엔리케스-고다이라 분류

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수학에서 엔리케스-고다이라 분류는 콤팩트한 복합 표면을 10개 등급으로 분류한 것이다.이러한 각 클래스에 대해 클래스의 표면은 모듈리 공간에 의해 파라메트리될 수 있다.대부분의 클래스의 경우 모듈리 공간은 잘 이해되지만 일반 유형의 표면 클래스의 경우 모듈리 공간은 일부 구성 요소가 알려져 있지만 명시적으로 설명하기에는 너무 복잡해 보인다.

막스 노에더는 대수표면의 체계적인 연구를 시작했으며, 귀도 카스텔누오보는 분류의 중요한 부분을 증명했다.페데리고 엔리케스(1914, 1949년)는 복잡한 투영 표면의 분류를 설명했다.고다이라 구니히코(1964년, 1966년, 1968년, 1968년, 1968년)는 나중에 비알제브라질 콤팩트 표면을 포함하도록 분류를 확대했다.양성의 표면의 유사한 분류는 데이비드 뭄포드(1969년)에 의해 시작되었고 엔리코 봄비에리와 데이비드 뭄포드(1976년, 1977년)에 의해 완료되었다. 특징 2에서는 단수형 및 초과대형 엔리케스 표면이, 그리고 준하이프렐리틱 표면이 있다는 점을 제외하면, 특징 0 투영 사례와 유사하다.특성 2와 3

분류명세서

컴팩트한 복잡한 표면의 Enriques–Kodaira 분류는 모든 정칙인. 최소한의 컴팩트한 복잡한 표면 정확히 10개의 이 페이지에 상장된, 다른 말로 그것은 가장 합리적인,(로사>0)을 형식 제7K3, 엔리퀘스, 고다이라, 원환체,hyperelliptic고, 적절히 혹은 일반quasi-elliptic형 표면이라고 말한다..

일반형 이외의 9개 등급 표면의 경우, 모든 표면이 어떻게 보이는지에 대한 상당히 완전한 설명이 있다(클래스 VII는 2009년에 아직 입증되지 않은 전지구적 구형 껍데기 추측에 의존한다).일반 유형의 표면은 명시적 분류에 대해 잘 알려져 있지 않지만 많은 예가 발견되었다.

대수적 표면의 긍정적인 특성(멈퍼드 1969년, 멈퍼드&봄 비에리 1976년, 1977년)의 분류 그 대수 면 중 특성 0면 지금은 고다이라 또는 형식 7세의 표면, 그리고 엔리퀘스 표면의 여분의 가족 2특성에서, 그리고hyperelliptic 표면 처리재 표면을 제외하고 비슷하다. 주식회사Harathistics 2와 3 그리고 특성 2와 3의 고다이라 치수 1에서는 quasielliptic fibration도 허용된다.이러한 추가 가족은 다음과 같이 이해할 수 있다.특성 0에서 이러한 표면은 유한 집단에 의한 표면의 몫이지만, 유한 특성에서는 엣테일이 아닌 유한 집단 체계에 의한 몫도 취할 수 있다.

오스카 자리스키는 뗄 수 없는 확장(자리스키 표면)에서 파생된, 비합리적이지만 합리적이지 않은 긍정적인 특성의 일부 표면을 구성했다.긍정적인 특성에서 Serre는 h ${\displaystyle {0\mathrm{}}^{}}$($){\displaystyle h^{0}(\Oomega )}$이(${\displaystyle 가\mathcal{}}$) ${\displaystyle {h\mathrm{}}^{}}$ 1${\displaystyle {}^{}}$( O$){\displaystyle$ h$^{1}({\mathcal{O})}}$과 다를$$ 수 있다는 것을 보여주었고$,$ 이구사는 동일하더라도 불규칙성(피카르 품종의 치수)보다 클 수 있다는 것을 보여주었다.

표면의 불변성

호지 번호와 고다이라 치수

분류에 사용된 콤팩트한 복합 표면의 가장 중요한 불변제는 다양한 일관성 있는 피복 코호몰로지 그룹의 치수 측면에서 제시될 수 있다.기본적인 것은 다음과 같이 정의한 플뤼게네라와 호지 수이다.

• K는 표준 선다발이며, 섹션은 홀모픽 2형식이다.

