자오선호

지리학에서 자오선 호는 같은 경도를 가진 지구 표면의 두 점 사이의 곡선이다. 이 용어는 자오선의 한 부분 또는 길이를 가리킬 수 있다.

자오선 호를 측정하는 목적은 지구의 형상을 결정하는 것이다. 하나 이상의 자오선 호 측정을 사용하여 측정 영역에서 지오이드에 가장 근접한 기준 타원체의 모양을 유추할 수 있다. 전 세계의 많은 경락을 따라 여러 위도에서 자오선 호를 측정하는 것은 전 세계에 맞도록 의도된 지구중심 타원체의 근사치를 위해 결합될 수 있다.

구형 지구 크기의 초기 결정에는 단일 호가 필요했다. 19세기부터 시작된 정확한 조사 작업은 조사가 실시될 지역의 여러 호 측정이 필요했고, 이에 따라 참조 타원체가 전 세계적으로 확산되었다. 최근의 측정은 기준 타원체, 특히 현재 WGS 84와 같은 전역 좌표계에 사용되는 지구중심 타원체(수식 참조)를 결정하기 위해 아스트로-지오데틱 측정과 위성 지오데스의 방법을 사용한다.

측정 이력

구면 지구

지구 크기의 초기 추정은 기원전 4세기 그리스로부터, 그리고 9세기 칼리프의 지혜의 집에 있는 학자들로부터 기록된다. 최초의 현실적인 가치는 기원전 240년경 알렉산드리아 과학자 에라토스테네스에 의해 계산되었다. 그는 자오선의 길이가 25만2천 스테디아의 길이를 추정했는데, 실제 값에 대한 오차는 -2.4%에서 +0.8% 사이 (155~160m 사이의 스테디온 값을 가정)^[1]라고 했다. 에라토스테네스는 그의 기술을 '지구의 척도로'라는 책에서 설명했는데, 이 책은 보존되지 않고 있다. 약 150년 후 포세이돈니우스가 사용한 유사한 방법은 827년 칼리프 알마문(Caliph Al-Ma'moon)에 기인한 호 측정법으로 약간 더 나은 결과를 산출하였다.^{[2][citation needed]}

타원형 지구

초기의 문헌에서는 "극점을 찌른" 구를 묘사하기 위해 주상구라는 용어를 사용한다. 현대문학은 보통 '혁명의 타원'이라는 한정어는 떨어지지만 스피로이드 대신 혁명의 타원체라는 용어를 사용한다. 혁명의 타원체가 아닌 타원체를 삼원 타원체라고 한다. 스피로이드와 타원체는 이 글에서 서로 교환하여 사용되며, 명시되지 않은 경우 소거가 함축되어 있다.

17세기와 18세기

지구가 구형이라는 것은 고대로부터 알려져 있었지만, 17세기에 이르러서는 완벽한 구체는 아니라는 증거가 축적되고 있었다. 1672년, 장 리커는 중력이 지구 위에 일정하지 않다는 최초의 증거를 발견했다. 그는 프랑스령 기아나의 카이엔느로 진자 시계를 가져갔다가 잃어버린 것을 발견했다. 파리에서의 그것과 비교했을 때, 하루에 2 ½분.^[3][4] 이것은 중력의 가속도가 파리보다 카이엔에서 덜하다는 것을 보여주었다. 진자중력계는 세계 외딴 지역으로 항해할 때 취하기 시작했으며, 중력 가속도가 적도보다 지리적 극지방에서 약 0.5% 더 높아짐에 따라 위도가 증가하면서 중력이 완만하게 증가한다는 사실이 밝혀졌다.

