한센의 문제

한센의 문제는 평면 측량에서의 문제인데, 덴마크의 측지 측량을 연구한 천문학자 피터 안드레아스 한센(1795–1874)의 이름을 딴 것이다.알려진 점 A와 B 두 개와 알려지지 않은₁ 점 P와₂ P 두 개가 있다.관찰자는 P와₁ P로부터₂ 시선에 의해 만들어진 각도를 다른 세 점에 각각 측정한다.문제는 P와₁ P의₂ 위치를 찾는 것이다.그림 참조; 측정된 각도는 (α₁, β₁, α₂, β₂)이다.

알 수 없는 지점에서 이루어진 각도의 관측을 수반하기 때문에, 문제는 (교차로와는 반대로) 절제술의 예다.

솔루션 방법 개요

다음 각도를 정의한다: δ = PAP₁₂₁₂, Δ = PBP₂, ψ = PAB, ψ = PBA₁.첫 번째 단계로 φ과 ψ을 위해 해결할 것이다.이 두 미지의 각도의 합은 β와₁ β의₂ 합과 같으며, 방정식을 산출한다.

\phi +\properties =\properties _{1}+\properties _{2}.

두 번째 방정식은 다음과 같이 더욱 힘겹게 찾을 수 있다.씨인의 법칙은 수확한다.

{\frac {AB}{P_{2}B}}={\frac {\sin \alpha _{2}}{\sin \phi }}

{\frac {AB}{P_{2}B}}={\frac {\sin \alpha _{2}}{\sin \phi }}

{\frac {AB}{P_{2}B}}={\frac {\sin \alpha _{2}}{\sin \phi }}

{\frac {AB}{P_{2}B}}={\frac {\sin \alpha _{2}}{\sin \phi }}

{\frac {AB}{P_{2}B}}={\frac {\sin \alpha _{2}}{\sin \phi }}

=

{\frac {AB}{P_{2}B}}={\frac {\sin \alpha _{2}}{\sin \phi }}

{\frac {AB}{P_{2}B}}={\frac {\sin \alpha _{2}}{\sin \phi }}

{\frac {AB}{P_{2}B}}={\frac {\sin \alpha _{2}}{\sin \phi }}

{\

및

{\frac {AB}{P_{2}B}}={\frac {\sin \alpha _{2}}{\sin \phi }}

{\frac {P_{2}B}{P_{1}P_{2}}={\frac {\sin \beta _{1}{1}{\sin \delta }}}}.

이것들을 합치면, 우리는 얻을 수 있다.

{\frac {AB}{P_{1}P_{2}}={\frac {\sin \sin \alpha _{2}\sin \beta _{1}{\sin \phi \delta }}}}.

반대쪽에서의 완전히 유사한 추론

{\frac {AB}{P_{1}P_{2}}={\frac {\sin \sin \alpha _{1}\sin \beta _{2}}:{\sin \psi \sin \gamma }}}}}}.

이 두 개 값을 동일하게 설정하면

{\frac {\sin \phi }{\sin \phi }}}={\frac \}{2}\sin \sin \pin \pin \{1}{1}\sin \pin \{2}}=k.

알려진 삼각계 정격을 사용하여 사인 비율을 각도 차이의 탄젠트로 표시할 수 있다.

\tan {\frac {\phi -\phi }{2}}={\frac {k-1}{k+1}}\tan {\frac {\phi +\phi }{2}.

여기서 ${k=}{\frac {\sin \phi }{\sin \psi }}.$ = ${k=}{\frac {\sin \phi }{\sin \psi }}.$ ${k=}{\frac {\sin \phi }{\sin \psi }}.$ ${k=}{\frac {\sin \phi }{\sin \psi }}.$ ${k=}{\frac {\sin \phi }{\sin \psi }}.$ ⁡ ${k=}{\frac {\sin \phi }{\sin \psi }}.$ . ${\displaystyle {k=}{\frac {\sin \psi }{\sin \psi }}.$ $}$

이것이 우리가 필요로 하는 두 번째 방정식이다.미지의 두 $\phi$ 방정식인 $\{\$ $displaystyle \pi }$ 과 $\phi$ ${\$ $displaystyle \psi$ $}$ 을(를) 풀면 ${\frac {AB}{P_{1}P_{2}}}$ 의 두 식 중 ${\frac {AB}{P_{1}P_{2}}}$ 를 ${\frac {AB}{P_{1}P_{2}}}$ 가 $알려져$ 있으므로 PP를₁₂ 찾을 수 있다 $.$ 그러면 우리는 씨네들의 법칙을 이용하여 다른 모든 부분을 찾을 수 있다.^[1]

솔루션 알고리즘

4개 각도(α₁, β₁, α₂, β₂)와 거리 AB가 주어진다.계산은 다음과 같이 진행된다.

