7급 표면

수학에서 7등급의 표면은 고다이라 치수 -∞과 첫 번째 베티 넘버 1을 가진 (고다이라 1964, 1968년)이 연구한 비알제브라 복합 표면이다.7등급의 최소 표면(자기간격 -1이 있는 합리적인 곡선이 없는 표면)을 7등급의₀ 표면이라고 한다.모든 등급 VII 표면은 고유한 최소 등급 VII 표면과 결합하며, 유한한 횟수의 점들을 폭파함으로써 이 최소 표면에서 얻을 수 있다.

"7급"이라는 이름은 (고다이라 1964년, 정리 21)에서 유래되었는데, 최소한의 표면을 I부터₀ VII까지₀ 7등급으로 나누었다.그러나 고다이라 7급은₀ 고다이라 치수가 - -이라는 조건이 아니라 기하속은 0이라는 조건이 붙었다.그 결과, 그의 7등급에는₀ 2등급 고다이라 표면과 같은 일부 다른 표면도 포함되었는데, 고다이라 치수 -∞이 없기 때문에 더 이상 7등급으로 간주되지 않는다.등급 7의 최소 표면은 (고다이라 1968, 정리 55)의 표면 목록에 "7"로 번호가 매겨진 등급이다.

불변제

불규칙 q는 1, h^1,0 = 0. 모든 plurigenera는 0이다.

호지 다이아몬드:

		1
	0		1
0		b2		0
	1		0
		1

예

홉프 표면은 개별 그룹 G가 자유롭게 행동하는 C-²(0,0)의 인수로, 두 번째 베티 수가 소멸한다.가장 간단한 예는 G를 정수로 가져가는 것인데, 2의 힘에 의해 곱셈으로 작용한다; 해당하는 Hopf 표면은 S¹×S와³ 차이점이다.

이노우에 표면은 범용 커버가 C×H인 특정 등급 VII 표면이며, 여기서 H는 상부 반쪽 면이다(그래서 그것들은 자동화 그룹에 의한 이것의 비율이다).그들은 두 번째 베티 숫자를 잃어버렸다.

이노우에-히르제브루치 표면, 에노키 표면, 카토 표면은 b₂ > 0의 형식 VII 표면의 예를 제시한다.

분류 및 전역 구형 쉘

두 번째 베티 번호 b₂=0을 가진 최소 등급 VII 표면은 보고몰로프(1976년, 1982년)에 의해 분류되었으며, 호프 표면 또는 이노우에 표면이다.b₂=1을 가진 사람들은 표면에 곡선이 있다는 추가적인 가정 하에 나카무라(1984b)에 의해 분류되었고, 후에 텔레만(2005)에 의해 증명되었다.

글로벌 구면 쉘(Kato 1978)은² C에서 구면 인접성과 인접성을 가진 인접성과 함께 연결된 보완성을 가진 표면의 매끄러운 3-sphere이다.전지구적 구면 껍데기 추측에 따르면 두 번째 베티 숫자가 플러스인 모든₀ 7등급 표면은 전지구적 구면 껍데기를 가지고 있다고 한다.전지구적 구면 껍질이 있는 다지관은 모두 가토 표면으로, 합리적으로 잘 이해되기 때문에 이러한 추측의 증거는 7형 표면의 분류로 이어질 것이다.

두 번째 Betti₂ 번호 b의 등급 VII 표면은 최대 b의₂ 합리적 곡선을 가지고 있으며, 글로벌 구면 쉘을 가진 경우 정확히 이 숫자를 가지고 있다.반대로 Georges Dloussky, Karl Oeljekla, Matei Toma(2003)는 양성 두 번째 Betti 번호 b를₂ 가진 최소 등급 VII 표면이 정확히 b의₂ 이성적인 곡선을 가지고 있다면 지구적인 구형 쉘을 가지고 있다는 것을 보여주었다.

사라지는 두 번째 베티 숫자를 가진 타입 VII 표면의 경우, 1차 호프 표면은 전역 구형 쉘을 가지고 있지만, 2차 호프 표면과 이노우에 표면은 그들의 기본 그룹이 무한 순환이 아니기 때문에 그렇지 않다.후자의 표면에서 점들을 폭파하면 구면 쉘이 없는 양의 두 번째 베티 번호를 가진 최소 등급의 VII 표면을 얻을 수 있다.

참조

• Barth, Wolf P.; Hulek, Klaus; Peters, Chris A.M.; Van de Ven, Antonius (2004), Compact Complex Surfaces, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge., vol. 4, Springer-Verlag, Berlin, ISBN 978-3-540-00832-3, MR 2030225
• Bogomolov, Fedor A. (1976), "Classification of surfaces of class VII₀ with b₂=0", Izvestiya Akademii Nauk SSSR. Seriya Matematicheskaya, 10 (2): 273–288, ISSN 0373-2436, MR 0427325
• Bogomolov, Fedor A. (1982), "Surfaces of class VII₀ and affine geometry", Izvestiya Akademii Nauk SSSR. Seriya Matematicheskaya, 46 (4): 710–761, Bibcode:1983IzMat..21...31B, doi:10.1070/IM1983v021n01ABEH001640, ISSN 0373-2436, MR 0670164
• Dloussky, Georges; Oeljeklaus, Karl; Toma, Matei (2003), "Class VII₀ surfaces with b₂ curves", The Tohoku Mathematical Journal, Second Series, 55 (2): 283–309, arXiv:math/0201010, doi:10.2748/tmj/1113246942, ISSN 0040-8735, MR 1979500
• Kato, Masahide (1978), "Compact complex manifolds containing "global" spherical shells. I", Proceedings of the International Symposium on Algebraic Geometry (Kyoto Univ., Kyoto, 1977), Tokyo: Kinokuniya Book Store, pp. 45–84, MR 0578853
• Kodaira, Kunihiko (1964), "On the structure of compact complex analytic surfaces. I", American Journal of Mathematics, The Johns Hopkins University Press, 86 (4): 751–798, doi:10.2307/2373157, ISSN 0002-9327, JSTOR 2373157, MR 0187255
• Kodaira, Kunihiko (1968), "On the structure of complex analytic surfaces. IV", American Journal of Mathematics, The Johns Hopkins University Press, 90 (4): 1048–1066, doi:10.2307/2373289, ISSN 0002-9327, JSTOR 2373289, MR 0239114
• Nakamura, Iku (1984a), "On surfaces of class VII₀ with curves", Inventiones Mathematicae, 78 (3): 393–443, Bibcode:1984InMat..78..393N, doi:10.1007/BF01388444, ISSN 0020-9910, MR 0768987
• Nakamura, Iku (1984b), "Classification of non-Kähler complex surfaces", Mathematical Society of Japan. Sugaku (Mathematics), 36 (2): 110–124, ISSN 0039-470X, MR 0780359
• Nakamura, I. (2008), "Survey on VII₀ surfaces", Recent Developments in NonKaehler Geometry, Sapporo (PDF)
• Teleman, Andrei (2005), "Donaldson theory on non-Kählerian surfaces and class VII surfaces with b₂=1", Inventiones Mathematicae, 162 (3): 493–521, arXiv:0704.2638, Bibcode:2005InMat.162..493T, doi:10.1007/s00222-005-0451-2, ISSN 0020-9910, MR 2198220