• ${\displaystyle {Pn}_{}}$= ${\displaystyle 딤}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle {H\mathrm{}}^{}}$ 0${\displaystyle {}^{}}$( ${\displaystyle K^{}}$ n${\displaystyle {}^{}}$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle ⩾}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle P_{n}=\dim H^{0}(K^{n}), n\geqslant 1}$을(를) 플러리게네이라 한다.그들은 쌍생 불변, 즉 폭발할 때 불변한다.세이버그-위튼 이론을 사용하여, 로버트 프리드먼과 존 모건은 복잡한 다지관의 경우 기본 지향적인 매끄러운 4-매니폴드에만 의존한다는 것을 보여주었다.케흘러가 아닌 표면의 경우, 플뤼게네라(plurigenera)는 기본 그룹에 의해 결정되지만, 케흘러 표면의 경우, 동형이지만 서로 다른 플뤼게네라와 고다이라 치수를 갖는 표면의 예가 있다.개별적인 플뤼리게네라(plurigenera)는 자주 쓰이지 않는다. 그중에서 가장 중요한 것은 고다이라 차원에 의해 측정된 그들의 성장율이다.

• ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }}$은(는) 고다이라 치수: -${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle$ -$\inflit }($때로는 -1)이며, ${\displaystyle {Pn}_{}}$/ n ${\displaystyle n^{}}$ ${\$이 바인딩이 바인딩이$$ 바인딩된 것과 같이 가장 작은엔리케스는 이 정의를 사용하지 않았다. 대신 P ${\displaystyle {12}_{}}$ ${\$와 $K{\displaystyle }$⋅ ${\displaystyle K}$= ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\$}}의 값을 사용했다$.$다음과 같은 일치에 따라 고다이라 치수가 결정된다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\kappa =-\infty &\longleftrightarrow P_{12}=0\\\kappa =0&\longleftrightarrow P_{12}=1\\\kappa =1&\longleftrightarrow P_{12}>1{\text{ and }}K\cdot K=0\\\kappa =2&\longleftrightarrow P_{12}>1{\text{ and }}K\cdot K>0\\\end{aligned}}}$

• ${\displaystyle h^{i,j}=\dim H^{j}(X,\Omega ^{i}),}$ where ${\displaystyle \Omega ^{i}}$ is the sheaf of holomorphic i-forms, are the Hodge numbers, often arranged in the Hodge diamond:

${\displaystyle {\begin{matrix}&&h^{0,0}&&\\&h^{1,0}&&h^{0,1}&\\h^{2,0}&&h^{1,1}&&h^{0,2}\\&h^{2,1}&&h^{1,2}&\\&&h^{2,2}&&\\\end{matrix}}}$

By Serre duality${\displaystyle h^{i,j}=h^{2-i,2-j}}$ and ${\displaystyle h^{0,0}=h^{2,2}=1.}$ The Hodge numbers of a complex surface depend only on the oriented real cohomology ring of the surface, and are invariant under birational transformations except for ${\displaystyle h^{1,}}$${\displaystyle 1^{}}$ ${\$ h$^{1,1},$ 1점 상승

• 표면이 Kahler인 경우 ${\displaystyle h^{}}$ i${\displaystyle {,}^{}{j}^{}}$ = ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {j,}^{}}$ i ${\$ h$^{i,j}=h^{j,i}}$이며, 독립 호지 번호는 3개뿐입니다.
• 표면이 컴팩트하면 $h{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$,${\displaystyle 0^{}}$ ${\$ $h$$^{1,0}$는 $h$ 0$,$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$ $displaystyle$ h^{$0,$1} 또는 h $0,$${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$- ${\displaystyle h^{0,1}-1.}$과 같다.

호지 숫자와 관련된 불변성

(적어도 복잡한 표면의 경우) 다음과 같이 Hodge 숫자의 선형 조합으로 쓸 수 있는 많은 불변수가 있다.

• ${\displaystyle {Betti}_{}}$ $번호{\displaystyle {}_{}}$ b i로 정의됨: ${\displaystyle 딤}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle H^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$( ${\displaystyle S}$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle ⩽}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle ⩽}$ 4${\displaystyle b_{i}=\dim H^{i}(S),0\leqslant$ i$\leqslant 4.}$

${\displaystyle {\case}b_{0}=b_{4}=1\\b_{1}=b_{3}}=h^{1,0}+h^{0,1}=h^{2,1}+h^{2,1}+h^{1,2}\b_{2}=h^{2,0}+h^{1,1}+h^{0,2}\case}}}}}}}}$

특성 p > 0에서 베티 번호는 l-adic cohomology를 사용하여 정의되며 이러한 관계를 충족할 필요가 없다.