Calculate ${\displaystyle \gamma =\pi -\alpha _{1}-\beta _{1}-\beta _{2},\quad \delta =\pi -\alpha _{2}-\beta _{1}-\beta _{2}.$ $}$
계산 $k={\frac {\sin \gamma \sin \alpha _{2}\sin \beta _{1}}{\sin \delta \sin \alpha _{1}\sin \beta _{2}}}.$ = $k={\frac {\sin \gamma \sin \alpha _{2}\sin \beta _{1}}{\sin \delta \sin \alpha _{1}\sin \beta _{2}}}.$ $k={\frac {\sin \gamma \sin \alpha _{2}\sin \beta _{1}}{\sin \delta \sin \alpha _{1}\sin \beta _{2}}}.$ $k={\frac {\sin \gamma \sin \alpha _{2}\sin \beta _{1}}{\sin \delta \sin \alpha _{1}\sin \beta _{2}}}.$ $k={\frac {\sin \gamma \sin \alpha _{2}\sin \beta _{1}}{\sin \delta \sin \alpha _{1}\sin \beta _{2}}}.$ $k={\frac {\sin \gamma \sin \alpha _{2}\sin \beta _{1}}{\sin \delta \sin \alpha _{1}\sin \beta _{2}}}.$ $k={\frac {\sin \gamma \sin \alpha _{2}\sin \beta _{1}}{\sin \delta \sin \alpha _{1}\sin \beta _{2}}}.$ $k={\frac {\sin \gamma \sin \alpha _{2}\sin \beta _{1}}{\sin \delta \sin \alpha _{1}\sin \beta _{2}}}.$ $k={\frac {\sin \gamma \sin \alpha _{2}\sin \beta _{1}}{\sin \delta \sin \alpha _{1}\sin \beta _{2}}}.$ sin $k={\frac {\sin \gamma \sin \alpha _{2}\sin \beta _{1}}{\sin \delta \sin \alpha _{1}\sin \beta _{2}}}.$ $k={\frac {\sin \gamma \sin \alpha _{2}\sin \beta _{1}}{\sin \delta \sin \alpha _{1}\sin \beta _{2}}}.$ α $k={\frac {\sin \gamma \sin \alpha _{2}\sin \beta _{1}}{\sin \delta \sin \alpha _{1}\sin \beta _{2}}}.$ $k={\frac {\sin \gamma \sin \alpha _{2}\sin \beta _{1}}{\sin \delta \sin \alpha _{1}\sin \beta _{2}}}.$ $k={\frac {\sin \gamma \sin \alpha _{2}\sin \beta _{1}}{\sin \delta \sin \alpha _{1}\sin \beta _{2}}}.$ 1 $k={\frac {\sin \gamma \sin \alpha _{2}\sin \beta _{1}}{\sin \delta \sin \alpha _{1}\sin \beta _{2}}}.$ 2 $k={\frac {\sin \gamma \sin \alpha _{2}\sin \beta _{1}}{\sin \delta \sin \alpha _{1}\sin \beta _{2}}}.$ . ${\displaystyle k={\frac \\\\\sin \alpha _{2}\n1$ }{\ $sin \delta \nalpha \{$ 1} $beta$ }}. $}$
Let $s=\beta _{1}+\beta _{2},\quad d=2\arctan \left[{\frac {k-1}{k+1}}\tan(s/2)\right]$ and then ${\displaystyle \phi =(s+d)/2,\quad \psi =(s-d)/2.$ $}$
계산하다 $P_{1}P_{2}=AB{\frac {\sin \phi \sin \delta }{\sin \alpha _{2}\sin \beta _{1}:{1}$ 또는 동등하게 $P_{1}P_{2}=AB{\frac {\sin \psi \sin \gamma }{\sin \alpha _{1}\sin \beta _{2}}.$ 이러한 분수 중 하나가 0에 가까운 분모를 갖는 경우 다른 분수를 사용하십시오.