성장률(집단이론)

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기하학적 그룹 이론의 수학 과목에서 대칭 생성 집합에 대한 그룹의 성장률은 그룹이 얼마나 빨리 성장하는지를 설명한다.그룹 내 모든 요소는 생성자의 산물로 작성할 수 있으며, 성장률은 길이 n의 산물로 작성할 수 있는 원소의 수를 계산한다.

정의

G가 정밀하게 생성된 그룹이며, T는 유한 대칭 발생기 집합(대칭은 x${\displaystyle x}$ T ${\displaystyle$ x$\in$ T$}$이면 x${\displaystyle {}^{}}$- 1 ${\displaystyle \mathrm{1<img\; alt="x\backslash in\; T"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/c7c507e969d5146c8e2343bb2bc383a3b13b1a6a"\; style="vertical-align:\; -0.338ex;\; width:5.807ex;\; height:2.176ex;"\; papago-attr-id="31">}{}^{}}$T ${\displaystyle x^{-1}\in$ T$})$이라고 가정한다.$$모든 요소 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$G ${\displaystyle x\in$ G$}$은(는) T-알파벳의 단어로 표현될$$ 수 있다.

${\displaystyle x=a_{1}\cdot a_{2}\cdots a_{k}{\text{여기서 }a_{i}\in T.}$

그러한 길이의 단어로 표현할 수 있는 G의 모든 원소의 부분집합을 고려한다. ≤ n

${\displaystyle B_{n}(G,T)=\{x\in G\mid x=a_{1}\cdot a_{2}\cdots a_{k}{\text{{}{{}\where}a_{i}\text{}\cdata.}$

이 집합은 생성 집합 T:에 대해 G의 미터법 d 단어에 있는 반경 n의 닫힌 공일 뿐이다.

${\displaystyle B_{n}(G,T)=\{x\in G\mid d(x,e)\leq n\}.}$

보다 기하학적으로 ${\displaystyle {Bn}_{}}$(${\displaystyle G}$, ${\displaystyle T}$) ${\displaystyle B_{n}(G,T)}$은 정체성의 거리 n 내에 있는 T에 관한 Cayley 그래프의 정점 집합이다$$.

모든 양의 정수 n에 대해 상수 C가 있는 경우, 두 개의 비감소 양성함수 a와 b가 동등하다고 말할 수 있다(${\displaystyle }$~ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a\sim b$

${\displaystyle a(n/C)\leq b(n)\leq a(Cn)\,}$

예$$: ${\displaystyle n^{}}$ ~${\displaystyle {}^{}{}^{}}$ ${\displaystyle n^{}}$ ${\$ p$^{n}\sim q^{n},$> ${\displaystyle p,q>1$

그룹 G의 성장률은 함수의 해당 동등성 등급으로 정의될 수 있다.

${\displaystyle \#(n)=B_{n}(G,T) ,}$

where ${\displaystyle B_{n}(G,T) }$ denotes the number of elements in the set ${\displaystyle B_{n}(G,T)}$. Although the function ${\displaystyle \#(n)}$ depends on the set of generators T its rate of growth does not (see below) and therefore the rate of growth gives an invarian집단의 t

$미터법$ ${\displaystyle d}$라는 단어는 $생성{\displaystyle {}_{}}$ 집합 T에 ${\displaystyle \mathrm{따라}}$ $달라진다.$그러나 그러한 두 가지 지표는 다음과 같은 의미에서 빌리프치츠 등가물이다: 유한 대칭 생성 집합 E, F의 경우 다음과 같은 양의 상수 C가 있다.

${\displaystyle {1 \over C}\d_{F}(x,y)\leq d_{E}(x,y)\leq C\d_{F}(x,y).}$

이 불평등의 즉각적인 귀결로서 우리는 성장률이 세트생산의 선택에 좌우되지 않는다는 것을 알게 된다.