• 오일러 특성 또는 오일러 번호:

${\displaystyle e=b_{0}-b_{1}+b_{2}-b_{3}+b_{4}.}$

• 불규칙성은 피카르 품종과 알바니아 품종의 치수로 정의되며 q로 표시된다.복잡한 표면의 경우(주요 특성의 표면이 항상 그렇지는 않음)

${\displaystyle q=h^{0,1}.}$

• 기하학적 속:

${\displaystyle p_{g}=h^{0,2}=h^{2,0}=P_{1}.}$

• 산술 속:

${\displaystyle p_{a}=p_{g}-q=h^{0,2}-h^{0,1}.}$

• 사소한 번들의 홀로모르픽 오일러 특성(일반적으로 위에서 정의한 오일러 번호 e와 다름):

${\displaystyle \chi =p_{g}-q+1=h^{0,2}-h^{0,1}+1.}$

노에더의 공식에 의해서도 $토드속{\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{1}{}}$ 12${\displaystyle }$(${\displaystyle {c\mathrm{}}_{}^{}}$ 1${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ + ${\displaystyle {c\mathrm{}}_{}}$2 )${\displaystyle }$.$${\$displaystyle {\tfrac {1}{1}}{12}(c_{$1}^{2}+$c_{2$})와 같다$.$$}$

• 복잡한 표면에 대한 두 번째 코호몰로지 그룹의 서명은 $\tau {\displaystyle }$ ${\displaystyle \tau$ $\}:$

${\displaystyle \tau =4\chi -e=\sum \sum \immits_{i,j}-1)^{j}h^{i,j}}$

• ${\displaystyle b^{}}$± ${\$ b$^{\pm }}$은(는) $H{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$,${\displaystyle$ H$^{2$}의 최대 양수 및 음수 확정 하위 공간의 치수로서, 다음과$$ 같다$$.

${\displaystyle {\case}b^{+}+b^{-}=b_{2}\b^{+}-b^{-}=\tau \case}}}}$

• c₂ = e 및 $c{\displaystyle {}_{}^{}}$ 1 ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}{}_{}^{}}$= ${\displaystyle {}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$= ${\displaystyle \mathrm{12}}$ ${\displaystyle \chi }$- e ${\displaystyle c_{1}^{2}=K^{2}=12\chi -e}$는 체르노믹스의 여러 다항식을 다지관 전체에 걸쳐 체르노믹 계급을 통합한 것으로 정의되는 체르노믹 번호다.

기타불변제

분류에 그리 많이 사용되지 않는 소형 복합 표면의 추가 불변성들이 있다.These include algebraic invariants such as the Picard group Pic(X) of divisors modulo linear equivalence, its quotient the Néron–Severi group NS(X) with rank the Picard number ρ, topological invariants such as the fundamental group π₁ and the integral homology and cohomology groups, and invariants of the underlying smooth 4-manifold such as the Sei버그-위튼 불변, 도날드슨 불변.

최소 모델 및 블로우업

어떤 표면이든 비음향 표면과 교배적이므로 대부분의 경우 비음향 표면을 분류하기에 충분하다.

표면에 어떤 점이 있으면 이 점을 폭파시켜 새로운 표면을 형성할 수 있는데, 대략 투사선 사본으로 대체한다는 뜻이다.이 글의 목적상, 비음향 표면 X는 점을 폭파하여 다른 비음향 표면에서 얻을 수 없는 경우 최소값이라고 한다.카스텔누오보의 수축 정리로는 X가 (-1)-커브(자기간격 번호 -1)-커브(자기간격 번호 -1로 부드러운 이성적 곡선)가 없다고 말하는 것과 같다.(최소모델 프로그램의 보다 현대적인 용어에서는 그 표준적인 선다발 K가_X nef라면 매끄러운 투영 표면 X는 최소라고 부를 것이다.부드러운 투영 표면은 코다이라 치수가 음이 아닐 경우에만 더 강한 의미에서 최소한의 모델을 가지고 있다.)

