스큐즈 수

수학의 해결되지 않은 문제:

가장 작은 스큐의 번호는 무엇입니까?

수론에서, 스큐즈 수는 남아프리카 수학자 스탠리 스큐즈가 가장 작은 $x$ 자연수 $x$ $x$ 의 상한으로 사용한 몇 가지 큰 수 중 하나입니다.

\pi(x)>\operatorname {li}(x),

$여기$ 서 π는 소수 counting $함수$ 이고 li는 로그 적분 함수입니다. 스큐즈의 수는 훨씬 더 크지만 이제 $\pi (x)<\operatorname {li} (x)$ π( $x$ $\pi (x)>\operatorname {li} (x)$ < $\pi (x)>\operatorname {li} (x)$ ⁡ $e^{727.95133}<1.397\times 10^{316}.$ x) ${\displaystyle$ \ $pi$ (x $)<\operatorname$ {li}(x)}와 π(x) > li ⁡(x) ${\$ displaystyle \pi(x $)>\$ operatorname {li}(x)} 근처의 e727.95133 < 1.397 × 10 316. {\displaystyle e^{727.95133}<1.397\times 10^{316}. $e^{727.95133}<1.397\times 10^{316}.$ 가장 작은 건널목인지는 알 수 없습니다.

스큐즈 수

스큐스의 연구 감독관이었던 J.E. 리틀우드는 리틀우드 (1914)에서 그러한 수가 있다는 것을 증명했고, 실제로 차이 $\pi (x)-\operatorname {li} (x)$ π ( $\pi (x)-\operatorname {li} (x)$ ) $\pi (x)-\operatorname {li} (x)$ - $\pi (x)-\operatorname {li} (x)$ ⁡ (x ) ${\displaystyle$ \ $pi$ (x $)-\operatorname$ {li} (x)}의 부호가 무한히 많이 바뀐다는 것을 발견했습니다. 그 당시 사용 가능한 모든 수치 증거는 $\pi (x)$ π (x) ${\displaystyle \$ pi (x))가 항상 $\operatorname {li} (x).$ ⁡ (x )보다 작음을 시사하는 것처럼 보였습니다. {\ $displaystyle \operatorname$ {li} (x). $}$ 그러나 Littlewood의 $\operatorname {li} (x).$ 증명은 $x$ ${\displaystyle$ x $}$ 와 같은 구체적인 숫자를 표시하지 않았습니다 $x$

Skewes(1933)는 리만 가설이 참이라고 가정할 때, 아래의 $\pi (x)<\operatorname {li} (x),$ π ( $\pi (x)<\operatorname {li} (x),$ < $\pi (x)<\operatorname {li} (x),$ li ⁡ (x), ${\displaystyle$ \ $pi$ (x) $<\operatorname$ {li} (x),}를 위반하는 수 $x$ $x$ 가 존재함을 증명했습니다.

{\displaystyle e^{e^{79}}<10^{10^{10^{34}}}.

리만 가설을 가정하지 않고, 스큐스(Skews, 1955)는 $x$ 에 $x$ x{\ $displaystyle$ x $}$ 의 값이 존재함을 증명했습니다.

e^{e^{e^{e^{7.705}}}}<10^{10^{10^{964}}}.

스큐스의 임무는 리틀우드의 존재를 효과적으로 증명하는 것이었습니다: 첫 번째 부호 변화를 위한 구체적인 상한선을 보여주는 것이었습니다. Georg Kreisel에 따르면, 이것은 그 당시에는 원칙적으로도 명백하다고 여겨지지 않았습니다.

