피사노 시대

처음 10,000 피사노 시대의 플롯.

수 이론에서, ((n)로 쓰여진 n번째 피사노 시대는 모둘로 n을 취한 피보나치 숫자의 순서가 반복되는 시기다.피사노 시대는 피보나찌로 더 잘 알려진 레오나르도 피사노의 이름을 따서 명명되었다.피보나치 수에서 주기적인 기능의 존재는 1774년 조셉 루이스 라그랑이에 의해 지적되었다.^[1]^[2]

정의

피보나치 숫자는 정수 순서의 숫자다.

0, 1, 1, 2, 3, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 17711, 28657, 46368, (OEIS의 경우 순차 A000045)

재발관계로 정의되어 있다.

F_{0}=0

F_{1}=1

F_{i}=F_{i-1}+F_{i-2}.

어떤 정수 n의 경우_i, 피보나치 숫자 F taked modulo n의 순서는 주기적이다.ano(n)로 표시된 피사노 시대는 이 시퀀스의 기간이다.예를 들어 피보나치 숫자 modulo 3의 순서가 시작된다.

0, 1, 2, 0, 2, 2, 0, 1, 2, 0, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 1, 1, 1, 2, (OEIS에서 순서 A082115)

이 순서는 마침표가 8이므로 $π$ (3) = 8이다.

특성.

$π$ (2) = 3을 제외하면 피사노 시대 $π$ (n)은 항상 짝수다.이것에 대한 간단한 증거는 $π$ (n)이 피보나치 행렬의 순서와 동일하다는 것을 관찰함으로써 얻을 수 있다.

\mathbf {Q} ={\begin{bmatrix}1&1\\1&0\end{bmatrix}}

정수모듈로 n의 유한 링 ℤ에서_n 2 x 2 행렬의 일반 선형 그룹 GL₂(GL_n)에서.Q에는 결정요인 -1이 있으므로 Q의^{$π$ (n)} 결정요인은 (-1),^{$π$ (n)} ℤ에서_n 1이 되어야 하므로 n ≤ 2나 $π$ (n)은 짝수다.^[3]

m과 n이 동일시라면, ((mn)은 $π$ (m)와 $π$ (n)의 최소공배수로서, 중국의 나머지 정리로는 π(m)와 is(n)의 최소공배수다.예를 들어 $π$ (3) = 8과 $π$ (4) = 6은 $π$ (12) = 24를 의미한다.따라서 피사노 시기에 대한 연구는 k 1 1의 경우 q = p의^k 피사노 기간으로 축소될 수 있다.

p가 prime이면 p $π$ (p^k)는^k–1 p $π$ (p)를 나눈다.It is unknown if $\pi (p^{k})=p^{k-1}\pi (p)$ for every prime p and integer k > 1. Any prime p providing a counterexample would necessarily be a Wall–Sun–Sun prime, and conversely every Wall–Sun–Sun prime p gives a counterexample (set k = 2).

그래서 피사노 시기에 대한 연구는 프리타임의 피사노 기간으로 더욱 축소될 수 있다.이런 점에서 두 가지 소수점은 변칙적이다.프라임 2는 홀수 피사노 기간을 가지며, 프라임 5는 다른 프라임의 피사노 기간보다 상대적으로 훨씬 큰 기간을 가진다.이러한 프리타임의 파워 기간은 다음과 같다.

n = 2이면^k $π$ (n) = 3·2^k–1 =3/2^k/2 = 3n/2.
n = 5이면^k $π$ (n) = 20·5^k–1 = 20·5^k/5 = 4n.

이로부터 n = 2 · 5이면^k π(n) = 6n을 따른다.

만약 p유력한 2와 5에서 비네의 공식의 나머지를 p아날로그 미국의 뿌리의 π(p)은 곱셈의 명령을 의미 다르다 모든 잔류물을 수업에 놓여 있다. 나머지 소수 수열이야±1(10mod){\displaystyle p\equiv \pm 1{\pmod{10}≡}}또는}≡±3(10mod){\displaystyle p\equiv 3{\pmod{10\pm}이}. p. − $x - 1$ modulo p. $p\equiv \pm 1{\pmod {10}}$ $p\equiv \pm 1{\pmod {10}}$ ± 1 $p\equiv \pm 1{\pmod {10}}$ ( $p\equiv \pm 1{\pmod {10}}$ $p\equiv \pm 1{\pmod {10}}$ ) ${\$ 인 경우, 이러한 루트는 $\mathbb {F} _{p}=\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$ $\mathbb {F} _{p}=\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$ = Z $\mathbb {F} _{p}=\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$ / $\mathbb {F} _{p}=\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$ $\mathbb {F} _{p}=\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$ ${\$ 에 속한다( $\mathbb {F} _{p}=\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$ 이차상호작용).따라서 그들의 순서인 $π$ (p)는 p - 1의 구분자.예를 들어 $π$ (11) = 11 - 1 = 10, $π$ (29) = (29 - 1)/2 = 14.

