이노우에 표면

복잡한 기하학에서 이노우에 표면은 고다이라 7급의 여러 복잡한 표면 중 하나이다.1974년 고다이라 7급 표면의 최초의 비비례적인 예를 든 이노우에 마사히사의 이름을 딴 것이다.^[1]

이노우에 표면은 케흘러 다지관이 아니다.

b₂ = 0인 이노우에 표면

이노우에 씨는 $C{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle H\mathbb{}}$ ${\$ {$C} \timees \mathb {H}}($반평면에 의한 복잡한 평면의 제품)의 콤팩트한 인용구인⁰ S, S, S⁺⁻, S 세 계열을 소개했다.이노우에 표면은 솔브마니폴즈 입니다.$C{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\displaystyle \times H}$에서 홀로모형으로 작용하는$$해결 가능한 이산형 그룹에 의해$$ $C{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\displaystyle \times }$ H ${\$ {$H}$\$displaystyle \mathb$ {$C} \times \mathb {H}$의 인수로 구한다$.$

이노우에 의해 구성된 solvmanifold 표면은 모두 두 번째 베티 번호 ${\displaystyle {b\mathrm{}}_{}}$ 2 = $[\displaystyle b_{2}=0$}을$($를) 가지고 있다$.$이 표면들은}과 고다이라 치수∞{-\infty\displaystyle}− b1=1{\displaystyle b_{1}=1을 갖고 있다는 의미 고다이라 클래스 7세, Bogomolov,[2]Li–Yau[3]과 Teleman[4]에 의해 수업이 7세 b2=0{\textstyle b_{2}=0에 어떤 표면}은 호프 표면 또는Inoue-type solvmanifol한 것으로 판명되고 있다.d

이러한 표면은 용적함수와 곡선이 없다.

K. 하세가와는 모든 복잡한 2차원 솔브마니폴드의 리스트를 제시한다; 이것들은 복잡한 토러스, 초경량 표면, 고다이라 표면, 이노우에 표면 S⁰, S⁺, S, S⁻.

이노우에 표면은 다음과 같이 명시적으로 구성된다.^[5]

S형⁰ 중

α 2c업무를 두가지 복잡한 eigenvalues α,α ¯{\displaystyle \alpha,{\overline{\alpha}}}과 진정한 고유치 c>1,=1{\displaystyle \alpha ^{2}c=1}과 φ 정수 3×3매트릭스, 할게. 그러면 φ의 정수를 넘어섰고, 정수의 그룹, Z의 액션을 정의합니다,{\mathbb{\displaystyle 가역다.Z}$,}$은(는$)$ Z 3 {\$displaystyle \$${\displaystyle mathb\mathbb{}}$ {Z}$^{3$$}}$의${\displaystyle }$$\$$displaystyle$ :=\mathb {$Z}{3$}\$rtimes \$mathb {$Z}}}.}$ 이 그룹은$$ 해결 가능한 Lie 그룹의 격자.

${\displaystyle \mathb {R}^{3}\rtimes \mathb {R} =(\mathb {C}\time \mathb {R} )\rtimes \mathb {R},}$

acting on ${\displaystyle \mathbb {C} \times \mathbb {R} ,}$ with the ${\displaystyle (\mathbb {C} \times \mathbb {R} )}$-part acting by translations and the ${\displaystyle \rtimes \mathbb {R} }$-part as ${\displaystyle (z,r)\mapsto (\alpha ^{t}z,c^{t}r)$$.}$

우리는 C×H=C×R×R을,{C}\times{R}\times \mathbb{R}^{>0}\mathbb 0{\displaystyle \mathbb{C}\times{H}=\mathbb \mathbb}의⋊ R{\displaystyle \rtimes{R\mathbb}}-part의 t가 매개 변수 ↦ e로그 ⁡ ctv{\displaystylev\mapsto e^{\log ct}v}, v을 설정하여 이 조치를 확장합니다.${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle R\mathbb{}}$, ${\displaystyle \mathb {R} ^{3}\rtimes \mathb {R}},},$ R$3{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\$$${$R}{3}}}}$ 인자에$$ 대해 사소한 작용을 한다이 작용은 분명히 홀로모르픽이며, ${\displaystyle 지수\mathbb{}}$ $C{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\displaystyle \times }$ H /${\displaystyle \gamma \mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathb$ {$C} \time \mathb {H} /\Gamma$}은(는) 타입 $S{\displaystyle {}^{}}$ $0$의 이노우에 표면이라고 불린다$$${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaysty$ S$^{0}.}$

타입⁰ S의 이노우에 표면은 상기와 같이 제약을 받는 정수 행렬 φ의 선택에 의해 결정된다.그러한 표면은 셀 수 없이 많다.