보다 최근의 견적

이러한 상한은 이후 리만 제타 함수의 0에 대한 대규모 컴퓨터 계산을 사용함으로써 상당히 감소되었습니다. 크로스오버 포인트의 실제 값에 대한 최초의 추정치는 $1.53\times 10^{1165}$ × $1.53\times 10^{1165}$ $1.53\times 10^{1165}$ ${\$ 1 $.53\times 10^{1165}}$ 와 $1.53\times 10^{1165}$ $1.65\times 10^{1165}$ × $1.65\times 10^{1165}$ $1.65\times 10^{1165}$ ${\$ 1 사이임을 보여준 Lehman(1966)에 의해 제시되었습니다 $.$ $65\times 10^{1165}}$ 개 $10^{500}$ 의 {\ $displaystyle 10^{$ 500 $}}$ 개의 $x$ 정수x {\ $displaystyle x}$ 개 중 $\pi (x)>\operatorname {li} (x)$ $π$ (x $\pi (x)>\operatorname {li} (x)$ ) $\pi (x)>\operatorname {li} (x)$ > $li$ $⁡$ (x ) ${\displaystyle$ \ $pi$ (x $operatorname$ {li}(x)}개가 $10^{500}$ . 리만 가설을 가정하지 않고, H. J. J. Ter Riele (1987)은 $7\times 10^{370}$ × $7\times 10^{370}$ $7\times 10^{370}$ ${\$ 의 상한을 증명했습니다 $7\times 10^{370}$ 더 나은 추정치는 Bays & Hudson (2000)이 발견한 $1.39822\times 10^{316}$ $1.39822\times 10^{316}$ × $1.39822\times 10^{316}$ ${\$ 이었습니다. 이 값 근처 $\pi (x)>\operatorname {li} (x)$ 에 최소 $10^{153}$ 의 $10^{153}$ {\ $displaystyle$ 10 $^{$ 153}개의 연속 정수가 있음을 보여준 사람은 $\pi (x)>\operatorname {li} (x)$ π $\pi (x)>\operatorname {li} (x)$ x $\pi (x)>\operatorname {li} (x)$ > li ⁡ $(x$ ) ${\displaystyle \pi(x$ operatorname {li}(x)}입니다. 베이즈와 허드슨은 $\pi (x)$ π(x) ${\$ $displaystyle$ $\$ pi (x)}가 $\operatorname {li} (x)$ ⁡ $\operatorname {li} (x)$ x)에 $\operatorname {li} (x)$ 하는 $x$ 작은x ${\$ $displaystyle$ x $}$ 값을 발견했습니다. 이 값들 $근처$ 에 $교차점$ 이 있을 가능성은 아직 확실히 배제되지 않은 것 같습니다. 컴퓨터 계산상 존재할 가능성이 거의 없습니다. Chao & Plymen(2010)은 Bays와 Hudson의 결과를 약간 개선하고 수정했습니다. Saouter & Demichel(2010)은 교차로의 간격이 더 작은 것을 발견했고, Zegowitz(2010)에 의해 약간 개선되었습니다. 동일한 소스는 $e^{727.9513468}<1.39718\times 10^{316}$ < 1 $.39718$ × $10316 {\displaystyle$ e^{ $727.9513468$ }< $1.$ 39718 $e^{727.9513468}<1.39718\times 10^{316}$ times 10^{316} $e^{727.9513468}<1.39718\times 10^{316}$ 아래에 $\pi (x)<\operatorname {li} (x),$ π $\pi (x)<\operatorname {li} (x),$ $), {\displaystyle$ \ $pi(x)<\operatorname$ { $e^{727.9513468}<1.39718\times 10^{316}$ }( $e^{727.9513468}<1.39718\times 10^{316}$ 를 $x$ 하는숫자 x {\ $displaystyle$ x $}$ 가 있음을 보여줍니다. 이는 리만 가설을 가정할 $e^{727.9513386}<1.39717\times 10^{316}$ 때 $e^{727.9513386}<1.39717\times 10^{316}$ < $e^{727.9513386}<1.39717\times 10^{316}$ × $e^{727.9513386}<1.39717\times 10^{316}$ ${\$ 로 줄일 수 있습니다. Stoll & Demichel(2011)은 $1.39716\times 10^{316}$ × ${\$ 1 $.39716\times 10^{316}}$ 을 주었습니다 $1.39716\times 10^{316}$

연도	x근처에	# 복잡한 사용한 0.	타고
2000	1.39822x10³¹⁶	1×10⁶	베이즈 앤드 허드슨
2010	1.39801x10³¹⁶	1×10⁷	차오와 플라이멘
2010	1.397166x10³¹⁶	2.2x10⁷	사우터와 데미첼
2011	1.397162x10³¹⁶	2.0x10¹¹	스톨과 데미첼

Rigorously, Rosser & Schoenfeld (1962) proved that there are no crossover points below $x=10^{8}$ , improved by Brent (1975) to $8\times 10^{10}$ , by Kotnik (2008) to $10^{14}$ , by Platt & Trudgian (2014) to ${\displaystyle 1.$ $39\times 10^{17$ Büthe(2015)~ $10^{19}$ ${\$

속성 $\pi (x)>\operatorname {li} (x),$ π( $\pi (x)>\operatorname {li} (x),$ ) $\pi (x)>\operatorname {li} (x),$ > $\pi (x)>\operatorname {li} (x),$ ⁡(x ), ${\displaystyle$ \ $pi$ (x $)>\operatorname$ {li}(x)를 갖는 것으로 알려진 명시적인 값 $x$ $x$ 은(는) 없습니다. 컴퓨터 계산에 따르면 이를 충족할 가능성이 매우 높은 일부 명시적인 숫자가 있습니다.