$p\equiv \pm 3{\pmod {10}},$ $p\equiv \pm 3{\pmod {10}},$ ± $p\equiv \pm 3{\pmod {10}},$ ( $p\equiv \pm 3{\pmod {10}},$ $p\equiv \pm 3{\pmod {10}},$ ) $p\equiv \pm 3{\pmod {10}},$ , ${\displaystyle p\equiv \pmpm$ 3{\ $pmod{$ 10}}}, $x 2 - 1$ 의 루트 $p\equiv \pm 3{\pmod {10}},$ modulo p는 $\mathbb {F} _{p}$ p ${\$ 이차상호작용)에 속하지 않으며 유한장에 속한다.

\mathb {F} _{p}[x]/(x^{2}-x-1).

프로베니우스 오토모르피즘 $x\mapsto x^{p}$ $x\mapsto x^{p}$ $x\mapsto x^{p}$ p ${\$ x $\mapsto x^{p}$ 이 이러한 뿌리를 교환하므로 $x\mapsto x^{p}$ , r과^p s로 나타내면 r = s, 따라서 r^p+1 = –1이 된다.즉 r^2(p+1) = 1이고, r의 순서인 피사노 기간은 홀수 구분자에 의한 2(p+1)의 몫이다.이 지수는 항상 4의 배수다.p(p)가 2(p+1)보다 작은 p의 첫 번째 예는 $π$ (47) = 2(47 + 1)/3 = 32, $π$ (107) = 2(107 + 1)/3 = 72, π(113) = 2(113 + 1)/3 = 76이다(아래 표 참조).

위의 결과로부터 n = p가^k $π$ (n) > n과 같은 기묘한 원시력이라면, $π$ (n)/4는 n보다 크지 않은 정수라는 결과가 뒤따른다.피사노 시대의 곱셈적 특성은 다음과 같은 것을 암시한다.

$π$ (n) ≤ 6n, if와 if = 2 · 5인 경우에만^r r ≥ 1에 대해 동일함.^[4]

첫 번째 예는 $π$ (10) = 60, $and$ (50) = 300이다.n이 2·5형식이^r 아닌 경우에는 $π$ (n) 4 4n.

테이블

처음 12개의 Pisano 주기(OEIS에서 순서 A001175)와 그 주기(가독성을 위해 0 앞에 공백이 있는 경우)는^[5] 각각 10과 11에 대해 16진수 사이퍼 A와 B를 사용한다.

n	π(n)	사이클 내 0 수(OEIS: A001176)	사이클(OEIS: A161553)	사이클에 대한 OEIS 시퀀스
1	1	1	0	A000004
2	3	1	011	A011655
3	8	2	0112 0221	A082115
4	6	1	011231	A079343
5	20	4	01123 03314 04432 02241	A082116
6	24	2	011235213415 055431453251	A082117
7	16	2	01123516 06654261	A105870
8	12	2	011235 055271	A079344
9	24	2	011235843718 088764156281	A007887
10	60	4	011235831459437 077415617853819 099875279651673 033695493257291	A003893
11	10	1	01123582A1	A105955
12	24	2	011235819A75 055A314592B1	A089911

처음 144 Pisano 기간은 다음 표에 표시된다.

