등변위상

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수학에서 등가 위상은 특정 대칭을 가진 위상학적 공간을 연구하는 학문이다.위상학적 공간을 연구할 때 흔히 ${\displaystyle \mathrm{연속}}$ 지도 $f{\displaystyle }$: X${\displaystyle }$→ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f:X\to$ Y$}$를 고려하는 경우가 많으며$,$ 등가 위상 또한 그러한 지도를 고려하는 반면, 각 지도는 그 영역과 대상 공간 모두에서 "대칭성"을 고려한다는 추가적인 제약조건이 있다.

The notion of symmetry is usually captured by considering a group action of a group ${\displaystyle G}$ on ${\displaystyle X}$ and ${\displaystyle Y}$ and requiring that ${\displaystyle f}$ is equivariant under this action, so that ${\displaystyle f(g\cdot x)=g\cdot f(x)}$ for all ${\displaystyle }$$X$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle X}$ ${\$$displaystyle x\in$ X$},$ $보통{\displaystyle }$ f${\displaystyle }$: ${\displaystyle X_{}}$→ G $Y로 표시$된 속성$.$ 경험적으로 말하면 표준 위상은 두 공간을 동등한 "$변형까지"$로 보는 반면, 등가 위상 위상은 양쪽 sp가 보유한 대칭에 주의를 기울이는 한 변형에 해당하는 공간을 변형에 해당하는 것으로 간주한다.등가 위상의 유명한 정리는 보르수크-이다.$Ulam{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$- $모든$ Z 2 {\$displaystyle \mathbf$ {$Z}$ _$$${$2}} -등가변 지도 $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle S^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$→ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\$$S^{n}\to \mathb {R}$^{$n}}}$은(는) 반드시$$ 사라진다.

유도 G번들

등변성 코호몰로지 및 기타 애플리케이션에서 사용되는 중요한 구조는 자연적으로 발생하는 그룹 번들을 포함한다(자세한 내용은 주요 번들 참조).

Let us first consider the case where ${\displaystyle G}$ acts freely on ${\displaystyle X}$. Then, given a ${\displaystyle G}$-equivariant map ${\displaystyle f:X\to _{G}Y}$, we obtain sections ${\displaystyle s_{f}:X/G\to (X\times Y)/G}$ given by ${\displaystyle [x]\mapsto [}$${\displaystyle [x]\mapsto [x,f(x)]}$, where ${\displaystyle X\times Y}$ gets the diagonal action ${\displaystyle g(x,y)=(gx,gy)}$, and the bundle is ${\displaystyle p:(X\times Y)/G\to X/G}$, with fiber ${\displaystyle Y}$ and projection givenby $p{\displaystyle }$(${\displaystyle }$[ ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle ]}$=${\displaystyle }$[ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle$ p$([x,y])$$=[x$ 총 공간은 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}_{}}$ G ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle$ X$\times _{G}Y}$라고 쓰여 있는 경우가 많다$.$

보다 일반적으로 ${\displaystyle {할당}_{}}$ $s{\displaystyle {}_{}}$ ${\$는 실제로 (${\displaystyle X}{\displaystyle \times }$ Y${\displaystyle }$)${\displaystyle }$/ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle (X\time$ Y$)/G}$에 매핑되지 않는다.Since ${\displaystyle f}$ is equivariant, if ${\displaystyle g\in G_{x}}$ (the isotropy subgroup), then by equivariance, we have that ${\displaystyle g\cdot f(x)=f(g\cdot x)=f(x)}$, so in fact ${\displaystyle f}$ will map to the collection of ${\displaystyle \{[x,y]\in (X\times Y)/}$${\displaystyle \{[x,y]\in (X\times Y)/G\mid G_{x}\subset G_{y}\}}$. In this case, one can replace the bundle by a homotopy quotient where ${\displaystyle G}$ acts freely and is bundle homotopic to the induced bundle on ${\displaystyle X}$ by ${\displaystyle f}$.

이산형 지오메트리에 응용 프로그램

보르수크-울람 정리로부터 햄 샌드위치 정리를 추론할 수 있는 것과 같은 방법으로, 이산 기하학의 문제에 등가 위상의 응용을 많이 발견할 수 있다.^[1][2]이는 구성-공간 테스트 맵 패러다임을 사용하여 달성된다.

기하학적 문제 $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $P$$}$을(를$)$ 지정하면 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$\}$을(를) 정의하고, 이 구성 공간은 문제에 연결된 모든 솔루션(예: 점, 선 또는 호)을 파라메트리한다.Additionally, we consider a test space ${\displaystyle Z\subset V}$ and a map ${\displaystyle f:X\to V}$ where ${\displaystyle p\in X}$ is a solution to a problem if and only if ${\displaystyle f(p)\in Z}$. Finally, it is usual to consider natural symmetries in a discrete problem by some gr$oup{\displaystyle }$ $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$ $및$ V ${\displaystyle V}$에 작용하여$$ f ${\displaystyle f}$이(가) 이러한 작업에서 등가선되도록$$ 하는$$ {\$displaystyle G}$이등변수 지도 $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \setminus }$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle f:X\to V\setminus Z}$의 불변성을 보여줄 수 있다면 문제는 해결된다$.$

지도의 존재에 장애들은 종종 대수적으로 X{X\displaystyle}의 지형적 데이터에서 와 V∖ Z{\displaystyle V\setminus Z} 그러한 방해의 전형적인 예{V\displaystyle}V가 벡터 공간과 Z를 하고 파생될 수 있).[3]({\displaystyle Z=\{0\}}. 이 점에서 정해진다.없어se, a nonvanishing map would also induce a nonvanishing section ${\displaystyle s_{f}:x\mapsto [x,f(x)]}$ from the discussion above, so ${\displaystyle \omega _{n}(X\times _{G}Y)}$, the top Stiefel–휘트니 수업은 사라져야 할 거야

예

• $ID{\displaystyle }$ 맵 i${\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$ → ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle$ i$:X\to$ X$}$은(는) 항상 등가선일 것이다.
• $Z{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\$2}}$개$를 단위 원 위에서 반역적으로 작용하게$$ 하면 $z{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mapsto }$ z ${\displaystyle {3\mathrm{}}^{}}$ ${\$는 이상 함수이므로 등가변성이 된다$$.
• $모든{\displaystyle }$ $지도{\displaystyle }$ $h{\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→ ${\displaystyle X}$/ ${\displaystyle G}$ ${\$$displaystyle h$$:X\to X/G$$}$은(는$)$ 모든 x ${\displaystyle x$에 대해$$ h($g{\displaystyle }$⋅ ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle h(x}$ )${\displaysty$ h$(g\cdot$ x$)=h(x)}$이(x)가 지수에 대해 사소한$$ 작용을 할 때 등가 된다$$.

참고 항목

• 등변성 코호몰로지
• 등변 안정 호모토피 이론
• G-스펙트럼

참조