π $(x$ ) > $\pi (x)>\operatorname {li} (x)$ ⁡(x) {\ $displaystyle$ \ $pi$ (x $)>\operator$ name {li}(x)}인 양의 정수의 자연 밀도가 존재하지 않더라도 Wintner(1941)는 이러한 양의 정수의 로그 밀도가 존재하고 양임을 보여주었습니다. Rubinstein & Sarnak (1994)은 이 비율이 약 0.00000026임을 보여주었는데, 첫 번째 예를 찾기 위해 얼마나 멀리 가야 하는지를 고려할 때 놀랍게도 큽니다.

리만 공식

리만은 $\pi (x)$ π (x) ${\displaystyle \$ pi $\pi (x)$ (x)}에 대한 명시적인 공식을 제시했는데, 이들의 선행 항은 (몇 가지 미묘한 수렴 질문은 무시)

\pi(x)=\operatorname {li}(x)-{\tfrac {1}{2}}\operatorname {li}({\sqrt {x\,})-\sum_{\rho }\operatorname {li}(x^{\rho })+{\text{smaller 용어}

여기서 합은 리만 제타 함수의 자명하지 않은 0들의 집합에서 모든 $\rho$ ρ ${\displaystyle \$ rho}에 걸쳐 있습니다.

근사 $\pi (x)\approx \operatorname {li} (x)$ π ( $\pi (x)\approx \operatorname {li} (x)$ ) $\pi (x)\approx \operatorname {li} (x)$ ≈ li ⁡ ( $x)$ ${\tfrac {1}{2}}\operatorname {li} ({\sqrt {x\,}})$ displaystyle \ $pi$ ( $x)\approx$ \operatorname {li} (x)}(리만 가설이 참인 경우)에서 가장 큰 오차항은 음수 12 li ⁡ (x) {\displaystyle {\tfrac {1}{2}\operatorname {li}({\sqrt {x\,})}, $\operatorname {li} (x)$ 으로 $li$ ⁡ $(x$ $)$ {\ $displaystyle \operatorname$ {li}(x)}이(가) π $\pi (x)$ x) $\pi (x)$ \pi(x)}보다 $\pi (x)$ 것을 보여줍니다. 위의 다른 항들은 다소 작고, 더욱이 다른, 겉으로 보기에 복잡한 인수들을 갖는 경향이 있으므로, 대부분 취소됩니다. 그러나 때때로 큰 것들 중 몇 개는 거의 동일한 복잡한 인수를 가질 수 있습니다. 이 경우 취소 대신 서로를 ${\tfrac {1}{2}}\operatorname {li} ({\sqrt {x\,}})$ 하고 ${\tfrac {1}{2}}\operatorname {li} ({\sqrt {x\,}})$ ⁡(x) ${\displaystyle {\tfrac$ {1}{2 $}\operatorname {li}({\$ sqrt ${\tfrac {1}{2}}\operatorname {li} ({\sqrt {x\,}})$ {x\,}})이라는 용어를 압도합니다.

스큐즈 수가 이렇게 큰 이유는 이러한 작은 항들이 선행 오차 항보다 훨씬 작기 때문인데, 주로 제타 함수의 첫 번째 복소 0은 허수 부분이 상당히 크기 때문에 지배 항을 압도하기 위해서는 그 중 많은 수(수 백)가 대략 동일한 논증을 가져야 합니다. $거의$ 동일한 $인수$ 를 갖는 N {\ $displaystyle$ N $}$ 개의 $N$ 난수 복소수의 가능성은 N $2^{N}$ {\ $displaystyle$ 2 $^{N}$ 의 $2^{N}$ 의 1 정도입니다 $2^{N}$ 따라서 $\pi (x)$ π(x) ${\displaystyle$ \pi(x)}이 $)$ li ⁡( $x),$ {\ $displaystyle$ $\$ operatorname {li}(x $\operatorname {li} (x),$ 보다 큰 경우가 있으며 이러한 경우가 발생하는 경우가 드문 이유도 설명할 수 있습니다. 또한 이것이 일어나는 장소를 찾는 것이 리만 제타 함수의 수백만 고정밀 0의 대규모 계산에 의존하는 이유를 보여줍니다.

