협반군

대수적 숫자 이론에서 숫자 필드 K의 좁은 클래스 그룹은 K의 실제 숫자 영역에 K를 내장하는 것에 관한 일부 정보를 고려한 K의 클래스 그룹을 정교하게 한 것이다.

형식 정의

K가 Q의 유한한 확장이라고 가정하자.K의 일반 클래스 그룹이 다음과 같이 정의되었음을 상기하십시오.

${\displaystyle C_{K}=I_{K}/P_{K},\,\!}$

여기서 나는_K K의 분수 이상 집단이고, P는_K K의 주요 분수 이상 집단, 즉 a가 K의 요소인 aO형식의_K 이상 집단이다.

좁은 계급 그룹은 인수로 정의된다.

${\displaystyle C_{K}^{+}=I_{K}/P_{K}^{+}}}$

여기서 P는_K⁺ K의 완전히 긍정적인 주요 부분적 이상들의 그룹이다. 즉, a가 K의 요소인 형태 AO의_K 이상으로서, ((a)가 모든 내장물에 대해 긍정적이다.

${\displaystyle \sigma :K\to \mathbf {R} .}$

사용하다

좁은 계급 집단은 2차적 형태에 의한 정수의 표현 이론에서 두드러지게 나타난다.예를 들면 다음과 같은 결과(Fröhlich와 Taylor, 5장, 정리 1.25)가 있다.

정리.라고 가정해 보자.

${\displaystyle K=\mathbf {Q}({\sqrt {d}),}$

여기서 d는 제곱이 없는 정수이며, K의 좁은 계급 그룹은 사소한 것이다.라고 가정해 보자.

${\displaystyle \{\omega _{1},\omega _{2}\}\,\!}$

K의 정수 링의 기초가 된다.2차 형식 정의

${\displaystyle Q_{}}$( ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$)${\displaystyle }$= N ${\displaystyle {K\mathbf{}}_{}}$/ Q${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ x +${\displaystyle {}_{}}$ 2 ${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle Q_{K}(x,y)=N_{K/\mathbf {Q}}}(\omega _{1}x+\omega _{2}y$

여기서_K/Q N은 표준이다.그러면 prime nump는 형태다.

${\displaystyle p=q_{K}(x,y)\,\!}$

일부 정수 x와 yif 및 다음 중 하나에 해당하는 경우에만

${\displaystyle p\mid d_{K}\,\,}$

또는

${\displaystyle p=2\quad {\mbox{and}\quad d_{K}\equiv 1{\pmod{8},}$

또는

${\displaystyle p}2\quad {\mbox{and}}\quad \좌측({\frac {d_{K}}}{p}\우측)=1,}$

여기서 d는_K K의 차별이다.

${\displaystyle \왼쪽 사진\frac {a}{b}\오른쪽)}$

범례 기호를 나타낸다.

예

예를 들어, 2차 분야 Q(√-1), Q(√-2), Q(√-3)가 모두 사소한 좁은 세분류 그룹을 가지고 있다는 것을 증명할 수 있다.그 후, 이들 각 분야의 정수에 대한 적절한 기초를 선택함으로써, 위의 정리는 다음과 같은 것을 내포하고 있다.

• prime p는 다음과 같은 경우에만 정수 x와² y의² p = x + y 형식이다.

${\displaystyle p=2\pmx{or}\mbox{or}\pmod{4}}.}$

(이것은 페르마의 두 제곱합에 대한 정리라고 알려져 있다.)

• prime p는 다음과 같은 경우에만² 정수 x와 y의 p = x - 2y² 형식이다.

${\displaystyle p=2\pmbox{or}\pmbox}\p\equiv 1,7{\pmod {8}.}$

• prime p는 p = x - xy² + y² 형식이다. x와 y는 다음 경우에 한한다.

${\displaystyle p}$= 3 ${\displaystyle \text{또는}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \equiv }$ ${\displaystyle 1}$(${\displaystyle 모드\mathrm{}}$ 3${\displaystyle }$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle p=3\databox{\mbox{or}}\p\equiv 1{\pmod {3}}}($cf).아이젠슈타인 프라임)

좁은 계급집단과 보통 계급집단의 차이를 잘 보여주는 예가 Q(√6)의 경우다.이것은 사소한 클래스 그룹을 가지고 있지만, 그것의 좁은 클래스 그룹은 순서 2를 가지고 있다.클래스 그룹은 사소한 것이기 때문에, 다음과 같은 진술이 참이다.

• prime p 또는 그 역-p는 정수 x와 y의 경우 ± p = x - 6y²² 형식이다.

${\displaystyle p=2\p}{p}\mbox{or}\p=1\p=3\p=\mbox{or}\px\frac{6}\right)=1.}$

그러나 좁은 계층 집단이 비경쟁적이기 때문에 p에만 초점을 맞추고 -p(사실상 p = 2)는 아닌 p에만 초점을 맞춘다면 이 진술은 거짓이다.양성 p를 분류하는 문구는 다음과 같다.

• prime p는 정수 x와² y의 경우² p = x - 6y 형식이며, p = 3 또는 경우에만 해당된다.

${\displaystyle \left({\frac {6}{p}}\right)=1\filency {\mbox{and}\not \left\frac{-2}\right)=1.}$

(첫 번째 문장이 p${\displaystyle }$imes 1, 5, ${\displaystyle 19,}$ ${\displaystyle 23}$(${\displaystyle \mathrm{mod}}$ $){\displaystyle p\equiv$1$,5,19,23{\pmod{24}}}}$을(를) 허용하는 경우$,$ 두 번째 문장은 ${\displaystyle \mathrm{p}}$ ${\displaystyle \equiv }$ 1,${\displaystyle 19}$(${\displaystyle \mathrm{모드}}$ $){\$ 1,$19{\pmod}}}}}}}}}}$만 허용한다.$$

참고 항목

• 클래스 그룹
• 이차형

참조

• A. Fröhlich와 M. J. Taylor, 대수학 번호 이론(p. 180), 케임브리지 대학 출판부, 1991.