1687년, 뉴턴은 지구가 평탄화의 주구라는 증거로서 프린키아에 출판되었다. 230.^[5] 이것은 일부 프랑스 과학자들에 의해 논란이 되었지만 전부는 아니었다. 장 피카르의 자오선 호는 1684–1718년에 걸쳐 조반니 도메니코 카시니와 그의 아들 자크 카시니에 의해 더 긴 호로 확장되었다.^[6] 호는 적어도 3개의 위도 결정으로 측정되었기 때문에 호의 북반부와 남반부에 대한 평균 곡선을 추론할 수 있어 전체적인 형상을 결정할 수 있었다. 그 결과 지구는 프로이트 스피로이드(극성 반지름보다 적은 적도 반지름을 가지고 있음)로 나타났다. 프랑스 과학아카데미(1735년)는 이 문제를 해결하기 위해 페루(Bouguer, Louis Godin, de La Condamine, Antonio De Uloa, Jorge Juan)와 라플란트(Maupertuis, Claaau, Camus, Le Monnier, Abe Outhier, Anders Sensus)에 원정을 제안했다. 페루 원정은 프랑스 지리학 선교 기사에, 라플란드로의 탐험은 토른 계곡 기사에 기술되어 있다. 적도 위도와 극지방에서의 결과 측정은 지구가 뉴턴을 지탱하는, 지구가 주멸의 스피로이드에 의해 가장 잘 모델링되었다는 것을 확인시켜 주었다.^[6] 그러나 1743년까지 클레라우트의 정리가 뉴턴의 접근을 완전히 대신하게 되었다.

세기말까지 델람브르는 프랑스의 호를 재측정하여 덩커크에서 지중해(델람브르와 메체인의 자오선 호)로 확장시켰다. 그것은 위도의 네 가지 중간 결정에 의해 다섯 부분으로 나뉘었다. 측정치를 페루의 호와 함께 결합하여 타원형 형상 매개변수를 결정하고 파리 자오선을 따라 적도와 극 사이의 거리를 파리의 표준 톱니즈 바에서 명시한 대로 5130762로 계산했다. 이 거리를 정확히 10000,000m로 정의하면 0.5130762의 새로운 표준 미터 바를 만들었다.^{[6]: 22}

19세기

19세기에는 많은 천문학자와 지질학자들이 서로 다른 자오선 호를 따라 지구의 곡률에 대한 상세한 연구에 종사하고 있었다. 이 분석은 플레시스 1817, 에어리 1830, 베셀 1830, 에베레스트 1830, 클라크 1866과 같은 많은 모델 타원형을 낳았다.^[7] 타원체의 종합적인 목록은 지구 타원체 아래에 제시되어 있다.

해리 마일

역사적으로 해리는 구형 지구의 자오선을 따라 1분 길이의 호로 정의되었다. 타원형 모델은 위도와 함께 항해 마일 변동을 유도한다. 이것은 해리를 정확히 1,852미터로 정의함으로써 해결되었다. 그러나 모든 실제 목적을 위해 거리는 차트의 위도 눈금에서 측정된다. 왕립요트협회(Royal Yeating Association)가 주간 스키퍼들을 위한 매뉴얼에서 말한 것처럼, "위도 1분의 1이 1해리와 같다고 가정하여 대부분의 실용적인 목적을 위해 위도 눈금에서 거리를 측정한다"^[8]는 내용이 뒤따른다.

계산

구체에서 자오선 호 길이는 단순히 원형 호 길이일 뿐이다. 회전 타원형에서, 짧은 자오선 아크의 경우, 그 길이는 지구의 경혈 곡률 반경과 원형 호 제형을 사용하여 근사하게 추정할 수 있다. 더 긴 호의 경우, 길이는 적도로부터 위도 φ 지점까지의 거리인 두 자오선 거리의 뺄셈에서 따라온다. 이것은 지도 투영설, 특히 가로 메르카토르 투영설에서 중요한 문제다.

주요 타원형 매개변수는 a, b, f이지만 이론적 연구에서는 추가 매개변수, 특히 편심, e, 세 번째 평탄화 n을 정의하는 것이 유용하다. 이들 매개 변수 중 오직 두 가지만이 독립적이며 그들 사이에는 많은 관계가 있다.

${\displaystyle {\begin{aligned}f&={\frac {a-b}{a}}\,,\qquad e^{2}=f(2-f)\,,\qquad n={\frac {a-b}{a+b}}={\frac {f}{2-f}}\,,\\b&=a(1-f)=a{\sqrt {1-e^{2}}}\,,\qquad e^{2}={\frac {4n}{(1+n)^{2}}}\, .\end{정렬}}$

정의

곡률의 자오선 반경은 다음과 같을 수 있다.^[9][10]

${\displaystyle M(\varphi )={\frac {a(1-e^{2}\sin ^{2}\{2}\sin ^{2}\varphi \right)^{\frac {3}},}$

자오선의 최소 원소의 호 길이는 dm = M(φ) dφ(라디안의 φ 포함)이다. 따라서 적도에서 위도 φ까지의 자오선 거리는 다음과 같다.