모든 표면 X는 최소 비음향 표면과 교배하며, 이 최소 비음향 표면은 X가 최소 0의 고다이라 치수를 가지거나 대수학이 아닌 경우에 독특하다.고다이라 치수의 대수 표면 -${\displaystyle \mathrm{}}$∞ ${\displaystyle -\infit }$은(는) 최소 비음속 표면 하나 이상에 대해 혼성적일 수 있지만$$, 이러한 최소 표면 간의 관계를 설명하기는 쉽다.예를 들어, 한 지점에서 폭파된 P¹ × P는¹ 두 번 폭파된 P에² 대해 이형성이다.따라서 모든 콤팩트한 복잡한 표면을 혼성 이형성까지 분류하려면 최소 비성형 표면을 분류하기에 충분하다(또는 그 이하).

고다이라 치수의 표면 -수치

$고다이라$ 치수의 대수적 표면은${\displaystyle \mathrm{}}$다음과 같이 $분류$할 수 있다$.$q > 0이면 알바니아 품종으로의 지도에는 투사선(표면이 최소인 경우)인 섬유가 있으므로 표면은 지배된 표면이다.q = 0이면 알바니아 품종이 포인트인 만큼 이 주장은 통하지 않지만, 이 경우 카스텔누오보의 정리는 표면이 이성적이라는 것을 내포하고 있다.

비알지브라 표면의 경우 고다이라가 7타입이라고 불리는 추가적인 종류의 표면을 발견했는데, 이 표면은 여전히 잘 이해되지 않는다.

합리적인 표면

합리적 표면은 복잡한 투영 평면 P에² 대한 표면 분리를 의미한다.이것들은 모두 대수학이다.최소한의 합리적 표면은 P² 그 자체로, Hirzebruch 표면 σ은_n n = 0 또는 n ≥ 2이다.(Hirzebruch 표면 σ은_n sheaf O(0) + O(n)와 연관된 P 위에¹ P다발이다¹.표면 σ은₀ P¹ × P에¹ 이형이며, σ은₁ 한 지점에서 폭파된 P에² 이형이기 때문에 최소치가 아니다.)

불변성:플뤼리게네라는 모두 0이고 근본 집단은 사소한 것이다.

호지 다이아몬드:

		1
	0		0
0		1		0	(투영면)
	0		0
		1

		1
	0		0
0		2		0	(Hirzebruch 표면)
	0		0
		1

예: P², P¹ × P¹ = σ₀, Hirzebruch 표면 σ_n, 사분면, 입방면, 델 페조 표면, 베로니지 표면.이 예들 중 많은 것들이 최소가 아니다.

속 > 0의 지배 표면

속 g의 지배 표면은 섬유질이 선 P인¹ 속 g의 곡선으로 매끄러운 형태론을 가지고 있다.그들은 모두 대수학이다.(0속은 Hirzebruch 표면으로 합리적이다.)모든 지배 표면은 고유 곡선 C에 대해 P¹ × C와 비균등적으로 동등하므로, 지배 표면의 균등성까지의 분류는 근본적으로 곡선의 분류와 동일하다.P¹ × P에¹ 대해 이형성이 아닌 지배된 표면은 독특한 판결을 가지고 있다(P¹ × P는¹ 2가 있다).

불변성:Plurigenera는 모두 0이다.

호지 다이아몬드:

		1
	g		g
0		2		0
	g		g
		1

예:0과 P의¹ 어떤 곡선의 산물.

7급 표면

이 표면들은 결코 대수학적이거나 케흘러적이지 않다.b₂ = 0인 최소형은 보고몰로프가 분류한 것으로 호프 표면 또는 이노우에 표면이다.두 번째 베티 수가 플러스인 예로는 이노우에-히르제브루치 표면, 에노키 표면, 그리고 보다 일반적으로 카토 표면이 있다.전지구적 구형 쉘 추정은 두 번째 베티 수가 양의 두 번째 베티 수를 가진 모든 최소 등급 VII 표면이 카토 표면이며, 이는 형식 VII 표면의 분류를 어느 정도 완료한다는 것을 의미한다.

불변제: q = 1, h^1,0 = 0. 모든 plurigenera는 0이다.