다항식 및 지수 성장

만약

${\displaystyle \#(n)\leq C(n^{k}+1)}$

일부 , < ${\displaystyle C,k<\fty }$에 대해 우리는 G가 다항식 성장률을 가지고 있다고 말한다.그러한 k의 최소$$ $k{\displaystyle {}_{}}$ ${\$을 다항성장의 순서라고 한다.그로모프의 정리에 따르면 다항성장의 집단은 사실상 영일증집단으로, 즉 유한지수의 영일증집단을 가지고 있다.특히 다항식 성장 $k{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$의 순서는 자연수여야 하며$$, 실제로${\displaystyle \mathrm{}}$# ${\displaystyle (n}$)${\displaystyle }$~ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {k{}_{}}^{}}$ ${\displaystyle {{0\mathrm{}}_{}}^{}}$ ${\$ n$^{k_$0}}}}}.

만약${\displaystyle }$#${\displaystyle }$(${\displaystyle n}$ ) ${\displaystyle \ge }$ (n ) ≥$$($n)\#(n)\geq$ a$^{n$$}}$ 일부 > ${\displaystyle a>1$}에$$ 대해 ${\displaystyle {우리}^{}}$는 G가 지수 성장률을 가지고 있다고 말한다.미세하게 생성되는 모든 G는 최대 기하급수적으로 성장한다. 즉, 일부 > ${\displaystyle b>1}$에 대해서는${\displaystyle \mathrm{}}$# ${\displaystyle (n)}$ ${\displaystyle b^{}}$ ${\$)\#(n$)\leq$ b$^{n}}$가 있다$.$

$\#{\displaystyle \mathrm{}}$(${\displaystyle n}$) ${\displaystyle \#(n)}$이(가) 어떤 지수함수보다 더 느리게 성장하면$$ G는 하위급 성장률을 가진다.그런 집단은 누구나 응대할 수 있다.

예

• 유한 계급 > ${\displaystyle k >1}$의 자유 집단은 지수 성장률을 가진다.
• 유한 그룹은 일정한 성장(즉, 다항식 성장 순서 0)을 가지며, 여기에는 범용 커버가 소형인 다지관의 기본 그룹이 포함된다.
• M이 음극 곡선 리만 다지관이라면, 그 기본 그룹 ${\displaystyle \pi }$ 1${\displaystyle {}_{}}$( M )${\displaystyle \pi _{1}(M)}$은 지수 성장률을 가진다$$.존 밀너는 ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$( M ) {\$displaystyle \pi _{1}(M)}$의 단어 미터법이 M의 보편적 표지에 준등각이라는 사실을$$ 사용하여 이를 증명했다.
• 자유 아벨 그룹 $Z{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$는 다항식 성장률을 가지고 있다$$.
• 이산 하이젠베르크 그룹 $H{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$ ${\$은 다항식 성장률이 순서 4이다$$.이 사실은 그로모프의 정리 기사에서 논의되는 하이만 바스와 이브 기바치의 총정리 특수한 경우다.
• 램플레이터 그룹은 기하급수적으로 성장한다.
• 중간성장을 하는 집단의 존재, 즉 하위성장이지만 다항식이 아닌 집단의 존재는 여러 해 동안 개방되어 있었다.이 질문은 1968년 밀노르에 의해 제기되었고 마침내 1984년 로스티슬라프 그리고르추크에 의해 긍정적인 답변을 받았다.이 분야에는 아직 공개적인 질문이 있고 어떤 성장 질서가 가능하고 어떤 것이 누락되지 않았는지 완전한 그림이 있다.
• 삼각형 집단은 무한히 많은 유한 집단(구체에 해당하는 구형 그룹), 2차 성장 세 집단(유클리드 평면에 해당하는 유클리드 그룹), 그리고 무한히 많은 지수 성장 집단( 쌍곡면에 해당하는 쌍곡성 그룹)을 포함한다.

참고 항목

• 등차 불평등에 대한 연결

참조

• Milnor J. (1968). "A note on curvature and fundamental group". Journal of Differential Geometry. 2: 1–7. doi:10.4310/jdg/1214501132.
• Grigorchuk R. I. (1984). "Degrees of growth of finitely generated groups and the theory of invariant means". Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat. (in Russian). 48 (5): 939–985.

추가 읽기

• Rostislav Grigorchuk and Igor Pak (2006). "Groups of Intermediate Growth: an Introduction for Beginners". arXiv:math.GR/0607384.