${\displaystyle {\begin{aligned}m(\varphi )&=\int _{0}^{\varphi }M(\varphi )\,d\varphi \\&=a(1-e^{2})\int _{0}^{\varphi }\left(1-e^{2}\sin ^{2}\varphi \right)^{-{\frac {3}{2}}}\,d\varphi \,.\end{정렬}}}$

거리 공식은 파라메트릭 위도,

${\displaystyle m(\varphi )=b\int _{0}^{\}{0}^{\sqrt {1+e'^{2}\sin ^{2}\}\}\,d\pa \not \...}$

여기서 tan β = (1 - f)tan φ 및 e′² = e²/1 - e².

위도는 일반적으로 [-162/2,162/2] 범위로 제한되지만, 여기에 주어진 모든 공식은 완전한 자오선 타원 주위의 거리 측정에 적용된다(반메르디안 포함). 따라서 φ, β 및 정류 위도 μ의 범위는 제한되지 않는다.

타원형 적분과의 관계

위의 적분은 세 번째 종류의 불완전한 타원 적분의 특수한 경우에 관련된다. 온라인 NIST 핸드북의^[11] 표기법(19.2(ii))에서,

${\displaystyle m(\varphi )=a\왼쪽(1-e^{2}\오른쪽)\,\Pi(\varphi ,e^{2},e)\,.}$

또한 두 번째 종류의 불완전한 타원 통합의 측면에서도 작성할 수 있다(NIST 핸드북 섹션 19.6(iv) 참조).

${\displaystyle {\begin}m(\varphi )&=a\왼쪽(E(\varphi ,e)-{\frac {e^{2}\sin \varphi \coses \varphi }{1-e^{2}\sin ^{2}\varphi }\}\rigin }\rig)\right)\\&=a\left(E(\varphi ,e)+{\frac {d^{2}}:{d\varphi ^{2}}:E(\varphi ,e)\오른쪽)\&=bE(\beta;ie')\,\end{정렬}}}$

타원형 적분 및 근사치의 계산(임의의 정밀도에 대한)도 NIST 핸드북에서 논의한다. 이러한 기능들은 마티매티카나^[12] 맥시마와 같은 컴퓨터 대수 프로그램에서도 구현된다.^[13]

시리즈 확장

위의 적분은 Taylor 시리즈에서 적분량을 확장하고, 용어별 결과 적분량을 수행하고, 그 결과를 삼각계열로 표현함으로써 무한히 잘린 시리즈로 표현할 수 있다. 1755년 오일러는^[14] 세 번째 편심 제곱에서 확장을 도출했다.

편심 확장(e)

1799년^[15] Delambre는 e에² 널리 사용되는 확장을 유도했다.

${\displaystyle m(\varphi )={\frac {b^{2}}{a}}\left(D_{0}\varphi +D_{2}\sin 2\varphi +D_{4}\sin 4\varphi +D_{6}\sin 6\varphi +D_{8}\sin 8\varphi +\cdots \right)\,,}$

, where

${\displaystyle {\reasoned}D_{0}&=1+{\tfrac {3}{4}}e^{2}+{\tfrac {45}{64}}e^{4}+{\tfrac {175}{256}}e^{6}+{\tfrac {11025}{16384}}e^{8}+\cdots ,\\D_{2}&=-{\tfrac {3}{8}}e^{2}-{\tfrac {15}{32}}e^{4}-{\tfrac {525}{1024}}e^{6}-{\tfrac {2205}{4096}}e^{8}-\cdots ,\\D_{4}&={\tfrac {15}{256}}e^{4}+{\tfrac {105}{1024}}e^{6}+{\tfrac {2205}{16384}}e^{8}+\cdots ,\\D_{6}&=-{\tfrac {35}{3072}e^{6}-{\tfrac {105}{4096}}e^{8}-\cdots,\\D_{8}&={\tfrac {315}{131072}e^{8}+\cdots .\ed}}}}}}}}$

랍은^[16] 이 결과의 상세한 유래를 제시한다.

