투영 조화 공극

투영 기하학에서 실제 투영 선상의 점 3배 순서의 조화 결합점은 다음과 같은 구조로 정의된다.

A, B, C 세 개의 시준점을 주어, L은 그들의 결합에 눕지 않는 포인트가 되게 하고, C를 통과하는 어떤 라인이 각각 LA, LB, N에서 만날 수 있게 한다. AN과 BM이 K에서 만나고, LK가 D에서 AB를 만난다면, A, B에 관해서 D를 C의 조화결합이라고 부른다.^[1]

점 D는 처음에 어떤 점 L을 취하느냐에 따라 달라지지 않으며, M과 N을 찾기 위해 C를 통과하는 선에 따라 달라지지 않는다. 이 사실은 데사게스 정리로부터 따온 것이다.

실제 투영 기하학에서 조화 결합은 (A, B, C, D) = -1로 교차 비율의 관점에서 정의될 수 있다.

교차비율 기준

D는 항상 C가 AB를 외부로 나누는 것과 동일한 비율로 세그먼트 AB를 내부로 나누는 것으로 밝혀져 이 네 점을 조화 범위(실제 투영 라인)라고 부르기도 한다. 즉,

${\displaystyle {AC}:{BC}={AD}:{DB}\,}$

만약 이러한 부분들에 실제 숫자에 대한 일반적인 미터법 해석이 부여된다면, 그것들은 서명될 것이고 교차비라고 알려진 이중비율을 형성할 것이다.

${\displaystyle(A,B;C,D)={\frac {AC}{AD}\왼쪽/{\frac {BC}{-DB}\오른쪽,}$

여기서 고조파 범위는 -1의 값으로 특징지어진다. 그러므로 우리는 다음과 같이 쓴다.

${\displaystyle(A,B;C,D)={\frac {AC}{AD}\cdot {\frac {BD}{BC}=-1.}$

일반적으로 교차비 값은 세그먼트 선택 순서에 따라 달라지므로 고유하지 않다(그리고 그러한 선택이 가능한 6가지). 그러나 특히 고조파 범위의 경우 -1은 자기반복적이므로 교차비의 값은 {-1, 1/2, 2}의 세 가지 값만 있으므로 마지막 두 점을 교환하는 것은 이러한 값 각각에 대한 답례일 뿐 새로운 값은 생성하지 않으며, 고전적으로 고조파 교차 비율이라고 알려져 있다.

이중 비율의 경우, 아핀 라인에 점 a와 b가 주어진 경우 점 x의 분할 비율은^[2] 다음과 같다.

${\displaystyle t(x)={\frac {x-a}{x-b}}.}$

< x < b>일 때 t(x)가 음수이고, 간격 밖에 양수라는 점에 유의한다. 교차 비율(c, d; a, b) = t(c)/t(d)는 분할 비율의 비율 또는 이중 비율이다. 이중 비율을 마이너스 1로 설정하면 t(c) + t(d) = 0일 때 a와 b에 대해 c와 d가 고조파 결합을 의미한다. 따라서 분할 비율 기준은 부가적인 역순이라는 겁니다.

선분할의 조화분할은 아폴로니우스가 원을 정의한 특별한 경우다.

일부 학교 연구에서는 조화 범위의 구성을 조화 분할이라고 한다.

중간점

x가 a에서 b까지 세그먼트의 중간점인 경우

${\displaystyle t(x)={\frac {x-a}{x-b}=-1.}$

교차 비율 기준에 따르면 x의 고조파 결합은 t(y) = 1일 때 y가 된다. 그러나 a와 b를 통과하는 선에는 y에 대한 유한 용액이 없다. 그럼에도 불구하고

${\displaystyle \lim _{y\to \infit }t(y)=1,}$

따라서 무한대의 점을 투영 선에 포함시키는 동기를 부여한다. 무한대의 이 점은 중간점 x의 조화 결합역할을 한다.

전체 쿼드랑글에서

고조파 결합에 대한 또 다른 접근방식은 위의 도표에서 KLMN과 같은 완전한 사각형의 개념을 통해서이다. 네 점을 기준으로 완전한 사각형은 반대편과 대각선 쌍을 이루고 있다. H. S. M. Coxeter에 의한 고조파 결합의 표현에서 대각선은 반대편의 한 쌍으로 간주된다.

D는 A와 B에 관한 C의 조화결합으로, A에서 한 쌍의 반대쪽이 교차하고, B에서 두 번째 쌍이 교차하는 쿼드랑글 IJKL이 있으며, C와 D에서 세 번째 쌍이 AB를 만난다는 것을 의미한다.^[3]

최초로 고조파 결합을 미터법 고려와는 무관하게 투영 기하학의 기초로 사용한 것은 카를 폰 스토트였다.

...스토트는 투영 기하학을 기초 기하학에서 해방시키는 데 성공했다. 그의 Geometrie der Lage Staudt는 그의 Geometricrie에서 완전한 4각형 또는 4각형을 사용하여 순수하게 투사적인 경로에 따른 교차 비율의 개념과는 독립적으로 원소의 조화 4중형을 소개했다.^[4]

중간점 획득에 적용된 전체 쿼드랭글을 보려면 J. W. Young의 다음 구절을 고려하십시오.

