{X}\왼쪽(g\mu _{g}^{w}_{X}g)=({\mathcal{w}+wg\mu _{w-1}^{w-1}{\mathcal {{L}}}}\{g}=0)=({\mathc.

${\mathcal {L}}_{X}\mu _{g}=\operatorname {div} (X)\mu _{g}$ ${\mathcal {L}}_{X}\mu _{g}=\operatorname {div} (X)\mu _{g}$ ${\mathcal {L}}_{X}\mu _{g}=\operatorname {div} (X)\mu _{g}$ = ${\mathcal {L}}_{X}\mu _{g}=\operatorname {div} (X)\mu _{g}$ μg ( ${\mathcal {L}}_{X}\mu _{g}=\operatorname {div} (X)\mu _{g}$ ) ${\mathcal {L}}_{X}\mu _{g}=\operatorname {div} (X)\mu _{g}$ ${\$ 과 ${\mathcal {L}}_{X}\mu _{g}=\operatorname {div} (X)\mu _{g}$ (와) 같기 때문이다.

{\mathcal {L}}_{X}g=-w\operatorname {div} (X)g

{\mathcal {L}}_{X}g=-w\operatorname {div} (X)g

{\mathcal {L}}_{X}g=-w\operatorname {div} (X)g

=

{\mathcal {L}}_{X}g=-w\operatorname {div} (X)g

- w

{\mathcal {L}}_{X}g=-w\operatorname {div} (X)g

(

{\mathcal {L}}_{X}g=-w\operatorname {div} (X)g

X

{\mathcal {L}}_{X}g=-w\operatorname {div} (X)g

)

{\mathcal {L}}_{X}g=-w\operatorname {div} (X)g

{\displaystyle {\mathcal

{L

}_{X}g=-w\operatorname {div}(X)g

.

Taking traces of both sides, we conclude $2\mathop {\mathrm {div} } (X)=-wn\operatorname {div} (X)$ . Hence for $w\neq -2/n$ , necessarily $\operatorname {div} (X)=0$ and a w-Killing vector field is just a normal Kil흐름이 메트릭을 보존하는 링 벡터 필드.단 $w=-2/n$ = $w=-2/n$ - $w=-2/n$ / $w=-2/n$ {\ $displaystyle w=-2/n}$ 의 경우, X{\ $displaystyle$ X}의 흐름은 등호 $X$ 구조만 보존하면 되며, 정의상으로는 등호적 킬링 벡터 필드다.

등가제식

이하와 같다.

$X$ $X$ 은 $X$ (는) 정규 킬링 벡터 필드,
$X$ $X$ 의 (로컬하게 정의된) 흐름은 정합 구조를 보존하며 $X$ ,
${\mathcal{L}_{X}(g\mu_{g}^{-2/n}=0,$
${\mathcal{L}_{X}g={\frac {2}{n}\operatorname {div}(X)g,$
${\mathcal {L}}_{X}g=\lambda g$ $\lambda .$ ${\mathcal {L}}_{X}g=\lambda g$ g ${\mathcal {L}}_{X}g=\lambda g$ = ${\mathcal {L}}_{X}g=\lambda g$ g ${\mathcal {L}_{X}g=\lambda g$ 일부 함수 ${\mathcal {L}}_{X}g=\lambda g$ $\lambda .$ $\lambda .$

위의 논의는 겉보기에는 좀 더 일반적인 마지막 형태를 제외한 모든 형태의 동등함을 증명한다.그러나 마지막 두 형태도 동일하다: 추적을 하는 것은 $\lambda =(2/n)\operatorname {div} (X)$ $\lambda =(2/n)\operatorname {div} (X)$ = ( $\lambda =(2/n)\operatorname {div} (X)$ / $\lambda =(2/n)\operatorname {div} (X)$ ) $\lambda =(2/n)\operatorname {div} (X)$ ( $\lambda =(2/n)\operatorname {div} (X)$ ) $\lambda =(2/n)\operatorname {div} (X)$ {\ $displaystyle \lambda$ = ( $2/n)\operatorname {div}$ ( $X)}$ 을(를) 표시한다 $\lambda =(2/n)\operatorname {div} (X)$

(추상) 지수 표기법에서의 등정 킬링 방정식

Using that ${\mathcal {L}}_{X}g=2\left(\nabla X^{\flat }\right)^{\mathrm {symm} }$ where $\nabla$ is the Levi Civita derivative of $g$ (aka covariant derivative), and ${\displaystyle X^{\flat }=g(X,\cd$ $ot )}$ 은 $X^{\flat }=g(X,\cdot )$ $X$ $X$ 의 이중 1 형태( $X$ 일명 낮은 지수를 가진 공변량 벡터 아카 벡터)이며 ${}^{\mathrm {symm} }$ ${}^{\mathrm {symm} }$ m ${}^{\mathrm {symm} }$ {\ $displaystyle {}^{\mathrm {symm}}}}}}}}}}$ 은 대칭 부분에 투영된 것으로 ${}^{\mathrm {symm} }$ , 다음과 같이 정합성 킬링 방정식을 작성할 수 있다.