호지 다이아몬드:

		1
	0		1
0		b2		0
	1		0
		1

고다이라 치수 0의 표면

이러한 표면은 노에더의 공식 ${\displaystyle \mathrm{12\chi }}$= ${\displaystyle {c\mathrm{}}_{}}$ 2${\displaystyle {}_{}}$+ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}^{}}$ $.[\displaystyle 12\chi =c_{2}+c_{1$]부터 시작하여 분류된다.$}}^{2}.}$ 고다이라 치수 0의 경우$$ K는 자체와 교차로 번호가 0이므로 c $1{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$= ${\displaystyle 0.}$ ${\displaystyle c_{1}^{2}=0.}$ 사용$$

${\displaystyle {\regated}\chi &=h^{0,0}-h^{0,1}+h^{0,1}+h^{0,2}\c_{2}&=2-2b_{1}+b_{2}}}\end{정렬}}}$

도착지:

${\displaystyle 10+12h^{0,2}=8h^{0,1}+2\왼쪽(2h^{0,1}-b_{1}\오른쪽)+b_{2}}$

게다가 κ = 0이기 때문에 다음과 같다.

${\displaystyle h^{0,2}={\begin{case}1&K=0\\\0&{\text{otherwise}\case}}}$

이를 이전 방정식과 결합하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있는 것은 다음과 같다.

${\displaystyle 8h^{0,1}+2\좌측(2h^{0,1}-b_{1}\1}\우측)+b_{2}={\begin}22&K=0\\{\text}{otherwise}\case}}}}}}}$

일반적으로 2h^0,1 ≥ b이므로₁ 왼쪽의 3항은 음이 아닌 정수이며 이 방정식에 대한 해법은 몇 가지밖에 없다.

• 대수 표면의 경우 2h^0,1 - b는₁ 0과 2p_g 사이의 짝수 정수다.
• 콤팩트한 복합 표면의 경우 2h^0,1₁ - b = 0 또는 1
• Kahler 표면의 경우 2h^0,1 - b₁ = 0 및 h = h^1,00,1.

이러한 조건에 대한 대부분의 해결책은 다음 표와 같이 표면의 종류에 해당한다.

b2	b1	h0,1	pg = h0,2	h1,0	h1,1	표면	필드
22	0	0	1	0	20	K3	항상 복잡한 숫자보다는 케를러지만 대수학적으로 될 필요는 없어
10	0	0	0	0	10	클래식 엔리케스	아무거나, 항상 대수학이지
10	0	1	1			비클래식 엔리케스	특성만 2
6	4	2	1	2	4	아벨의 표면, 토리	항상 복잡한 숫자보다는 케를러지만 대수학적으로 될 필요는 없어
2	2	1	0	1	2	과대망상증	아무거나. 항상 대수학적으로.
2	2	2	1			준하이프렐립틱	특성 2, 3
4	3	2	1	1	2	제1차 고다이라	단지 복잡할 뿐, 결코 케흘러는 아니다.
0	1	1	0	0	0	2차 고다이라	단지 복잡할 뿐, 결코 케흘러는 아니다.

K3면

이것들은 q = 0을 가진 고다이라 치수 0의 최소 콤팩트 콤플렉스 표면과 사소한 표준 라인 번들이다.그들은 모두 칼러 다지관이다.모든 K3 표면은 차이점형이며, 이들의 차이점형 등급은 단순히 4-매니폴드로 연결된 매끄러운 스핀의 중요한 예다.

불변성:두 번째 코호몰로지 그룹 H²(X, Z)는 차원 22와 시그니처 -16의 고른 짝수 격자 II와_3,19 이형성이다.

호지 다이아몬드:

		1
	0		0
1		20		1
	0		0
		1

예:

• P³(C)의 Degree 4 adverurfaces
• 쿠머 표면.이것들은 자동형성 a → -a에 의해 아벨의 표면을 지수화한 다음 16개의 단수점을 폭파함으로써 얻어진다.

표시된 K3 표면은 K3 표면과 II에서_3,19 H²(X, Z)까지의 이형성과 함께 K3 표면이다.표시된 K3 표면의 모듈리 공간은 치수 20의 비하우스도르프 매끄러운 분석 공간과 연결된다.대수학 K3 표면은 그것의 19차원 하위 변수의 카운트 가능한 컬렉션을 형성한다.