임의의 두 선 AQ와 AS가 AQ와 AS에 평행하게 B를 통해 그려지고 BS와 BQ가 각각 B를 통해 그려지는 경우, AQ와 SB 선은 정의상 무한에서 R 지점에서 만나는 반면, AS와 QB는 무한도 P 지점에서 정의로 만난다. 완전한 사각형 PQRS는 A와 B에 두 개의 대각선 점을 갖는 반면, 나머지 한 쌍의 반대쪽은 M과 AB의 무한점을 통과한다. 지점 M은 A와 B에 대한 AB의 무한대에 있는 지점의 조화 결합을 구성함으로써 이루어진다. 한편, 그 M은 AB부분의 중간점으로서 PQRS(Parallelogram, Parallelogram, PQRS)의 대각선이 서로 이등분한다는 익숙한 명제에서 따온 것이다.^[5]

2차 관계

투사 범위에서 순서가 지정된 네 점을 첫 번째와 세 번째 점이 코도트이고 나머지 두 점이 세 번째 코도트의 커넥터에 있는 등 평면에 테트라스트(tetrastigm)가 있을 때 조화점이라고 한다.^[6]

p가 조화점이 있는 직선 상에 있지 않은 점인 경우, p와 점의 결합은 조화 직선이다. 마찬가지로 평면 연필의 축이 조화점이 있는 직선으로 기울어져 있다면 점의 평면은 조화 평면이다.^[6]

이와 같은 관계에서 4의 집합은 조화 4중이라고 불려왔다.^[7]

투사성 원뿔

투영 평면의 원뿔은 다음 특성을 갖는 곡선 C이다. 만약 P가 C에 있지 않은 점이고 P를 통과하는 가변 라인이 A와 B 지점에서 C를 만난다면, A와 B에 대한 P의 가변 고조파 결합은 선을 추적한다. 점 P는 저 고조파 결합선의 극(pole)이라고 하며, 이 선은 원뿔에 관해서 P의 극(polar line)이라고 한다. 자세한 내용은 극과 극 기사를 참조하십시오.

반전 기하학

원뿔이 원인 경우 원의 확장 직경에서 원과 관련된 조화 결합은 원 안에 교차한다. 이 사실은 스모그호르체프스키의 이론 중 하나에서 비롯된다.^[8]

원 k와 q가 상호 직교하는 경우, k의 중심을 통과하고 q를 교차하는 직선은 k에 대해 대칭되는 지점에서 그렇게 한다.

즉, 선이 확장된 직경 k인 경우, q가 있는 교차점은 조화 결합물이다.

갈루아 테트라드

갈루아 필드 GF(q) 위의 갈루아 기하학에서 선은 q + 1 점을 가지며 여기서 where = (1,0)이다. 이 선에서는 두 점이 다른 점들을 조화롭게 분리할 때 4개의 점이 조화 테트라드를 형성한다. 조건

${\디스플레이 스타일(c,d;a,b)=-1,\ {\text{ 동등하게 }\2(cd+ab)=(c+d)(a+b),}$

고조파 사선체의 특징을 나타내다 이러한 테트라드에 대한 관심은 Jean Dieudonné가 projective linear groups PGL(2, q)의 우발적인 이형성을 q = 5, 7, 9에 대한 서술로 이어졌다.^[9]

q = 2이고ⁿ A와 B가 주어진다면 C의 고조파 결합은 그 자체다.^[10]

반복 투사성 조화 결합체 및 황금 비율

$P{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$, ${\displaystyle {P\mathrm{}}_{}}$ 2 ${\$}}을 실제 투영 라인에서 서로 다른 세 지점이 되도록$$ 한다. Consider the infinite sequence of points ${\displaystyle P_{n},}$ where ${\displaystyle P_{n}}$ is the harmonic conjugate of ${\displaystyle P_{n-3}}$ with respect to ${\displaystyle P_{n-1},P_{n-2}}$ for ${\displaystyle n>2.$$}}$ 이 순서는 수렴한다.^[11]

유한한 $한계{\displaystyle }$ P ${\displaystyle P}$의 경우

${\displaystyle \lim _{n\to \inflt }{\frac {P_{n+1}P}{{n}{n}}{P_{n}P}}=\Phi -2=-\Phi ^{-2}=-{\frac {3-{\sqrt{5}}{2}},}$

where ${\displaystyle \Phi ={\tfrac {1}{2}}(1+{\sqrt {5}})}$ is the golden ratio, i.e. ${\displaystyle P_{n+1}P\approx -\Phi ^{-2}P_{n}P}$ for large ${\displaystyle n}$. For an infinite limit we have

${\displaystyle \lim_{n\to \inflt }{\frac {P_{n+2}P_{n+1}{{n+1}P_{n}}}=-1-\Phi =-\Phi ^{2}.}$

증거를 위해 투영적 이형성을 고려한다.

${\displaystyle f(z)={\frac {az+b}{cz+d}}}}$

와 함께

${\displaystyle f\left((-1)^{n}\Phi ^{2n}\오른쪽)=P_{n}}$

참조

• 후안 카를로스 알베레즈(2000) 투영 기하학, 제2장: 진짜 투영 평면, 제3장: 조화 4중과 폰 스토트의 정리를 참조한다.
• 로버트 라클란(1893) 코넬 대학교 역사수학 모노그래프스의 링크인 현대 순수 기하학에 관한 기초 논문.
• 버트랜드 러셀 (1903) 수학 원리 384페이지.
• Russell, John Wellesley (1905). Pure Geometry. Clarendon Press.