π(n)	+1	+2	+3	+4	+5	+6	+7	+8	+9	+10	+11	+12
0+	1	3	8	6	20	24	16	12	24	60	10	24
12+	28	48	40	24	36	24	18	60	16	30	48	24
24+	100	84	72	48	14	120	30	48	40	36	80	24
36+	76	18	56	60	40	48	88	30	120	48	32	24
48+	112	300	72	84	108	72	20	48	72	42	58	120
60+	60	30	48	96	140	120	136	36	48	240	70	24
72+	148	228	200	18	80	168	78	120	216	120	168	48
84+	180	264	56	60	44	120	112	48	120	96	180	48
96+	196	336	120	300	50	72	208	84	80	108	72	72
108+	108	60	152	48	76	72	240	42	168	174	144	120
120+	110	60	40	30	500	48	256	192	88	420	130	120
132+	144	408	360	36	276	48	46	240	32	210	140	24

피보나치 수 피사노 시대

n = F(2k)(k ≥ 2)이면 π(n) = 4k, n = F(2k + 1)이면 π(n) = 8k + 4이다.즉, 모듈로 베이스가 짝수 지수를 갖는 피보나치 수(≥ 3)인 경우, 기간은 지수의 두 배, 주기는 0이 두 개 있다.베이스가 홀수 지수를 갖는 피보나치 수(≥)인 경우, 기간은 지수의 4배, 주기는 0이 4배이다.

k	F(k)	π(F(k))	사이클의 전반부(k k 4) 또는 사이클의 1/4(홀수 k ≥ 4) 또는 모든 사이클(k ≤ 3) (선택한 2/4분기 또는 2/4분기 포함)
1	1	1	0
2	1	1	0
3	2	3	0, 1, 1
4	3	8	0, 1, 1, 2, (0, 2, 2, 1)
5	5	20	0, 1, 1, 2, 3, (0, 3, 3, 1, 4)
6	8	12	0, 1, 1, 2, 3, 5, (0, 5, 5, 2, 7, 1)
7	13	28	0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, (0, 8, 8, 3, 11, 1, 12)
8	21	16	0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, (0, 13, 13, 5, 18, 2, 20, 1)
9	34	36	0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, (0, 21, 21, 8, 29, 3, 32, 1, 33)
10	55	20	0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, (0, 34, 34, 13, 47, 5, 52, 2, 54, 1)
11	89	44	0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, (0, 55, 55, 21, 76, 8, 84, 3, 87, 1, 88)
12	144	24	0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, (0, 89, 89, 34, 123, 13, 136, 5, 141, 2, 143, 1)
13	233	52	0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144
14	377	28	0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233
15	610	60	0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377
16	987	32	0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610
17	1597	68	0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987
18	2584	36	0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597
19	4181	76	0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584
20	6765	40	0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181
21	10946	84	0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765
22	17711	44	0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946
23	28657	92	0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711
24	46368	48	0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657

피사노 시대

n = L(2k) (k ≥ 1)이면 ((n) = 8k, n = L(2k + 1)이면 ((n) = 4k + 2이다.즉, 모듈로 베이스가 짝수 지수를 가진 루카스 수(≥3)라면 그 기간은 지수의 4배다.베이스가 홀수 지수를 가진 루카스 번호(≥4)라면 기간은 지수의 2배다.

k	L(k)	π(L(k))	사이클의 전반부(홀수 k ≥ 2) 또는 사이클의 1/4(짝수 k ≥ 2) 또는 모든 사이클(k = 1) (선택한 2/4분기 또는 2/4분기 포함)
1	1	1	0
2	3	8	0, 1, (1, 2)
3	4	6	0, 1, 1, (2, 3, 1)
4	7	16	0, 1, 1, 2, (3, 5, 1, 6)
5	11	10	0, 1, 1, 2, 3, (5, 8, 2, 10, 1)
6	18	24	0, 1, 1, 2, 3, 5, (8, 13, 3, 16, 1, 17)
7	29	14	0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, (13, 21, 5, 26, 2, 28, 1)
8	47	32	0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, (21, 34, 8, 42, 3, 45, 1, 46)
9	76	18	0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, (34, 55, 13, 68, 5, 73, 2, 75, 1)
10	123	40	0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, (55, 89, 21, 110, 8, 118, 3, 121, 1, 122)
11	199	22	0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, (89, 144, 34, 178, 13, 191, 5, 196, 2, 198, 1)
12	322	48	0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, (144, 233, 55, 288, 21, 309, 8, 317, 3, 320, 1, 321)
13	521	26	0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144
14	843	56	0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233
15	1364	30	0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377
16	2207	64	0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610
17	3571	34	0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987
18	5778	72	0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597
19	9349	38	0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584
20	15127	80	0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181
21	24476	42	0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765
22	39603	88	0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946
23	64079	46	0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711
24	103682	96	0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657

짝수 k의 경우, 주기는 두 개의 0을 가진다.홀수 k의 경우 주기는 0이 1개뿐이고, 물론 0의 왼쪽에 있는 부분과 같은 주기의 후반부는 F(2m + 1)와 n - F(2m)가 교대로 구성되며 m은 감소한다.

