아벨-루피니 정리

수학에서 아벨-루피니 정리(Abel-Ruffini theorem, 아벨의 불가능성 정리라고도 함)는 임의의 계수를 갖는 5차 이상의 일반 다항식에 대한 해는 라디칼에서 존재하지 않는다는 것을 말합니다. 여기서 일반적인 의미는 방정식의 계수를 불확정으로 보고 조작하는 것을 의미합니다.

이 정리는 1799년에^[1] 불완전한 증명을 한 파올로 루피니(Paolo Ruffini)와 1824년에^[2] 증명을 제공한 닐스 헨리크 아벨(Niels Henrik Abel)의 이름을 따서 명명되었습니다.^[3][4]

또한 아벨-루피니 정리는 라디칼로 풀 수 없는 5차 이상의 방정식이 있다는 약간 더 강한 결과를 말합니다. 이것은 아벨의 정리에 대한 진술에서 나온 것이 아니라 증명의 결과입니다. 왜냐하면 그의 증명은 방정식의 계수에 있는 일부 다항식이 영 다항식이 아니라는 사실에 기초하고 있기 때문입니다. 이 개선된 진술은 갈루아 이론 § 해결할 수 없는 5차적인 예에서 직접적으로 이어집니다. 갈루아 이론은 또한 다음을 암시합니다.

${\displaystyle x^{5}-x-1=0}$

는 라디칼에서는 풀 수 없는 가장 간단한 방정식이며, 5도 이상의 거의 모든 다항식은 라디칼에서는 풀 수 없다는 것입니다.

5도 이상의 풀이는 2도, 3도, 4도에 대해 각각 2차 공식, 3차 공식, 4차 공식을 갖는 것과 대비됩니다.

맥락

2차 방정식은 고대부터 알려진 2차 공식으로 풀 수 있습니다. 마찬가지로 3도에 대한 3차 공식과 4도에 대한 4차 공식은 16세기에 발견되었습니다. 그 당시 근본적인 문제는 더 높은 차수의 방정식을 비슷한 방법으로 풀 수 있는가 하는 것이었습니다.

양의 차수를 가진 모든 다항식에 해가 존재한다는 사실은 17세기 동안 주장되었지만, 19세기 초에야 완전히 증명되었습니다. 이것은 대수학의 기본 정리인데, 뉴턴의 방법이 원하는 정확도로 해를 근사할 수 있게 해주긴 하지만 정확한 해를 계산하기 위한 어떤 도구도 제공하지 않습니다.

16세기부터 19세기 초까지 대수학의 주요 문제는 5차 이상의 다항식의 해를 구하는 공식을 찾는 것이었고, 따라서 "대수학의 기본 정리"라는 이름이 붙여졌습니다. 이것은 라디칼에서의 해, 즉 방정식의 계수만을 포함하는 식과 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈, n번째 근 추출의 연산을 의미했습니다.

아벨-루피니 정리는 이것이 불가능하다는 것을 증명합니다. 그러나 이 불가능성이 어떤 정도의 특정 방정식을 라디칼로 풀 수 없다는 것을 의미하지는 않습니다. 반대로, 라디칼에서 풀 수 있는 어떤 정도의 방정식도 있습니다. 이것은 임의의 n에 대한 $방정식$ x ${\displaystyle \mathrm{n}{}^{}}$- 1 = ${\$displaystyle x^{n}-1 = 0}의 경우이며, 모든 해는 라디칼로 표현될 수 있습니다.

아벨의 정리 증명에는 라디칼로 풀 수 없는 특정 방정식이 있다는 주장이 명시적으로 포함되어 있지 않습니다. 이러한 주장은 아벨의 정리 진술의 결과가 아닙니다. 그 진술은 "모든 특정 5차 방정식이 각 방정식에 대한 특별한 공식으로 용해될 수 있다"는 가능성을 배제하지 않기 때문입니다.^[5] 그러나 이 증명은 계수의 일부 다항식이 영 다항식이 아니라는 사실을 사용하고 유한한 수의 다항식이 주어졌을 때, 라디칼에서 풀 수 없는 특정 방정식의 존재는 아벨의 증명의 결과로 보입니다. 어떤 다항식도 0의 값을 취하지 않는 변수의 값이 있습니다.