위의 주장은 증명이 아닌데, 이는 리만 제타 함수의 0이 랜덤하다고 가정하기 때문에 사실이 아닙니다. 대략적으로 말하면, 리틀우드의 증명은 때때로 많은 항들이 거의 같은 논법을 가지고 있다는 것을 보여주기 위해 디리클레의 근사 정리로 구성됩니다. 리만 가설이 거짓인 경우, 본질적으로 $\operatorname {li} (x^{\rho })$ 가설을 위반하는 0에 대해 $\operatorname {li} (x^{\rho })$ ⁡( $x$ ρ) {\displaystyle $\operatorname$ {li}(x^{\rho})}라는 항이 있으므로 인수는 훨씬 간단합니다. 1/2)은 결국 $\operatorname {li} (x^{1/2})$ ⁡( $\operatorname {li} (x^{1/2})$ 1 $2$ ) ${\displaystyle \operatorname {li}($ x $\operatorname {li} (x^{1/2})$ 1/2})}보다 큽니다.

${\tfrac {1}{2}}\mathrm {li} (x^{1/2})$ ${\tfrac {1}{2}}\mathrm {li} (x^{1/2})$ ( ${\tfrac {1}{2}}\mathrm {li} (x^{1/2})$ ${\tfrac {1}{2}}\mathrm {li} (x^{1/2})$ / 2 ${\tfrac {1}{2}}\mathrm {li} (x^{1/2})$ ) ${\tfrac {1}{2}}\mathrm {li} (x^{1/2})$ 라는 용어의 이유는 ${\tfrac {1}{2}}\mathrm {li} (x^{1/2})$ 대략적으로 말하면, $\mathrm {li} (x)$ $\mathrm {li} (x)$ $\mathrm {li} (x)$ 가 실제로 소수 자체가 $\mathrm {li} (x)$ 아니라 소수의 거듭제곱을 세기 때문입니다. $p {\$ p $^{n}}$ 이(가) ${\frac {1}{n}}$ ${\$ 로 $p^{n}$ 가중치가 부여됩니다 ${\frac {1}{n}}$ ${\tfrac {1}{2}}\mathrm {li} (x^{1/2})$ ${\tfrac {1}{2}}\mathrm {li} (x^{1/2})$ ( ${\tfrac {1}{2}}\mathrm {li} (x^{1/2})$ ${\tfrac {1}{2}}\mathrm {li} (x^{1/2})$ / ${\tfrac {1}{2}}\mathrm {li} (x^{1/2})$ ) ${\tfrac {1}{2}}\mathrm {li} (x^{1/2})$ 라는 용어는 소수의 제곱에 대한 2차 보정 회계와 대략 유사합니다 ${\tfrac {1}{2}}\mathrm {li} (x^{1/2})$ .

소수 k-튜플에 대한 등가물

스큐즈 수에 대한 동등한 정의는 소수 k-튜플에 대해 존재합니다(Tóth (2019)). Let $P=(p,p+i_{1},p+i_{2},...,p+i_{k})$ denote a prime (k + 1)-tuple, $\pi _{P}(x)$ the number of primes $p$ below $x$ such that $p,p+i_{1},p+i_{2},...,p+i_{k}$ $p,p+i_{1},p+i_{2},...,p+i_{k}$ + $p,p+i_{1},p+i_{2},...,p+i_{k}$ ${\$ 는 $p,p+i_{1},p+i_{2},...,p+i_{k}$ 모두 소수입니다. li $\operatorname {li_{P}} (x)=\int _{2}^{x}{\frac {dt}{(\ln t)^{k+1}}}$ ⁡ (x $\operatorname {li_{P}} (x)=\int _{2}^{x}{\frac {dt}{(\ln t)^{k+1}}}$ = ∫ 2 x d t (ln ⁡ t) k + 1 {\displaystyle \operatorname {li_{P}} (x)=\int _{2}^{x}{\frac {dt}{(\ln t)^{k+1}}}라고 하고 CP {\displaystyle C_{P}}가 그 하디-리틀우드 상수를 나타내도록 합니다(첫 번째 하디-리틀우드 추측 참조). 그런 다음 (k + 1)- $튜플$ P{\ $displaystyle$ P $P$ 에 대해 하디-리틀우드 부등식을 위반하는 $p$ 첫 번째 $소수$ p{\ $displaystyle p},$ 즉 첫 번째 $소수$ p{\ $displaystyle$ p $}$ 가 다음과 $p$ 같이