아벨의 표면과 2차원 복합 토리

2차원 콤플렉스 토리에는 아벨의 표면이 포함되어 있다.1차원 콤플렉스 토리는 타원 곡선일 뿐 모두 대수학이지만 리만은 차원 2의 대부분의 복합 토리가 대수학이 아님을 발견했다.대수는 정확히 2차원 아벨리안 품종이다.이들의 이론은 대부분 고차원적 토리(tori)나 아벨리안 품종 이론의 특수한 경우다.2개의 타원곡선(이소생성까지)의 산물이 되는 기준은 19세기에 인기 있는 연구였다.

불변성:플뤼리게네라는 모두 1이다.표면은 S¹ × S¹ × S¹ × S × S에¹ 차이가 있으므로 기본 집단은⁴ Z이다.

호지 다이아몬드:

		1
	2		2
1		4		1
	2		2
		1

예제: 두 개의 타원형 곡선의 제품.속 2 곡선의 자코비안.격자가 C를² 나타내는 모든 지수.

고다이라 표면

이것들은 절대 대수학적이지는 않지만, 비일관적인 용모형 함수를 가지고 있다.보통 2개의 아형으로 나뉘는데, 그것은 사소한 표준 묶음을 가진 1차 고다이라 표면과 2차 고다이라 표면으로, 2차 고다이라 표면은 한정된 순서 2, 3차, 4차 또는 6차 그룹에 의해 이것들의 몫이며, 비교 표준 묶음을 가지고 있다.2차 고다이라 표면은 엔리케스 표면이 K3 표면과 동일하거나, 생물학적 표면이 아벨리아 표면과 동일하다.

불변성:표면이 k = 1, 2, 3, 4, 6 순서 그룹에 의한 1차 고다이라 표면의 몫이라면, n을 k로 분할하면 1이고_n, 그렇지 않으면 0이다.

호지 다이아몬드:

		1
	1		2
1		2		1	(1차)
	2		1
		1

		1
	0		1
0		0		0	(2차)
	1		0
		1

예:타원형 곡선 위에 비삼각형 선다발을 가져다가 0 부분을 제거한 다음, 어떤 복잡한 숫자 z의 힘에 의해 곱셈 역할을 하는 Z에 의한 섬유질을 지수화한다.이것은 1차 코다이라 표면을 제공한다.

엔리케스 표면

이것들은 q = 0과 표준 선다발과 같은 복잡한 표면이지만, 사소한 사각형을 가지고 있다.엔리케스 표면은 모두 대수적(따라서 케흘러)이다.그것들은 순서 2의 그룹에 의한 K3 표면의 인용구이며 그들의 이론은 대수 K3 표면의 것과 유사하다.

불변성:plurigenera P는_n n이 짝수일 경우 1이고 n이 홀수일 경우 0이다.기본 집단은 순서 2가 있다.두 번째 코호몰로지 그룹 H²(X, Z)는 차원 10의 짝수 격자 II와_1,9 시그니처 -8과 순서 2의 그룹을 합한 이형성이다.

호지 다이아몬드:

		1
	0		0
0		10		0
	0		0
		1

표시된 Enrike 표면은 연결된 10차원 패밀리를 형성하며, 이는 명시적으로 설명되어 있다.

특성 2에는 단수 및 초정렬 Enrikes 표면이라고 불리는 Enrikes 표면의 일부 추가 제품군이 있다. 자세한 내용은 Enrikes 표면의 기사를 참조하십시오.

과대망상(또는 생물학적) 표면

복잡한 숫자에 걸쳐 이것들은 유한한 자동화 그룹에 의한 두 타원곡선의 곱의 인용구들이다.유한 그룹은 Z/2Z, Z/2Z + Z/2Z, Z/3Z, Z/3Z, Z/3Z + Z/3Z, Z/4Z, Z/4Z, Z/4Z + Z/2Z 또는 Z/6Z가 될 수 있으며, 이러한 표면의 7개 제품군을 제공할 수 있다.특성 2 또는 3의 필드에는 비이탈 그룹 계획의 인용구를 통해 제공되는 일부 추가 패밀리가 있다. 자세한 내용은 과대망상 표면에 대한 기사를 참조하십시오.