아벨이 증명을 발표한 직후, 에바리스트 갈루아는 현재 갈루아 이론이라고 불리는 이론을 소개했는데, 이 이론은 어떤 주어진 방정식에 대해서도 그것이 급진적으로 해결될 수 있는지 여부를 결정할 수 있게 합니다. 이것은 전자 컴퓨터가 등장하기 전에는 순전히 이론적인 것이었습니다. 현대 컴퓨터와 프로그램을 사용하면 다항식을 라디칼로 풀 수 있는지 여부를 결정하는 것은 31도 다항식까지 할 수 있습니다.^{[citation needed]} 해결 가능한 다항식의 라디칼로 솔루션을 계산하려면 막대한 계산이 필요하며 2023년^[update] 현재 7도 이상의 다항식에 대해 구현된 알고리즘이 발표되지 않았습니다.^{[citation needed]} 5도라 하더라도 솔루션의 표현이 너무 커서 실질적인 관심이 없습니다.

증명

아벨-루피니 정리의 증명은 갈루아 이론보다 앞서 있습니다. 그러나 갈루아 이론은 이 주제에 대한 더 나은 이해를 가능하게 하며, 현대적인 증명은 일반적으로 이 이론에 기반을 두고 있는 반면, 아벨-루피니 정리의 원래 증명은 여전히 역사적 목적으로 제시됩니다.^[1][6][7][8]

갈루아 이론에 기초한 증명은 크게 네 단계로 구성됩니다: 필드 이론의 관점에서 풀 수 있는 방정식의 특성화; 주어진 필드의 부분 필드와 해당 갈루아 그룹의 부분 필드 사이의 갈루아 대응을 사용하여 이 특성을 풀 수 있는 그룹의 관점에서 표현함; 대칭 그룹이 아님을 증명합니다. 그 차수가 5 이상이면 풀 수 있고, 대칭 갈루아 군을 갖는 다항식의 존재.

대수적 해와 장론

다항식의 대수적 해는 네 가지 기본 산술 연산( 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈)과 근 추출을 포함하는 표현입니다. 이와 같은 표현은 풀어야 할 방정식의 계수에서 출발하여 일부 숫자를 차례로 계산하여 진행하는 계산에 대한 설명으로 볼 수 있습니다.

계산의 각 단계에서 지금까지 계산된 모든 숫자를 포함하는 가장 작은 필드를 고려할 수 있습니다. 이 필드는 n번째 루트 계산과 관련된 단계에 대해서만 변경됩니다.

따라서 대수적 해는 수열을 생성합니다.

${\displaystyle F_{0}\subseteq F_{1}\subseteq \cdots \subseteq F_{k}}$

of fields, and elements ${\displaystyle x_{i}\in F_{i}}$ such that ${\displaystyle F_{i}=F_{i-1}(x_{i})}$ for ${\displaystyle i=1,\ldots ,k,}$ with ${\displaystyle x_{i}^{n_{i}}\in F_{i-1}}$ for some integer ${\$$displaystyle n_{i}>1.}$ ${\displaystyle {초기}_{}}$ 다항식의 대수적 해는 $Fk$ {\displaystyle $F_{k}$가 해를 포함하는$$ 필드의 시퀀스가 존재하는 경우에만 존재합니다.

이론의 기본이 되는 정규 확장을 가지려면 필드의 순서를 다음과 같이 정교화해야 합니다. If ${\displaystyle F_{i-1}}$ does not contain all ${\displaystyle n_{i}}$-th roots of unity, one introduces the field ${\displaystyle K_{i}}$ that extends ${\displaystyle F_{i-1}}$ by a primitive root of unity, $그리고{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {Fi}_{}}$ ${\$를 ${\displaystyle {Ki}_{}{xi}_{}}$)로$$ 재정의합니다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle K_{i}(x_{i}).$$}$

그래서 라디칼의 관점에서 어떤 용액에서 출발하면 마지막 것이 용액을 포함하도록 필드의 순서가 증가하고 각각은 순환하는 갈루아 그룹을 가진 이전 것의 정상적인 확장입니다.

반대로, 만약 어떤 사람이 그런 일련의 필드를 가지고 있다면, 그 방정식은 라디칼의 관점에서 풀 수 있습니다. 이를 증명하기 위해서는 순환 갈루아 군을 갖는 정상적인 확장이 일련의 급진적 확장으로부터 구축될 수 있음을 증명하는 것으로 충분합니다.

