쌍곡선 평형점

동적계통의 연구에서 쌍곡 평형점이나 쌍곡 고정점은 중심 다지관이 없는 고정점이다.쌍곡점 근처에서 2차원 비분열 시스템의 궤도는 쌍곡선과 유사하다.이것은 일반적으로 유지되지 않는다.스트로갓츠는 "하이퍼볼릭은 '새들 포인트'를 의미하는 것처럼 들리지만, 그것이 표준이 되었다"^[1]고 지적했다.쌍곡점 부근에 여러 가지 속성이 있는데^[2], 특히 그렇다.

• 안정된 다지관과 불안정한 다지관이 존재하며
• 섀도잉이 발생하고,
• 불변 세트의 역학은 상징 역학을 통해 표현될 수 있다.
• 자연적인 척도가 정의될 수 있다.
• 그 시스템은 구조적으로 안정적이다.

지도

If ${\displaystyle T\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$ is a C¹ map and p is a fixed point then p is said to be a hyperbolic fixed point when the Jacobian matrix ${\displaystyle \operatorname {D} T(p)}$ has no eigenvalues on the unit circle.

유일하게 고정된 지점이 쌍곡선인 지도의 한 예로 아놀드의 고양이 지도가 있다.

${\displaystyle {\bmatrix}x_{n+1}\y_{n+1}\end{bmatrix}}={\\nmatrix}1&1\\1&2\end{bmatrix}{\nmatrix}x_{n}\n}\end{bmatrix}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}"$

고유값은 다음에 의해 주어지기 때문에

${\displaystyle \lambda _{1}={\frac {3+{\sqrt{5}}{2}}:}$

${\displaystyle \lambda _{2}={\frac {3-{\sqrt{5}}{2}}:}$

우리는 랴푸노프 지수를 다음과 같이 알고 있다.

${\displaystyle \lambda _{1}={\frac {\ln(3+{\sqrt{5}}}}{2}}}>1}$

${\displaystyle \lambda _{2}={\frac {\ln(3-{\sqrt{5}}}}{2}}<1}$

그러므로 그것은 안장점이다.

흐름

F${\displaystyle }$: ${\displaystyle {}^{}}$→ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\${R$} ^n}}}$은(는) 임계점 p, 즉 F(p) = 0을 갖는 C¹ 벡터 필드로 JJ는 p에서 F의 Jacobian 행렬을 나타내도록 한다.만일 행렬 J가 0 실제 부품을 가진 고유값을 가지고 있지 않다면 p를 쌍곡선이라고 한다.쌍곡선 고정점은 쌍곡선 임계점 또는 기본 임계점이라고도 할 수 있다.^[3]

하트만-그로브만 정리는 쌍곡 평형점 부근에 있는 동적 시스템의 궤도 구조가 선형화된 동적 시스템의 궤도 구조와 토폴로지적으로 동등하다고 기술하고 있다.

예

비선형 시스템 고려

${\displaystyle {\regated}{\frac {dx}{dt}&=y,\\[5pt]{ddy}{dt}}{dt}&=-x-x^{3}-\message y, ~\neq 0\end{aigned}}}}}}}}}}}}}$

(0, 0)만이 평형점이다.평형에서의 선형화는

${\displaystyle J(0,0)=\left[{\begin{array}{rr}0&1\-1&-\alpha \end{array}\right].}$

이 행렬의 고유값은${\displaystyle \frac{\mathrm{-\alpha }}{}}$± ${\displaystyle \frac{\alpha \sqrt{{}^{}}}{}}$ ${\displaystyle \frac{\sqrt{{2\mathrm{}}^{}}}{}}$- ${\displaystyle \frac{4}{\mathrm{}}}$ ${\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{}}$ ${\$이다$.$ α α 0의 모든 값에 대해 고유값은 0이 아닌 실제 부분을 갖는다.따라서 이 평형점은 쌍곡선 평형점이다.선형화된 시스템은 (0, 0)에 가까운 비선형 시스템과 유사하게 동작할 것이다.α = 0일 때, 시스템은 (0, 0)에서 비대칭 평형을 가진다.

평.

무한 치수 시스템(예: 시간 지연을 포함하는 시스템)의 경우, "스펙트럼의 하이퍼볼릭 부분"의 개념은 위의 속성을 가리킨다.

참고 항목

• 아노소프 흐름
• 쌍곡선 집합
• 보통 쌍곡 불변 다지관

메모들

참조

• Eugene M. Izhikevich (ed.). "Equilibrium". Scholarpedia.