세 번째 평탄화에서의 팽창(n)

융합 속도가 상당히 빠른 시리즈는 편심 대신 세 번째 평탄화 n의 측면에서 확장함으로써 얻을 수 있다. 그들은 에 의해 연관되어 있다.

${\displaystyle e^{2}={\frac {4n}{(1+n)^{2}}}\,.}$

1837년 베셀은 헬머트에 의해 보다 간단한 형태로 된 그러한 시리즈를 하나 얻었다.^[17][18][19]

${\displaystyle m(\varphi )={\frac {a+b}{2}}}\{0}\varphi +H_{2}\sin 2\varphi +{4}\sin 4\varphi +H_{6}\sin 6\varphi +H_{8}\sin 8\varphi +\cdots \right)\...}}}}$

와 함께

${\displaystyle {\reasoned}H_{0}&=1+{\tfrac {1}{4}}n^{2}+{\tfrac {1}{64}}n^{4}+\cdots ,\\H_{2}&=-{\tfrac {3}{2}}n+{\tfrac {3}{16}}n^{3}+\cdots ,&H_{6}&=-{\tfrac {35}{48}}n^{3}+\cdots ,\\H_{4}&={\tfrac {15}{16}}n^{2}-{\tfrac {15}{64}}n^{4}-\cdots ,\qquad &H_{8}&={\tfrac {315}{512}}n^{4}-\cdots .\end{aligned}}}$

n은 a와 b가 상호 교환될 때 기호를 변경하며, 초기 인자 1/2(a + b)은 이 교환 하에서 일정하기 때문에, H의_2k 팽창에서 항들의 절반은 사라진다.

시리즈는 예를 들어, 글쓰기를 통해 초기 인자로 a 또는 b 중 하나로 표현할 수 있다.

${\displaystyle {\frac {1}{1}:{2}}(a+b)={\frac {a}{1+n}=a(1-n+n^{2}-n^{3}+n^{4}-\cdots )\}$

그리고 n에서 시리즈로 결과를 확장한다. 비록 이것이 더 느리게 수렴되는 시리즈를 낳더라도, 그러한 시리즈는 국립 지리공간정보국(National Geospatial Intelligence Agency^[20])과 영국의 Ordnance Survey에 의한 횡단 메르카토르 투영 규격에 사용된다.^[21]

모수 관용도에서의 시계열

1825년, 베셀은^[22] 측지학에 대한 그의 연구와 관련하여 파라메트릭 위도 β의 측면에서 자오선 거리의 확장을 유도하였다.

${\displaystyle m(\varphi )={\frac {a+b}{2}}}\{0}\beta +B_{2}\sin 2\beta +B_{4}\sin 4\b_{6}\sin 6\b_{8}\sin 8\beta +\cdots \right)\}}}$

와 함께

${\displaystyle {\reasoned}B_{0}&=1+{\tfrac {1}{4}}n^{2}+{\tfrac {1}{64}}n^{4}+\cdots =H_{0}\,,\\B_{2}&=-{\tfrac {1}{2}}n+{\tfrac {1}{16}}n^{3}+\cdots ,&B_{6}&=-{\tfrac {1}{48}}n^{3}+\cdots ,\\B_{4}&=-{\tfrac {1}{16}}n^{2}+{\tfrac {1}{64}}n^{4}+\cdots ,\qquad &B_{8}&=-{\tfrac {5}{512}}n^{4}+\cdots .\end{aligned}}}$

이 시리즈는 제2종류의 타원 적분(타원형)에 대한 확장을 제공하기 때문에, 지리적 위도 측면에서 호 길이를 다음과 같이 쓸 수 있다.

${\displaystyle m(\varphi )={\frac {a+b}{2}}\left(B_{0}\varphi -B_{2}\sin 2\varphi +B_{4}\sin 4\varphi -B_{6}\sin 6\varphi +B_{8}\sin 8\varphi -\cdots -{\frac {2n\sin 2\varphi }{\sqrt {1+2n\cos 2\varphi +n^{2}}}\오른쪽)\,}$

일반화 계열

위 시리즈는 편심 8번째 순서 또는 3번째 평탄화 4번째 순서로 밀리미터 정확도를 제공한다. 기호 대수학 시스템의 도움으로 지상 응용에 완전한 이중 정밀 정확도를 제공하는 세 번째 평탄화에서 여섯 번째 순서로 쉽게 확장할 수 있다.