주기의 0 수

사이클당 0의 발생 횟수는 1, 2 또는 4이다.p를 0, 1의 조합 뒤의 처음 0 뒤의 숫자로 한다.0 사이의 거리를 q로 한다.

분명히 p = 1이면 주기에 0이 있다.이는 q가 짝수이거나 n이 1 또는 2일 경우에만 가능하다.
그렇지² 않으면 p ≡ 1일 경우 주기에 두 개의 0이 있다.이것은 q가 짝수여야만 가능하다.
그렇지 않으면 한 사이클에 4개의 0이 있다.q가 홀수이고 n이 1이나 2가 아닌 경우다.

일반화된 피보나치 시퀀스의 경우(동일한 반복 관계를 만족하지만, 다른 초기 값(예: 루카스 수)과 함께) 주기당 0의 발생 횟수는 0, 1, 2 또는 4이다.

피사노 주기 n의 비율과 주기 내 0의 modulo n은 유령의 등급 또는 피보나치 진입점을 제공한다.즉, n이 F(k)를 나누는 최소 지수 k이다.다음 구성 요소:

1, 3, 4, 6, 5, 12, 8, 6, 12, 15, 10, 12, 7, 24, 20, 12, 9, 12, 18, 30, 8, 30, 24, 12, 25, 21, 36, 24, 14, 60, 30, 24, 20, 9, 40, 12, 19, 18, 28, 30, 20, 24, 44, 30, 60, 24, 16, 12, ... (sequence A001177 in the OEIS)

르노의 논문에서 0의 수는 F mod m의 "주문"으로, $\omega (m)$ $\omega (m)$ $\omega (m)$ $\omega (m)$ 로 $\omega (m)$ "유령의 순위"는 "순위"로, $\alpha (m)$ ( $\alpha (m)$ $\alpha (m)$ ${\displaystystyle \alpha (m)}$ 로 표기된다 $\alpha (m)$ ^[6]

According to Wall's conjecture, $\alpha (p^{e})=p^{e-1}\alpha (p)$ . If $m$ has prime factorization $m=p_{1}^{e_{1}}p_{2}^{e_{2}}\dots p_{n}^{e_{n}}$ then $\alpha (m)=\operatorname {lcm} (\alpha (p_{1}^{e_{1}}),\alpha (p_{2}^{e_{2}}),\dots ,\alpha (p_{n}^{e_{n}}))$ $\alpha (m)=\operatorname {lcm} (\alpha (p_{1}^{e_{1}}),\alpha (p_{2}^{e_{2}}),\dots ,\alpha (p_{n}^{e_{n}}))$ $\alpha (m)=\operatorname {lcm} (\alpha (p_{1}^{e_{1}}),\alpha (p_{2}^{e_{2}}),\dots ,\alpha (p_{n}^{e_{n}}))$ ) , $\alpha (m)=\operatorname {lcm} (\alpha (p_{1}^{e_{1}}),\alpha (p_{2}^{e_{2}}),\dots ,\alpha (p_{n}^{e_{n}}))$ 2 $\alpha (m)=\operatorname {lcm} (\alpha (p_{1}^{e_{1}}),\alpha (p_{2}^{e_{2}}),\dots ,\alpha (p_{n}^{e_{n}}))$ $\alpha (m)=\operatorname {lcm} (\alpha (p_{1}^{e_{1}}),\alpha (p_{2}^{e_{2}}),\dots ,\alpha (p_{n}^{e_{n}}))$ ) $\alpha (m)=\operatorname {lcm} (\alpha (p_{1}^{e_{1}}),\alpha (p_{2}^{e_{2}}),\dots ,\alpha (p_{n}^{e_{n}}))$ , $\alpha (m)=\operatorname {lcm} (\alpha (p_{1}^{e_{1}}),\alpha (p_{2}^{e_{2}}),\dots ,\alpha (p_{n}^{e_{n}}))$ … , $\alpha (m)=\operatorname {lcm} (\alpha (p_{1}^{e_{1}}),\alpha (p_{2}^{e_{2}}),\dots ,\alpha (p_{n}^{e_{n}}))$ n $\alpha (m)=\operatorname {lcm} (\alpha (p_{1}^{e_{1}}),\alpha (p_{2}^{e_{2}}),\dots ,\alpha (p_{n}^{e_{n}}))$ $\alpha (m)=\operatorname {lcm} (\alpha (p_{1}^{e_{1}}),\alpha (p_{2}^{e_{2}}),\dots ,\alpha (p_{n}^{e_{n}}))$ ) $\alpha (m)=\operatorname {lcm} (\alpha (p_{1}^{e_{1}}),\alpha (p_{2}^{e_{2}}),\dots ,\alpha (p_{n}^{e_{n}}))$ , $\alpha (m)=\operatorname {lcm} (\alpha (p_{1}^{e_{1}}),\alpha (p_{2}^{e_{2}}),\dots ,\alpha (p_{n}^{e_{n}}))$ \ $displaystyle \alpha(m)=\lcm} (\p_{1}^{e_{1$ }:{1 $}2}}),\\ (p_{n}^{n_{n$ ^[6]