갈루아 통신

Galois 대응은 일반 필드 확장 $F{\displaystyle /E}$ ${\displaystyle F/E}$의 하위 확장과$$ 확장의 Galois 그룹의 하위 확장 간의 일대일 대응을 설정합니다. ${\displaystyle 이}$ 대응은 $이러한$ E ⊆ K ⊆ F {\$displaystyle E\subseteq$ K\subseteq F} 필드 K를$그룹$ Gal$$⁡ (F$$/ K) ${\displaystyle \operatorname$ {Gal} (F/K)에 매핑하고, 반대로, ${\displaystyle Gal}$ ⁡${\displaystyle }$(F $/$ E) ${\displaystyle \operatorname {Gal}$ (F/E)}의 부분군 H를 H로 고정된 F의 요소 필드에 매핑합니다.

앞 절은 분할 필드의 갈루아 그룹(근을 모두 포함하는 가장 작은 필드)이 풀 수 있는 경우에만 라디칼 측면에서 방정식을 풀 수 있음을 보여줍니다. 즉, 앞 절에서 각각이 정상이고 순환하는 몫 그룹이 있는 부분군의 시퀀스를 포함합니다. (해소 가능한 군은 일반적으로 순환 몫 군 대신 아벨리안을 사용하여 정의되지만 유한 아벨리안 군의 기본 정리는 두 정의가 동등하다는 것을 보여줍니다.)

따라서 아벨-루피니 정리를 증명하기 위해서는 ${\displaystyle {대칭군\mathrm{}}_{}}$ S5$${\$displaystyle S_{$5}}가$$ 풀이 불가능하고, 대칭 갈루아 군을 갖는 다항식이 존재한다는 것을 증명해야 합니다.

가환대칭군

n > 4인 경우, n차의 대칭 그룹 ${\displaystyle {Sn}_{}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}_{n}}$는 중요하지 않은 정규 부분군으로 교대 그룹 ${\displaystyle {An}_{}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}_{n}}$만 있습니다(대칭 그룹 § 정규 부분군 참조). n > 4인 경우, 교대군 ${\displaystyle A_{}}$ ${\$는 벨리언이 아니며 단순합니다(즉, 사소하지 않은 정규 부분군을 갖지 않음). ${\displaystyle {이것}_{}}$은 n > 4에 $대해$ An {\$displaystyle {\mathcal${A$}$${\displaystyle {\_}_{}}${$n$}} 및 N {\$displaystyle${\mathcal {S$}_{n}}$ 모두 해결할 수 없음을 의미합니다. 따라서 아벨-루피니 정리는 대칭적인 갈루아 군을 갖는 다항식의 존재로 인해 발생하며, 이는 다음 절에서 보여질 것입니다.

반면, n ≤ 4인 경우 대칭군과 그 부분군은 모두 풀 수 있습니다. 이것은 2차, 3차, 4차 공식의 존재를 설명합니다. 왜냐하면 갈루아 이론의 주요 결과는 다항식이 갈루아 군이 풀릴 수 있는 경우에만 라디칼에서 해를 갖는다는 것입니다("해소 가능한 군"이라는 용어는 이 정리에서 유래합니다).

대칭 갈루아 군을 갖는 다항식

일반방정식

차수 n의 일반 또는 일반 다항식은 다음과 같습니다.

${\displaystyle x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\cdots +a_{n-1}x+a_{n}=0,}$

$여기$서 ${\displaystyle a_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}\dots ,}$ ${\$는 불확정적으로 구별됩니다$$. 이것은 유리수 계수가 있는 1, …, {\displaystyle a_{1},\dots,a_{n}의 유리 분수의 $F$ = Q (${\displaystyle {}_{}}$ 1$,$${\displaystyle \dots ,}$ ${\displaystyle n_{}}$) ${\displaystyle$ F =\mathbb {Q}(a_{1},\ldots,a_{n}) 필드에 정의된 방정식입니다. 원래의 아벨-루피니 정리는 n > 4일 때, 이 방정식은 라디칼에서 풀 수 없다고 주장합니다. 앞의 부분을 보면, 이는 방정식의 F 위의 갈루아 군이 $대칭군{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle {Sn}_{}}${\$displaystyle${\$mathcal {S}_{n}}($이 갈루아 군은 F의 원소를 고정하는 방정식의 분할장의 장 자기동형의 군이며, 여기서 분할장은 모든 근을 포함하는 가장 작은 장입니다. 식)의

갈루아 군이 ${\displaystyle {Sn}_{}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{n}$임을 증명하기 위해서는 근으로부터 시작하는 것이 더 쉽습니다$$. $x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}\dots ,}$ x ${\displaystyle n_{}}$ ${\$를 새로운 불확정 요소로 하고, 근을 목표로 하고 다항식을 고려해 보자.