호지 다이아몬드:

		1
	1		1
0		2		0
	1		1
		1

고다이라 치수 1의 표면

타원형 표면은 타원형 진동이 장치된 표면이다(단순히 많은 섬유들이 속 1의 부드러운 불분명한 곡선인 것처럼 곡선 B에 대한 돌출형 홀로모르픽 지도).그러한 진동의 일반 섬유는 B의 함수장 위에 있는 속 1 곡선이다.반대로, 곡선의 함수 필드 위에 1개의 속 곡선이 있는 경우, 상대적 최소 모델은 타원형 표면이다.고다이라 등은 모든 타원형 표면에 대해 상당히 완전한 설명을 했다.특히 고다이라씨는 가능한 단수 섬유의 완전한 목록을 주었다.타원 표면의 이론은 이산 평가 링(예: p-adic 정수의 고리)과 데데킨드 도메인(예: 숫자 필드의 정수 링)에 대한 타원 곡선의 적절한 정규 모델 이론과 유사하다.

유한 특성 2와 3에서는 또한 준 엘립틱 표면을 얻을 수 있는데, 이 표면의 섬유는 거의 모두 단일 노드를 가진 합리적인 곡선일 수 있는데, 이 곡선은 "감소 타원 곡선"이다.

고다이라 치수 1의 모든 표면은 타원형 표면(또는 특성 2나 3의 퀘이실릭 표면)이지만, 그 반대는 사실이 아니다: 타원형 표면은 고다이라 치수 -${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle$-$\},$ 0 또는 1을 가질 수 있다.모든 엔리케스 표면, 모든 과대망상 표면, 모든 코다이라 표면, 일부 K3 표면, 일부 아벨리안 표면, 그리고 일부 합리적인 표면은 타원형 표면이며, 이러한 예는 코다이라 치수가 1 미만이다.베이스 곡선 B가 적어도 속 2인 타원 표면은 항상 고다이라 치수 1을 가지지만, 고다이라 치수는 0이나 1의 B를 가진 일부 타원 표면의 경우에도 1일 수 있다.

불변성: ${\displaystyle c_{1}^{2}=0,c_{2}\geqslant 0.}$

예:E가 타원곡선이고 B가 적어도 2개의 속(속)의 곡선이라면 E×B는 고다이라 치수 1의 타원형 표면이다.

고다이라 치수 2의 표면(일반형 서페이스)

이것들은 모두 대수학이고, 어떤 의미에서는 대부분의 표면이 이 등급에 있다.기세커는 일반 유형의 표면에 거친 모듈리 방식이 있다는 것을 보여주었다; 이는 체르누스 수 c와²
₁₂ c의 고정 값에 대해 일반 유형의 표면을 체르누스 수치로 분류하는 준실사 방식이 있음을 의미한다.그러나 이러한 계획을 명시적으로 설명하는 것은 매우 어려운 문제이며, 이러한 계획이 수행된 체른 숫자의 쌍은 매우 적다(계획이 비어 있는 경우를 제외한다).

불변성:일반 유형의 최소 복합 표면의 체른 숫자가 충족해야 하는 몇 가지 조건이 있다.

• ${\displaystyle c_{1}^{2},c_{2}>0}$
• ${\displaystyle c_{}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ 3 ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$보고몰로프-미야오카–)야우 부등식)
• ${\displaystyle 5}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ -${\displaystyle {}_{}^{}}$c ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$+ ${\displaystyle 36}$ ${\displaystyle ⩾}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 5c_{1}^{2}-c_{2}+36\geqslant 0}($노에더 불평등)
• ${\displaystyle c_{1}^{2}+c_{1}}\equiv 0{\bmod{1}:{1}2}}.}$

이러한 조건을 만족하는 대부분의 정수는 일반 유형의 복잡한 표면에 대한 체르누스 수이다.

예:가장 간단한 예는 최소 2개의 속과 최소³ 5개의 정도의 초급면이라는 두 개의 곡선의 산물이다.많은 다른 공사들이 알려져 있다.그러나 큰 체르누스 수치에 대해 일반 유형의 "일반적인" 표면을 생산할 수 있는 알려진 구조는 없다. 사실 일반 유형의 "일반적인" 표면의 합리적인 개념이 있는지 조차 알려져 있지 않다.대부분의 힐버트 모듈러 표면, 가짜 투영 평면, 바로우 표면 등을 포함한 다른 많은 예들이 발견되었다.

참고 항목

• 대수표면 목록

참조

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외부 링크

• Le superficie algebriche는 Pieter Belmans와 Johan Commelin에 의해 엔리케스-코다이라 분류의 쌍방향 시각화다.