일반화

루카스 숫자의 피사노 시대는

1, 3, 8, 6, 4, 24, 16, 12, 24, 12, 10, 24, 28, 48, 8, 24, 36, 24, 18, 12, 16, 30, 48, 24, 20, 84, 72, 48, 14, 24, 30, 48, 40, 36, 16, 24, 76, 18, 56, 12, 40, 48, 88, 30, 24, 48, 32, ... (sequence A106291 in the OEIS)

Pell 번호의 Pisano 기간(또는 2-Fibonacci 번호)은

1, 2, 8, 4, 12, 8, 6, 8, 24, 12, 24, 8, 28, 6, 24, 16, 16, 24, 40, 12, 24, 24, 22, 8, 60, 28, 72, 12, 20, 24, 30, 32, 24, 16, 12, 24, 76, 40, 56, 24, 10, 24, 88, 24, 24, 22, 46, 16, ... (sequence A175181 in the OEIS)

3-피보나치 숫자의 피사노 기간은

1, 3, 2, 6, 12, 6, 16, 12, 6, 12, 8, 6, 52, 48, 12, 24, 16, 6, 40, 12, 16, 24, 22, 12, 60, 156, 18, 48, 28, 12, 64, 48, 8, 48, 48, 6, 76, 120, 52, 12, 28, 48, 42, 24, 12, 66, 96, 24, ... (sequence A175182 in the OEIS)

제이콥스탈 번호(또는 (1,2)-피보나치 번호)의 피사노 기간은

1, 1, 6, 2, 4, 6, 6, 2, 18, 4, 10, 6, 12, 6, 12, 2, 8, 18, 18, 4, 6, 10, 22, 6, 20, 12, 54, 6, 28, 12, 10, 2, 30, 8, 12, 18, 36, 18, 12, 4, 20, 6, 14, 10, 36, 22, 46, 6, ... (sequence A175286 in the OEIS)

(1,3)-피보나치 숫자의 피사노 기간은

1, 3, 1, 6, 24, 3, 24, 6, 3, 24, 120, 6, 156, 24, 24, 12, 16, 3, 90, 24, 24, 120, 22, 6, 120, 156, 9, 24, 28, 24, 240, 24, 120, 48, 24, 6, 171, 90, 156, 24, 336, 24, 42, 120, 24, 66, 736, 12, ... (sequence A175291 in the OEIS)

트리보나치 숫자의 피사노 시대(또는 3단계 피보나치 숫자)는 다음과 같다.

1, 4, 13, 8, 31, 52, 48, 16, 39, 124, 110, 104, 168, 48, 403, 32, 96, 156, 360, 248, 624, 220, 553, 208, 155, 168, 117, 48, 140, 1612, 331, 64, 1430, 96, 1488, 312, 469, 360, 2184, 496, 560, 624, 308, 440, 1209, 2212, 46, 416, ... (sequence A046738 in the OEIS)

테트라나치 수(또는 4단계 피보나치 수)의 피사노 기간은

1, 5, 26, 10, 312, 130, 342, 20, 78, 1560, 120, 130, 84, 1710, 312, 40, 4912, 390, 6858, 1560, 4446, 120, 12166, 260, 1560, 420, 234, 1710, 280, 1560, 61568, 80, 1560, 24560, 17784, 390, 1368, 34290, 1092, 1560, 240, 22230, 162800, 120, 312, 60830, 103822, 520, ... (sequence A106295 in the OEIS)

피보나치 숫자의 일반화를 참조하십시오.

수 이론

피사노 시기는 대수적 숫자 이론을 이용하여 분석할 수 있다.