${\displaystyle P(x)=x^{n}+b_{1}x^{n-1}+\cdots +b_{n-1}x+b_{n}=(x-x_{1})\cdots (x-x_{n}).}$

$H$ = ${\displaystyle Q}$(${\displaystyle {}_{}}$1,$$${\displaystyle \dots ,}$ ${\displaystyle x_{}}$ n$$) ${\displaystyle$ H =\$mathbb {$Q$}$ (x_${1},\ldots,$x_{n})}를 x 1, …, x n, {\displaystyle x_{1},\ldots,x_{n}} 및 K = Q (b 1, …, b) {\displaystyle K =\mathbb {Q} (b_{1},\ldots,$b_{n}}$은(는) $P{\displaystyle (x}$)의 계수로 생성된 하위 필드입니다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle$ P$(x).$$}$${\displaystyle {xi}_{}}$ ${\$의 순열은 H의 자기 동형을 유도합니다$$. 비에타의 공식은 K의 모든 원소가 ${\displaystyle {xi}_{}}$ ${\displaystyle x_{i}$의 대칭 함수이므로 이러한$$ 모든 자기 동형에 의해 고정됨을 의미합니다. 다음은 Galois 그룹 ${\displaystyle Gal}$⁡${\displaystyle (}$H$/K$) ${\displaystyle \operatorname {Gal}($H/K)}이 $대칭{\displaystyle {그룹}_{}}$S. ${\displaystyle$ {\$mathcal {S}$_{n}입니다.$}$

대칭 다항식의 기본 정리는 ${\displaystyle {bi}_{}}$ ${\$가 대수적으로 독립적이며, 따라서 각 ${\displaystyle {ai}_{}}${\$displaystyle a_{i}$를 $해당{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {bi}_{}}${\$displaystyle b_{i}$로 보내는 지도가 F에서 K까지의 필드 동형임을 의미합니다. 즉, $일반$ 방정식으로 ${\displaystyle \mathrm{P}(x}$) = 0 ${\$displaystyle P(x) = 0}을(를) 고려할 수 있습니다. 이것은 일반 방정식의 갈루아 군이 대칭군이라는 증명을 완료하고, 따라서 n > 4에 대한 일반 다항식이 라디칼에서 해결될 수 없다고 주장하는 원래의 아벨-루피니 정리를 증명합니다.

명시적 예시

${\displaystyle \mathrm{x}}$ 5${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle x}$- ${\displaystyle 1}$ = 0${\$displaystyle x^{5}-x-1 = 0} 방정식은 아래에서 설명하듯이 라디칼에서 풀 수 없습니다.

q를 x $5{\displaystyle {}^{}}$ -${\displaystyle {}^{}{x\mathrm{}}^{}}$ -${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle$ x$^{5}-x-1}$이라 하자$.$ G를 q의 복소수 근들의 집합에 충실하게 작용하는 갈루아 군이라 하자. 근들에 번호를 매김으로써 G를 대칭군 $S{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle 5_{\mathrm{}}}$ ${\$ {S$}_{5}의$부분군과 식별할 수 있습니다$.$ ${\displaystyle q}$ mod ${\displaystyle 2}$ ${\$$displaystyle$ $q{\bmod$ {$2}}$ 인자는$$ ($x{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$${\displaystyle }$2 +${\displaystyle {}_{}}$${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$ +${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle )(}$x${\displaystyle {3\mathrm{}}^{}}$ +${\displaystyle {}^{}{}^{}}$ 2 +${\displaystyle {}^{}1}$)${\displaystyle$ ($x^{2}+x1)(x$${\displaystyle ^\{}$$3$$}+x^{2$$}+1$$)}$이므로$,$ ${\displaystyle {}_{}}$ G는 길이 2와$3$의 서로소 사이클의 곱인 치환 g를 포함합니다$($$일반적$으로, 모닉 정수 다항식이 모듈로 소수를 서로 다른 모닉 축소 불가능 다항식의 곱으로 줄이는 경우, 인자의 정도는 Galois 그룹에 속하는 일부 순열에서 서로소인 사이클의 길이를 제공합니다. 그러면 G는 전치인$$${\displaystyle {g3\mathrm{}}^{}}${\$displaystyle$ g$^{3}}$도 포함합니다. ${\displaystyle q\mathrm{}}$ ${\displaystyle mod}$ 3 ${\$ {$3}}$은 F $3{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ [${\displaystyle {}_{}x}$ ]${\displaystyle$ \$mathbb$ {F$} _{3}[x]}$에서 축소할 수 없으므로$$$,$ 같은 원리로 G가 5-사이클을 포함한다는 것을 알 수 있습니다. 5는 소수이므로 $S$ ${\displaystyle 5_{}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}_{5}$의 임의의 전치와 5-사이클은 전체 그룹을 생성합니다. 대칭 그룹 § 생성자 및 관계를 참조하십시오. $따라서$ G = ${\displaystyle S_{}}$ 5${\displaystyle$ G = {\$mathcal$ {S}_${5}}$이다. 군 S 5 {\displaystyle {\mathcal {S}_{5}}는 풀 수 없으므로, 방정식 x 5 - x - 1 = 0 {\displaystyle x^{5}-x-1=0}은 라디칼에서 풀 수 없습니다.

