이산 포아송 방정식

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수학에서 이산 포아송 방정식은 포아송 방정식의 유한 차이 아날로그다.그 안에서, 분리된 라플라스 운영자가 라플라스 운영자를 대신한다.이산형 포아송 방정식은 이산형 수학의 주제로서 그 자체로 연구되기도 하지만 연속형 포아송 방정식의 스탠드인으로서 수치해석에서 자주 사용된다.

2차원 직사각형 그리드에서

유한차 수치법을 사용하여 2차원 포아송 방정식(일률적인 공간적 분리를 가정하면 ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle x}$ =${\displaystyle \mathrm{\Delta }}$ y ${\displaystyle \Delta$ x$=\Delta y}$ )을$$m × n 그리드에서 식별하면 다음과 같은 공식을 얻을 수 있다.^[1]

$여기$서 2 ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle \mathrm{m}}$- 1 ${\displaystyle 2\leq$ i$\leq m-1}$ 및 $2$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle \mathrm{n}}$- 1 ${\displaystyle 2\leq$ j$\leq n-1$ 솔루션 벡터의 기본 배열은 경계 요소를 제거하기 전에 다음과 같이 보이는 자연 순서를 사용하는 것이다.

이를 통해 mn × mn 선형 시스템이 생성된다.

어디에

${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I}$은(는) m × m 아이덴티티 $매트릭스$이며$,$ D {\displaystyle $D},$ 또한 m$$× m은 다음과 같이 주어진다.^[2]

$b{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$이$($가) 정의됨

각 $u{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\$ 방정식에$$ 대해 $D{\displaystyle }$ ${\displaystyle D}$의 열은 $u{\displaystyle }$ ${\displaystyle u}$의 $m{\displaystyle }$ ${\displaystym m}$ 성분$$ 블록에 해당한다$.$

$D$의 왼쪽과 오른쪽에 있는$$ $I{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $I$$}$의 열은 $각각$ u {\displaystyle $u}$내에 있는 m {\$displaystyle m}$ $구성요소$의 다른 블록에 해당한다$.$그리고

각각,

위로부터 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$에 m ${\displaystyle m}$의 n ${\displaystyle n}$ 블록 열이 있음을 유추할 수 있다.$$$u{\displaystyle }$ ${\displaystyle u}($대개 경계에 놓여 있음)의 규정된 값에는 $해당$$$요소가 I {\$displaystystyle I}$ 및 I에서 제거된다는 점을 유의해야 한다.${\displaystyle D}$. For the common case that all the nodes on the boundary are set, we have ${\displaystyle 2\leq i\leq m-1}$ and ${\displaystyle 2\leq j\leq n-1}$, and the system would have the dimensions (m − 2)(n − 2) × (m− 2)(n − 2), where ${\displaystyle D}$ and ${\displaystyle$$I}$에는 치수(m - 2) × (m - 2)가 있을 것이다.

예

모든 경계 노드가 규정된 5×5(${\displaystyle \mathrm{m}}$= 5 ${\displaystyle m=5}$ 및$$ ${\displaystyle \mathrm{n}}$= $5{\displaystyle }$ ${\displaystyle n=5})$ 그리드의 경우, 시스템은 다음과 같이 보일 것이다.

와 함께그리고

$${\displaystyle \mathbf {b} =\left[{\begin{array}{l}-\Delta x^{2}g_{22}+u_{12}+u_{21}\\-\Delta x^{2}g_{32}+u_{31}~~~~~~~~\\-\Delta x^{2}g_{42}+u_{52}+u_{41}\\-\Delta x^{2}g_{23}+u_{13}~~~~~~~~\\-\Delta x^{2}g_{33}~~~~~~~~~~~~~~~~\\-\Delta x^{2}g_{43}+u_{53}~~~~~~~~\\-\Delta x^{2}g_{24}+u_{14}+u_{25}\\-\Delta x^{2}g_{34}+u_{35}~~~~~~~~\\-\Delta x^{2}g_{44}+u_{54}+u_{45}\end{array}\오른쪽]}$$

$보시다시피{\displaystyle }$ u${\displaystyle u}$의 경계는$$방정식의 오른쪽에 표시된다.^[3]$전체{\displaystyle }$ 시스템은 9 × 9이고 D ${\displaystyle$ D}$및$ I ${\displaystyle$ I}은$($는) 3 × 3이며, 다음과 같이 지정된다.

그리고

해결 방법

왜냐하면 $[{\displaystyle }$ ${\displaystyle \begin{array}{c}A\end{array}}$]$${\$displaystyle${\$begin{bmatrix}$$A\end{bmatrix}}}$은(는) 블록 삼지각이며 희박한 것으로${\displaystyle }$[${\displaystyle \begin{array}{c}U\end{array}}$ ${\displaystyle \begin{array}{}]\end{array}}$ ${\$을(를) 위해 이 선형 시스템을 최적으로 해결하기 위해 많은 솔루션 방법이 개발됐다.$U\end{bmatrix}}}$. Among the methods are a generalized Thomas algorithm with a resulting computational complexity of ${\displaystyle O(n^{2.5})}$, cyclic reduction, successive overrelaxation that has a complexity of ${\displaystyle O(n^{1.5})}$, and Fast Fourier transforms which is ${\displaystyle O(n\log (n)}$${\displaystyle )}$ ${\displaystyle O(n\log(n$ $최적$의 O${\displaystyle (n}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle O(n)}$ 솔루션도$$ 멀티그리드 방식으로 계산할 수 있다.^[4]

적용들

계산 유체 역학에서, 압축할 수 없는 흐름 문제의 해결책의 경우, 압축할 수 없는 상태가 압력의 제약조건으로 작용한다.이 경우 속도와 압력장의 강한 결합으로 인해 압력에 사용할 수 있는 명시적 형식이 없다.이 조건에서는 모멘텀 방정식에서 모든 항들의 분산을 취함으로써 압력 포아송 방정식을 얻는다.

압축할 수 없는 흐름의 경우 이 제약조건은 다음과 같다.

여기서 $v{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$ ${\$는 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$ 방향의$$ 속도, $v{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle y_{}}$ ${\$$displaystyle$ $v_{y}}$는 $y{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $y$$}$ $방향$의 속도다$$.모멘텀 방정식의 분산을 취하고 불압력 제약 조건을 사용하여 다음과 같이 압력 포아송 방정식을 형성한다.여기서 $\nu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \nu}$은(는) 유체의 키네마틱 $점성$이고 V ${\displaystyle V}$은(는) 속도 벡터다.^[5]

이산 푸아송의 방정식은 마르코프 사슬 이론에서 발생한다.이 함수는 마르코프 의사결정 프로세스에서 동적 프로그래밍 방정식의 상대적 값 함수와 시뮬레이션 분산 감소에서 적용하기 위한 제어 변수로 나타난다.^[6][7][8]

각주

참조

• 1992년 뉴욕 맥그로우-힐 주식회사, 제4회 ED, 호프만, 조 D, 공학자와 과학자를 위한 수치적 방법.
• Sweet, Roland A, SIAM Journal on Numical Analysis, Vol. 11, No. 3, 506–520
• Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007). "Section 20.4. Fourier and Cyclic Reduction Methods". Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd ed.). New York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88068-8.