Let $\pi _{k}(n)$ be the n-th Pisano period of the k-Fibonacci sequence F_k(n) (k can be any natural number, these sequences are defined as F_k(0) = 0, F_k(1) = 1, and for any natural number n > 1, F_k(n) = kF_k(n−1) + F_k(n−2)).If m and n are coprime, then $\pi _{k}(m\cdot n)=\mathrm {lcm} (\pi _{k}(m),\pi _{k}(n))$ , by the Chinese remainder theorem: two numbers are congruent modulo mn if and only if they are congruent modulo m and modulo n, assuming these latter are coprime.예를 들어 $\pi _{1}(3)=8$ 1 $\pi _{1}(3)=8$ ( $\pi _{1}(3)=8$ ) $\pi _{1}(3)=8$ = $\pi _{1}(3)=8$ ${\displaystyle \pi _{1}(3)=8$ $\pi _{1}(4)=6,$ 1 = $\pi _{1}(4)=6,$ $displaystyle \pi _{1}($ $\pi _{1}(12=3\cdot 4)=\mathrm {lcm} (\pi _{1}(3),\pi _{1}(4))=\mathrm {lcm} (8,6)=24.$ $6$ 따라서 $\pi _{1}(12=3\cdot 4)=\mathrm {lcm} (\pi _{1}(3),\pi _{1}(4))=\mathrm {lcm} (8,6)=24.$ $\pi _{1}(12=3\cdot 4)=\mathrm {lcm} (\pi _{1}(3),\pi _{1}(4))=\mathrm {lcm} (8,6)=24.$ ( $\pi _{1}(12=3\cdot 4)=\mathrm {lcm} (\pi _{1}(3),\pi _{1}(4))=\mathrm {lcm} (8,6)=24.$ = 3 $\pi _{1}(12=3\cdot 4)=\mathrm {lcm} (\pi _{1}(3),\pi _{1}(4))=\mathrm {lcm} (8,6)=24.$ $\pi _{1}(12=3\cdot 4)=\mathrm {lcm} (\pi _{1}(3),\pi _{1}(4))=\mathrm {lcm} (8,6)=24.$ ) $\pi _{1}(12=3\cdot 4)=\mathrm {lcm} (\pi _{1}(3),\pi _{1}(4))=\mathrm {lcm} (8,6)=24.$ = $\pi _{1}(12=3\cdot 4)=\mathrm {lcm} (\pi _{1}(3),\pi _{1}(4))=\mathrm {lcm} (8,6)=24.$ $\pi _{1}(12=3\cdot 4)=\mathrm {lcm} (\pi _{1}(3),\pi _{1}(4))=\mathrm {lcm} (8,6)=24.$ $\pi _{1}(12=3\cdot 4)=\mathrm {lcm} (\pi _{1}(3),\pi _{1}(4))=\mathrm {lcm} (8,6)=24.$ ( $\pi _{1}(12=3\cdot 4)=\mathrm {lcm} (\pi _{1}(3),\pi _{1}(4))=\mathrm {lcm} (8,6)=24.$ $\pi _{1}(12=3\cdot 4)=\mathrm {lcm} (\pi _{1}(3),\pi _{1}(4))=\mathrm {lcm} (8,6)=24.$ $\pi _{1}(12=3\cdot 4)=\mathrm {lcm} (\pi _{1}(3),\pi _{1}(4))=\mathrm {lcm} (8,6)=24.$ = $\pi _{1}(12=3\cdot 4)=\mathrm {lcm} (\pi _{1}(3),\pi _{1}(4))=\mathrm {lcm} (8,6)=24.$ = $\pi _{1}(12=3\cdot 4)=\mathrm {lcm} (\pi _{1}(3),\pi _{1}(4))=\mathrm {lcm} (8,6)=24.$ . $\pi _{1}(12=3\cdot 4)=\mathrm {lcm} (\pi _{1}(3),\pi _{1}(4))=\mathrm {lcm} (8,6)=24.$ Thus it suffices to compute Pisano periods for prime powers $q=p^{n}.$ (Usually, $\pi _{k}(p^{n})=p^{n-1}\cdot \pi _{k}(p)$ , unless p is-월-순 프라임 또는 k-피보나치-Wieferich prime, 즉 p는² F_k(p - 1) 또는 F(p_k + 1)를 나눈다. 여기서 F는_k k-Fibonacci 시퀀스, 예를 들어 241은 3-Wall–Sun–Sun) 프라임이다. 241은² F₃(242).