델람브르와^[15] 베셀은^[22] 둘 다 임의의 질서에 따라 일반화할 수 있는 형태로 시리즈를 썼다. 베셀 시리즈의 계수는 특히 간단하게 표현할 수 있다.

${\displaystyle B_{2k}={\begin}c_{0}\\\\n&\text{{px}}{}}}{{c_{k}}}}{{k}}}\text{{{}}}}}}}}}{{{k}}}}}}}}}}}}케이스{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

, where

${\displaystyle c_{k}=\sum _{j=0}^{\inflt }{\frac {(2j-3)!!\,(2j+2k-3)!!!!}{{(2j)!!\,(2j+2k)!!}}}{k+2}}:$

그리고 k!!는 이중 요인이고, 재귀 관계를 통해 음의 값으로 확장된다. (-1)!! = 1과 (-3)!! = −1.

헬머트 시리즈의 계수는 일반적으로 다음과 같이 표현될 수 있다.

${\displaystyle H_{2k}=(-1)^{k}(1-2k)(1+2k)B_{2k}\,}$

이 결과는 헬메르트에게^[23] 추측되었고 카와세에게 증명되었다.^[24]

계수(1 - 2k)(1 + 2k)는 β에 비해 φ 면에서 시리즈의 수렴이 더 불량하다.

숫자식

위에서 제시한 삼각계열은 클렌쇼 합계를 이용하여 편리하게 평가할 수 있다. 이 방법은 대부분의 삼각함수의 계산을 피하고 시리즈를 빠르고 정확하게 합칠 수 있다. 높은 상대적 정확도를 유지하면서 m(m) - m(m₁₂)의 차이를 평가하는 데도 이 기법을 사용할 수 있다.

WGS84 타원체의 반주축 및 편심률에 대한 값 대체

${\displaystyle{\begin{정렬}(\varphi)&, =\left(111\,132.952\,55\,\varphi ^{())}-16\,038.509\,\sin 2\varphi +16.833\,\sin 4\varphi -0.022\,\sin 6\varphi +0.000\,03\,\sin 8\varphi \right){\mbox{m}}\\&, =\left(111\,132.952\,55\,\beta ^{())}-5\,346.170\,\sin2\beta -1.122\,\sin 4\beta -0.001\,\sin 6\beta -0.5\times 10^{-6}\,\si.n8\beta \right){\mbox{mmets,}\end{arged}}$

여기서 φ⁽°⁾ = φ/1°는 φ 도(및 β⁽°⁾의 경우와 유사함)로 표현된다.

타원체에서 φ과₁ φ의₂ 평행선 사이의 정확한 거리는 m(φ₁) - m(φ₂)이다. WGS84의 경우 위도 latitude에서 원으로부터 ±0.5°에서 두 평행선 사이의 거리 Δm에 대한 대략적인 표현은 다음과 같다.

${\displaystyle \Delta m=(111\,133-560\cos 2\varphi ){\mbox{mmm.}}}$

4분의 1 자오선

적도에서 극까지의 거리, 지구 사분면이라고도 하는 사분오선(사분오선까지의 아날로그)은 다음과 같다.

${\displaystyle m_{\mathrm {p}}}=m\left\\frac {}{2}}\오른쪽)\,}$

그것은 미터와 해상의 역사적 정의의 일부였다.

1/4 자오선은 두 번째 종류의 완전한 타원 적분으로 표현할 수 있다.

${\displaystyle m_{\mathrm {p}}}=aE(e)=bE(ie)'.}$

$여기$서 e${\displaystyle }$, ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$은(는) 첫 번째 및 두 번째 편심이다.

4분의 1 자오선도 다음과 같은 일반화된 계열에 의해 주어진다.