케일리의 결심

특정 5진법이 라디칼에서 해결 가능한지 여부를 테스트하는 것은 케일리의 분해능을 사용하여 수행할 수 있습니다. 이것은 계수가 일반적인 5진법의 계수에서 다항식인 6차의 일변량 다항식입니다. 특정 환원 불가능한 5차 방정식은 케일리의 분해능에서 계수를 대체할 때 생성된 6차 다항식이 유리근을 갖는 경우에만 라디칼에서 해결할 수 있습니다.

역사

1770년경, 조셉 루이스 라그랑주는 방정식을 풀기 위해 그 때까지 사용되었던 많은 다른 방법들을 라그랑주 분해물의 형태로 순열 군 이론과 연관시키는 기초 작업을 시작했습니다.^[9] 라그랑주의 이 혁신적인 연구는 갈루아 이론의 전조였으며, 5차 이상 방정식에 대한 해를 개발하지 못한 것은 그러한 해가 불가능할 수 있음을 암시했지만 결정적인 증거를 제공하지는 못했습니다. 5진법을 라디칼로 푸는 문제는 해결이 불가능할 수도 있다고 추측한 첫 번째 사람은 칼 프리드리히 가우스였습니다. 그는 1798년 저서 《산술의 발견》(1801년에야 출판)의 359절에서 "이 문제가 현대의 분석 방법을 거스르지 않는다는 것은 의심의 여지가 없다"고 썼습니다. 다음 해, 그의 논문에서, 그는 "많은 기하학자들의 노력이 대수학적으로 일반 방정식의 분해능에 도달할 수 있다는 희망을 거의 남기지 않은 후, 이 분해능은 불가능하고 모순될 가능성이 점점 더 높아집니다"라고 썼습니다. 그리고 그는 "아마도 5급에 대한 불가능성을 엄격하게 증명하는 것은 그렇게 어렵지 않을 것입니다. 나는 다른 곳에서 이에 대한 조사를 더 길게 할 것입니다." 사실, 가우스는 이 주제에 대해 다른 것은 발표하지 않았습니다.^[1]

이 정리는 1799년 파올로 루피니에 의해 처음으로 거의 증명되었습니다.^[10] 라그랑주(답장을 하지 않은)와 오귀스트랭-루이 코시(Augustin-Louis Cauchy)는 "일반적인 방정식 해법에 대한 당신의 회고록은 제가 항상 수학자들이 기억해야 한다고 믿었던 작품이며, 제 생각에는, 결론적으로 4차 이상의 일반 방정식의 대수적 불해소성을 증명합니다."^[11] 그러나 일반적으로 루피니의 증명은 설득력이 없다고 여겨졌습니다. 아벨은 다음과 같이 썼습니다: "제가 틀리지 않았다면, 제 앞에서 일반 방정식의 대수적 해의 불가능성을 증명하려고 노력한 유일한 사람은 수학자 루피니입니다. 그러나 그의 회고록은 매우 복잡해서 그의 주장의 타당성을 판단하기가 매우 어렵습니다. 그의 주장이 완전히 만족스럽지는 못한 것 같습니다."^[11][12]