프라임 숫자 p의 경우, 비넷의 공식을 사용하여 다음과 같이 분석할 수 있다.

{\

={{\varphi _{k}^{n}-(k-\varphi _{k})^{n}} \over {\sqrt {k^{2}+4}}}={{\varphi _{k}^{n}-(-1/\varphi _{k})^{n}} \over {\sqrt {k^{2}+4}}},\,}

where

\varphi _{k}

is the kth metallic mean

\varphi _{k}={\frac {k+{\sqrt{k^{2}+4}}{2}}{2}}.

만약 k2+4은 평방 잉여 나머지,(어디 p>2및 p+4k2 나누지 않는다)동업-2+4,1/2,{\displaystyle{\sqrt{k^{2}+4}},1/2,}과 k/k2+4{\displaystyle k/{\sqrt{k^{2}+4}}}의 정수로 나머지를 p,며, 따라서 비네의 공식의 정수에 과학자 p,과 곡에 표현될 수 있는데 표현할 수 있k.우리를 찾았다고e Pisano period는 모든 전력( $\phi (p),$ : $\varphi _{k}^{n}$ k n $\phi (p)=p-1$ {\ $displaystyle$ \ $varphi _{k}^{n$ 이 $\phi (p),$ ( $\phi (p),$ ) $\phi (p),$ , ${\displaystyle \phi (p)$ 를 분할하므로 totient $\phi (p),$ $\phi (p)=p-1$ $\phi (p)=p-1$ ) $\phi (p)=p-1$ = $\phi (p)=p-1$ - $\phi (p)=p-1$ ${\displaystylease$ pi $=p.$

k = 1의 경우 p = 11에 처음 발생하며, 여기서 4² = 16 ≡ 5 (mod 11) 및 2 · 6 = 12 ≡ 1 (mod 11) 및 4 · 3 = 12 ≡ 1 (mod 11)이므로 4 = √5, 6 = 1/2 및 1/4 = 3 = φ = (1 + 4)/6 = 30 8 8 (mod 11)과 합이 발생한다.

F_{1}\좌측(n\오른쪽)\equiv 3\cdot \좌측(8^{n}-4^{n}\우측){\pmod {11}.

p - 1을 적절하게 나눌 수 있음을 보여주는 또 다른 예는 π₁(29) = 14이다.

If k² + 4 is not a quadratic residue modulo p, then Binet's formula is instead defined over the quadratic extension field $(\mathbb {Z} /p)[{\sqrt {k^{2}+4}}]$ , which has p² elements and whose group of units thus has order p² − 1, and thus the Pisano period divides p² − 1.예를 들어, p = 3의 경우 one(3) = 8이² 3 - 1₁ = 8이고, p = 7의 경우 π₁(7) = 16이 7 - 1 = 48을² 적절하게 나눈다.

들어 px2, k2+4동일한 것이다 이 분석 p를 x2와 k2+4의squarefree 부분 p는, 이러한 경우에 이후 0으로 제수, 그래서 하나의 1/2해석하거나 k2+4{\displaystyle{\sqrt{k^{2}+4}}조심해야 한다}. 제시하지 못하는 1모드 2(kodd에)이지만, 피사노 기간은 아니p − 1=1, 오히려 3(사실, thi.s또한 짝수 k)의 경우 3이다.p가 k² + 4의 제곱 없는 부분을 나누는 경우, 피사노 주기는 π_k(k² + 4) = p - p = p²(p - 1)로, p - 1이나 p - 1을² 나누지 않는다.

피보나치 정수 시퀀스 모듈로 n

피보나치 정수 시퀀스를 고려하여 모듈로 n을 취하거나 다르게 표현하면 링 Z/nZ에서 피보나치 시퀀스를 고려할 수 있다.시대는 ((n)의 단점이다.사이클당 0의 발생 횟수는 0, 1, 2 또는 4이다.n이 prime이 아닌 경우, 주기에는 divisor에 대한 주기의 배수인 주기가 포함된다.예를 들어, n = 10의 경우 추가 사이클에는 n = 2에 5를 곱한 사이클과 n = 5에 2를 곱한 사이클이 포함된다.

