닫힌 지오데식

미분 기하학 및 동력학 시스템에서 리만 다지관의 폐쇄형 지오데믹은 동일한 접선 방향으로 출발점으로 돌아가는 지오데틱이다. 다지관의 접선 공간에 지오데틱 흐름의 닫힌 궤도를 투영하는 것으로 공식화할 수 있다.

정의

리만 다지관(M,g)에서 닫힌 지오데틱은 $\gamma :\mathbb {R} \rightarrow M$ : $\gamma :\mathbb {R} \rightarrow M$ → M $\gamma :\mathb {R} \rightarrow M$ 곡선으로, 메트릭 $\gamma :\mathbb {R} \rightarrow M$ g의 지오데틱이며 주기적이다.

폐쇄형 지오디컬은 가변 원리로 특징지어질 수 있다. $\Lambda M$ M $\Lambda M$ 에 의한 부드러운 1주기 곡선 공간 $\Lambda M$ , 기간 1의 닫힌 지오디컬은 정확히 에너지 함수 E $E:\Lambda M\rightarrow \mathbb {R}$ : $E:\Lambda M\rightarrow \mathbb {R}$ $E:\Lambda M\rightarrow \mathbb {R}$ → $E:\Lambda M\rightarrow \mathbb {R}$ ${\$ E $:\LambDA M:\rightarrow \mathb {R$ 에 의해 정의된 에너지 $E:\Lambda M\rightarrow \mathbb {R}$ E : \ M.

E(\gamma )=\int _{0}^{1}g_{\gamma(t)}}({\dot {\gamma })(t), {\dot {\gamma }\mathrm {d}t.

$\gamma$ $\gamma$ 이 $\gamma$ (가) period p의 폐쇄형 지오데틱인 경우 reparametried curve t $t\mapsto \gamma (pt)$ ( $t\mapsto \gamma (pt)$ t $){\displaysty t\mapsto \gamma(pt)}$ 은 $t\mapsto\gamma(pt)$ periiodes의 폐쇄형 지오데, 따라서 E의 임계점이다. $\gamma$ ${\displaystyle$ $\$ $gamma$ }이 $($ $\gamma ^{m}(t):=\gamma (mt)$ ) E의 임계점인 $\gamma$ 경우, $\gamma ^{m}(t):=\gamma (mt)$ m $\gamma ^{m}(t):=\gamma (mt)$ $displaystyle \gamma$ $^{m$ $\gamma ^{m}$ 로 정의된 각 $m\in \mathbb {N}$ $m\in \mathbb {N}$ $\gamma ^{m}(t):=\gamma (mt)$ ${\$ $\gamma ^{m}(t):=\gamma (mt)$ $in$ $\$ $mattb$ {n $\gamma ^{m}(t):=\gamma (mt)$ 에 대해 다시 정렬된 곡선도 $\gamma ^{m}$ 인 것이다 $.$ $=\buffer (mt)}$ . 따라서 M에 있는 모든 닫힌 지오데틱은 에너지 E의 임계점의 무한 시퀀스를 발생시킨다.

예

표준 라운드 리만 메트릭스가 있는 $S^{n}\subset \mathbb {R} ^{n+1}$ 단위 구 S $S^{n}\subset \mathbb {R} ^{n+1}$ $S^{n}\subset \mathbb {R} ^{n+1}$ $S^{n}\subset \mathbb {R} ^{n+1}$ $S^{n}\subset \mathbb {R} ^{n+1}$ + $S^{n}\subset \mathbb {R} ^{n+1}$ ${\$ 에서 모든 큰 원은 닫힌 지오데틱의 예다. 따라서 구체에서는 모든 지오디컬이 닫혀 있다. 위상학적으로 구와 동등한 평탄한 표면에서는 이것이 사실이 아닐 수도 있지만,^[1] 항상 최소 3개의 단순한 폐쇄형 지오데오데오데오데오데오데오데오데오데오데오데오데오데오데오데오데오데오데오데오데오데오데오데오스의 정리인 것이다 지질학적으로 폐쇄된 다지관은 모두 수학 문헌에서 철저히 조사되었다. 기본 그룹이 비틀리지 않는 콤팩트 쌍곡선 표면에서 닫힌 지오디컬은 표면의 후치안 그룹에 있는 원소의 비종교 결합 등급과 일대일 일치한다.

참고 항목

참조

^ Grayson, Matthew A. (1989), "Shortening embedded curves" (PDF), Annals of Mathematics, Second Series, 129 (1): 71–111, doi:10.2307/1971486, JSTOR 1971486, MR 0979601.

베세, A.: "지오디컬이 닫힌 모든 것을 매니폴드" 에르헤비스 그렌즈게브. 수학, 93번, 베를린 스프링거, 1978년

[1] Grayson, Matthew A. (1989), "Shortening embedded curves" (PDF), Annals of Mathematics, Second Series, 129 (1): 71–111, doi:10.2307/1971486, JSTOR 1971486, MR 0979601.

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