\pi _{P}(p)>C_{P}\operatorname {li} _{P}(p),

(해당 소수가 존재하는 경우)는 $P .$ $P.$ 에 대한 Skews 번호입니다.

아래 표는 현재 알려진 소수 k-튜플에 대한 스큐(Skewes) 번호를 보여줍니다.

Prime k-tuple	스큐수	찾음
(p, p + 2)	1369391	울프 (2011)
(p, p + 4)	5206837	토트 (2019)
(p, p + 2, p + 6)	87613571	토트 (2019)
(p, p + 4, p + 6)	337867	토트 (2019)
(p, p + 2, p + 6, p + 8)	1172531	토트 (2019)
(p, p + 4, p +6 , p + 10)	827929093	토트 (2019)
(p, p + 2, p + 6, p + 8, p + 12)	21432401	토트 (2019)
(p, p +4, p +6, p +10, p +12)	216646267	토트 (2019)
(p, p + 4, p + 6, p + 10, p + 12, p + 16)	251331775687	토트 (2019)
(p, p+2, p+6, p+8, p+12, p+18, p+20)	7572964186421	포스터너 (2020)
(p, p+2, p+8, p+12, p+14, p+18, p+20)	214159878489239	포스터너 (2020)
(p, p+2, p+6, p+8, p+12, p+18, p+20, p+26)	1203255673037261	포어트너 / Luhn (2021)
(p, p+2, p+6, p+12, p+14, p+20, p+24, p+26)	523250002674163757	Luhn / Pofertner (2021)
(p, p+6, p+8, p+14, p+18, p+20, p+24, p+26)	750247439134737983	포어트너 / Luhn (2021)

섹시한 소수 $(p,p+6)$ $(p,p+6)$ + $(p,p+6)$ ${\displaystyle(p,$ p + $6)}$ 에 대한 스큐 수(존재하는 경우)는 $(p,p+6)$ 아직 알 수 없습니다.

또한 허용되는 모든 k-튜플에 해당하는 스큐 수가 있는지 여부도 알 수 없습니다.

참고문헌

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Brent, R. P. (1975), "Irregularities in the distribution of primes and twin primes", Mathematics of Computation, 29 (129): 43–56, doi:10.2307/2005460, JSTOR 2005460, MR 0369287, Zbl 0295.10002
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Chao, Kuok Fai; Plymen, Roger (2010), "A new bound for the smallest $x$ with $\pi (x)>\operatorname {li} (x)$ ", International Journal of Number Theory, 6 (3): 681–690, arXiv:math/0509312, doi:10.1142/S1793042110003125, MR 2652902, Zbl 1215.11084
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Stoll, Douglas; Demichel, Patrick (2011), "The impact of $\zeta (s)$ complex zeros on $\pi (x)$ for $x<10^{10^{13}}$ ", Mathematics of Computation, 80 (276): 2381–2394, doi:10.1090/S0025-5718-2011-02477-4, MR 2813366
Tóth, László (2019), "On The Asymptotic Density Of Prime k-tuples and a Conjecture of Hardy and Littlewood" (PDF), Computational Methods in Science and Technology, 25 (3), doi:10.12921/cmst.2019.0000033, S2CID 203836016.
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Zegowitz, Stefanie (2010), On the positive region of $\pi (x)-\operatorname {li} (x)$ (masters), Master's thesis, Manchester Institute for Mathematical Sciences, School of Mathematics, University of Manchester

외부 링크

Demichels, Patrick. "The prime counting function and related subjects" (PDF). Demichel. Archived from the original (PDF) on Sep 8, 2006. Retrieved 2009-09-29.
Asimov, I. (1976). "Skewered!". Of Matters Great and Small. New York: Ace Books. ISBN 978-0441610723.

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