${\displaystyle m_{\mathrm {p}}={\frac {\pi(a+b)}{4}}}{0}={\frac {\pi(a+b)}{4}}}}\sum _{j=0}^{\inflt }\왼쪽 \frac{(2j-3)!!}{{(2j)!!}}}\오른쪽)^{2}n^{2j}\...}$

(c₀ 공식은 위의 섹션 #일반화된 시리즈를 참조하십시오.) 이 결과는 아이보리가 처음 얻은 것이다.^[25]

WGS84 타원체에서 1/4 자오선에 대한 숫자 식은

${\displaystyle m_{\mathrm {p} }=10\,001\,965.729{\mbox{m.}}}$

극지 지구의 둘레는 단순히 자오선의 4배이다.

${\displaystyle C_{p}=4m_{p}}$

자오선 타원의 둘레는 정류 원 둘레 C_p = 2_r㎛ 형태로 다시 쓸 수도 있다. 따라서 정류 접지 반경은 다음과 같다.

${\displaystyle M_{r}=0.5(a+b)/c_{0}}$

6367449.146m로 평가할 수 있다.

타원체의 역 자오선 문제

어떤 문제에서는 역 문제를 해결할 수 있어야 한다: 주어진 m, 결정 φ. 이것은 뉴턴의 방법, 반복하여 해결할 수 있다.

${\displaystyle \varphi _{i+1}=\varphi _{i}-{i}-{i}-m}{M(\varphi _{i}}}}}}}$

수렴할 때까지 적절한 출발 추정치는 μ₀ = μ로 제시된다.

${\displaystyle \mu ={\frac {\pi }{2}}:{\frac {m}{m_{\mathrm{p}}}}}}}}}}}}}$

정류 위도 입니다. 곡률 M(φ)의 자오선 반지름 공식을 대신 사용할 수 있으므로 m(φ)에 대해 시리즈를 구별할 필요가 없다는 점에 유의하십시오.

또는 경도 거리에 대한 헬머트의 영상 시리즈를^[26][27] 되돌려서

$#\displaystyle \varphi =\mu +H'_{2}\sin 2\mu +H'_{4}\sin 4\mu +H'{6}\sin 6\mu +H'{8}\sin 8\mu +\cdodots }}}$

, where

${\displaystyle {\reasoned}H'_{2}&={\tfrac {3}{2}}n-{\tfrac {27}{32}}n^{3}+\cdots ,&H'_{6}&={\tfrac {151}{96}}n^{3}+\cdots ,\\H'_{4}&={\tfrac {21}{16}}n^{2}-{\tfrac {55}{32}}n^{4}+\cdots ,\qquad &H'_{8}&={\tfrac {1097}{512}}n^{4}+\cdots .\end{aligned}}}$

마찬가지로 β 측면에서 베셀의 m 시리즈는 다음과 같이^[28] 되돌릴 수 있다.

$\displaystyle \beta =\mu +B'_{2}\sin 2\mu +B'_{4}\sin 4\mu +B'_{6}\sin 6\mu +B'_{8}\sin 8\mu +\cdots ,}$

, where

${\displaystyle {\begin{aligned}B'_{2}&={\tfrac {1}{2}}n-{\tfrac {9}{32}}n^{3}+\cdots ,&B'_{6}&={\tfrac {29}{96}}n^{3}-\cdots ,\\B'_{4}&={\tfrac {5}{16}}n^{2}-{\tfrac {37}{96}}n^{4}+\cdots ,\qquad &B'_{8}&={\tfrac {539}{1536}}n^{4}-\cdots .\end{aligned}}}$

레전드레는^[29] 스피로이드에 있는 지오데틱을 따라가는 거리가 타원의 둘레를 따라가는 거리와 같다는 것을 보여주었다. 이러한 이유로, β와 위에서 주어진 역의 측면에서 m에 대한 표현은 m을 s로 대체하고, 지오데틱을 따라가는 거리, 그리고 β를 보조 구체의 호 길이인 σ으로 대체한 지오데틱 문제의 해결에서 핵심적인 역할을 한다.^[22][30] 6순위로 연장된 필수 시리즈는 카니,^[31] Eqs(17) &(21)가 주는데, ε은 n, μ은 μ의 역할을 한다.

참고 항목

참조

외부 링크

• 서로 다른 측지학적 기준 타원체에서의 자오선 호 온라인 계산