S형⁺ 중

$n$을 양의 정수로 하고, ${\displaystyle {\lambda n}_{}}$ ${\$은(는) 상위 삼각 행렬의 그룹이다$$.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&x&z/n\\\0&1&y\\0&1\end{bmatrix},\qquad x,y,z\in \mathb {Z}.}$

The quotient of ${\displaystyle \Lambda _{n}}$ by its center C is ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$. Let φ be an automorphism of ${\displaystyle \Lambda _{n}}$, we assume that φ acts on ${\displaystyle \Lambda _{n}/C=\mathbb {Z} ^{2}}$ as a matrix with two positive real eigenvalues a, b, and ab = 1. Consider the solvable group ${\displaystyle \Gamma _{n}:=\Lambda _{n}\rtimes \mathbb {Z} ,}$ with ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ acting on ${\displaystyle \Lambda _{n}}$ as φ.Identifying the group of upper triangular matrices with ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3},}$ we obtain an action of ${\displaystyle \Gamma _{n}}$ on ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}=\mathbb {C} \times \mathbb {R} .}$ Define an action of ${\displaystyle \Gamma _{n}}$ on C×H=C×R×R>{C}\times{R}\times \mathbb{R}^{>0}\mathbb 0{\displaystyle \mathbb{C}\times}Λ n{\displaystyle \Lambda_{n}과} 하찮게 R에 대해 연기{H}=\mathbb \mathbb;0{\displaystyle \mathbb{R}^{>0}}-part과 Z{\displaystyle \mathbb{Z}}듯이 말이죠. v↦ et${\displaystyle v\mapsto e^{t\log b}v.}$$$ 타입 $S{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}^{}}$ ${\$의 이노우에 표면과 동일한 인수는 이 작용이 홀로모르픽임을 보여준다$$.지수 $C{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle H\mathbb{}}$ /${\displaystyle {\gamma n}_{}}$ ${\$을(를) 타입 $S{\displaystyle {}^{}}$+${\displaystyle {}^{}}$. ${\displaystyle$ S$^{+}$의 이노우에 표면이라고 한다$$.

S형⁻ 중

$S{\displaystyle {}^{}}$ -${\$ 타입의 이노우에 표면은 S와⁺ 동일한 방식으로$$ 정의되지만, ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ 2$${\$displaystyle \mathb{Z}^{2$}}에 작용하는 b의 b의 고유값 a는 반대 기호를 가지며$$ ab = -1을 만족시킨다.그러한 내형성의 사각형은 S형의⁺ 이노우에 표면을 정의하기 때문에 S형의⁻ 이노우에 표면은 S형의⁺ 미묘화 이중 커버를 가지고 있다.

포물선 및 쌍곡 이노우에 표면

포물선 및 쌍곡선 이노우에 표면은 1984년 나카무라 이쿠가 정의한 고다이라 7급 표면이다.^[6]그들은 solvmanifolds가 아니다.이 표면에는 두 번째 베티 숫자가 양수로 표시된다.그들은 구형의 조개껍질을 가지고 있고, 부풀어 오른 호프 표면으로 변형될 수 있다.

포물선 이노우에 표면에는 0자간격과 타원곡선이 있는 합리적인 곡선의 주기가 포함되어 있다.에노키 표면의 특별한 경우로 타원형 곡선이 없는 타원형 곡선은 0이다.하프 이노우에 표면은 합리적인 곡선의 사이클 C를 포함하며, 두 개의 합리적인 곡선의 사이클이 있는 쌍곡선 이노우에 표면의 지수다.

쌍곡선 이노우에 표면은 합리적인 곡선의 두 사이클을 가진 7등급₀ 표면이다.^[7]포물선과 쌍곡선 표면은 카토 표면이라고도 불리는 지구 구형 쉘(GSS)을 가진 최소 표면의 특별한 경우다.이 모든 표면은 돌이킬 수 없는 수축에 의해 형성될 수 있다.^[8]

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