또한 나중에 발견된 것처럼 증명도 불완전했습니다. 루피니는 자신이 다루는 모든 라디칼은 필드 연산만으로 다항식의 근으로부터 표현될 수 있다고 가정했고, 현대 용어로 그는 라디칼이 다항식의 분할장에 속한다고 가정했습니다. 이것이 왜 정말로 추가적인 가정인지 알아보려면, 예를 들어 다항식 $P$(${\displaystyle x)}$ = ${\displaystyle x^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$-$$15 x - 20 {\displaystyle P(x) = x^{3}-15x-20}을 생각해 보십시오. 카르다노 공식에 따르면, 그 근들 중 하나는 다음과 같습니다. actually) can be expressed as the sum of a cube root of ${\displaystyle 10+5i}$ with a cube root of ${\displaystyle 10-5i}$. On the other hand, since ${\displaystyle P(-3)<0}$, ${\displaystyle P(-2)>0}$, ${\displaystyle P(-1)<0}$, and ${\displaystyle P(5)>0}$, the roots ${\displaystyle r_{1}}$, ${\displaystyle r_{2}}$, and ${\displaystyle r_{3}}$ of ${\displaystyle P(x)}$ are all real and therefore the field ${\displaystyle \mathbf {Q} (r_{1},r_{2},$$r_{3}}$은(는) $R{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$의 하위 필드입니다$.$ 그러나 숫자 ${\displaystyle 10}$± 5 ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle 10\pm 5i}$은(는) $($ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ r ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ 3) {\$displaystyle \mathbf {Q$}(r_${1}, r_{2$}, r_${3})$에 속할$$ 수 없습니다$.$ Cauchy는 Ruffini의 가정을 눈치채지 못했거나 사소한 가정이라고 느꼈지만, 대부분의 역사가들은 아벨이 일반 다항식의 경우 가정이 성립한다고 주장하는 자연 불합리에 대한 정리를 증명하기 전까지는 증명이 완전하지 않았다고 믿고 있습니다.^[7][13] 따라서 아벨-루피니 정리는 1824년에 단 여섯 페이지로 압축된 증명을 발표한 아벨에게 일반적으로 인정됩니다.^[3] (아벨은 종이와 돈을 절약하기 위해 매우 간결한 스타일을 채택했습니다. 증명은 자신의 비용으로 인쇄되었습니다.)^[8] 이 증명의 더 정교한 버전은 1826년에 출판될 것입니다.^[4]

아벨-루피니 정리가 정확하게 어떤 5차 방정식이 라디칼에 의해 해결되지 않는다는 것을 증명하는 것은 문제를 완전히 해결하지 못했습니다. 왜냐하면 아벨-루피니 정리가 라디칼에 의해 해결되지 않는 5차 방정식을 말하는 데 필요하고 충분한 조건을 제공하지 않기 때문입니다. 아벨은 1829년에 사망했을 때 완전한 특성화 작업을 하고 있었습니다.^[14]

네이선 제이콥슨(Nathan Jacobson)에 따르면 "루피니와 아벨의 증명은 곧 방정식 이론에서 갈루아의 발견이라는 이 연구의 최고 업적으로 대체되었습니다."^[15] 1830년, 갈루아(18세)는 파리 과학 아카데미에 라디칼에 의한 용해성 이론에 대한 회고록을 제출했지만, 결국 1831년에 너무 개략적이고 방정식의 계수 대신 근의 관점에서 조건을 제시했다는 이유로 거절당했습니다. 갈루아는 루피니와 아벨의 공헌을 알고 있었습니다. 오늘날 4도 이상의 일반 방정식은 급진파에 의해 해결될 수 없다는 것이 일반적인 진리입니다. 기하학자들이 아벨과 루피니의 증명을 무시해 왔음에도 불구하고 이 진리는 (풍문으로) 일반화되었습니다.."^[1]그 후^[1] 갈루아는 1832년에 사망했고, 그의 논문 Mémoire surles conditions de resolubilité des équations parradicaux는^[16] 1846년까지 출판되지 않은 채로 남아 있었고, 그 때 조셉 리우빌이 그의 설명을 몇 가지 첨부했습니다.^[14] 이 출판에 앞서 리우빌은 1843년 7월 4일 그가 한 연설에서 갈루아의 결과를 아카데미에 발표했습니다.^[5] 아벨의 증명을 단순화한 것이 1845년 피에르 완첼에 의해 발표되었습니다.^[17] Wantzel이 그것을 발표했을 때, 그는 이미 Galois의 기여를 알고 있었고, 그는 아벨의 증명이 일반 다항식에만 유효한 반면, Galois의 접근법을 사용하여 그 계수로부터 근을 라디칼로 표현할 수 없는 5도의 구체적인 다항식을 제공할 수 있다고 언급합니다.

1963년 블라디미르 아놀드는 위상 갈루아 이론의 출발점이 ^[18][19][20]된 아벨-루피니 정리의 위상 증명을 발견했습니다.^[21]

참고문헌