여분의 사이클 표: (원래 피보나치 사이클은 제외) (각각 10과 11에 대해 X와 E를 사용)

n	곱절	다른 순환	사이클 수 (원래 피보나치 사이클 포함)
1			1
2	0		2
3	0		2
4	0, 022	033213	4
5	0	1342	3
6	0, 0224 0442, 033		4
7	0	02246325 05531452, 03362134 04415643	4
8	0, 022462, 044, 066426	033617 077653, 134732574372, 145167541563	8
9	0, 0336 0663	022461786527 077538213472, 044832573145 055167426854	5
10	0, 02246 06628 08864 04482, 055, 2684	134718976392	6
11	0	02246X5492, 0336942683, 044819X874, 055X437X65, 0661784156, 0773X21347, 0885279538, 0997516729, 0XX986391X, 14593, 18964X3257, 28X76	14
12	0, 02246X42682X 0X8628X64X2, 033693, 0448 0884, 066, 099639	07729E873X1E 0EEX974E3257, 1347E65E437X538E761783E2, 156E5491XE98516718952794	10

피보나치 정수 주기 mod n의 수:

1, 2, 2, 4, 3, 4, 4, 8, 5, 6, 14, 10, 7, 8, 12, 16, 9, 16, 22, 16, 29, 28, 12, 30, 13, 14, 14, 22, 63, 24, 34, 32, 39, 34, 30, 58, 19, 86, 32, 52, 43, 58, 22, 78, 39, 46, 70, 102, ... (sequence A015134 in the OEIS)

메모들

^ Weisstein, Eric W. "Pisano Period". MathWorld.
^ 피보나치 숫자와 관련된 산술 함수.악타 산티아카 16세(1969년).2011년 9월 22일 회수
^ 모듈형 피보나치 시대성에 관한 정리오늘의 정리(2015년).2016년 1월 7일 회수.
^ 프레이드 & 브라운 (1992년)
^ Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A001175: graph". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. 주기 모듈로 1~24를 나타내는 그래프.이미지의 각 행은 하단의 1에서 상단의 24까지 다른 모듈로 기본 n을 나타낸다.열은 왼쪽의 F(0) 모드 n에서 오른쪽의 F(59) 모드 n까지 피보나치 숫자 mod n을 나타낸다.각 셀에서 밝기는 잔류물의 값을 나타내며, 0의 경우 어두운 색에서 n-1의 경우 거의 흰색으로 표시한다.왼쪽의 푸른 정사각형은 첫 번째 기간을 나타내며, 푸른 정사각형의 수는 피사노 번호다.
^ ^a ^b "The Fibonacci Sequence Modulo M, by Marc Renault". webspace.ship.edu. Retrieved 2018-08-22.

참조

Bloom, D. M. (1965), "Periodicity in generalized Fibonacci sequences", Amer. Math. Monthly, 72 (8): 856–861, doi:10.2307/2315029, JSTOR 2315029, MR 0222015
Brent, Richard P. (1994), "On the periods of generalized Fibonacci sequences", Mathematics of Computation, 63 (207): 389–401, arXiv:1004.5439, Bibcode:1994MaCom..63..389B, doi:10.2307/2153583, JSTOR 2153583, MR 1216256
Engstrom, H. T. (1931), "On sequences defined by linear recurrence relations", Trans. Am. Math. Soc., 33 (1): 210–218, doi:10.1090/S0002-9947-1931-1501585-5, JSTOR 1989467, MR 1501585
Falcon, S.; Plaza, A. (2009), "k-Fibonacci sequence modulo m", Chaos, Solitons & Fractals, 41 (1): 497–504, Bibcode:2009CSF....41..497F, doi:10.1016/j.chaos.2008.02.014
Freyd, Peter; Brown, Kevin S. (1992), "Problems and Solutions: Solutions: E3410", Amer. Math. Monthly, 99 (3): 278–279, doi:10.2307/2325076, JSTOR 2325076
Laxton, R. R. (1969), "On groups of linear recurrences", Duke Mathematical Journal, 36 (4): 721–736, doi:10.1215/S0012-7094-69-03687-4, MR 0258781
Wall, D. D. (1960), "Fibonacci series modulo m", Amer. Math. Monthly, 67 (6): 525–532, doi:10.2307/2309169, JSTOR 2309169
Ward, Morgan (1931), "The characteristic number of a sequence of integers satisfying a linear recursion relation", Trans. Am. Math. Soc., 33 (1): 153–165, doi:10.1090/S0002-9947-1931-1501582-X, JSTOR 1989464
Ward, Morgan (1933), "The arithmetical theory of linear recurring series", Trans. Am. Math. Soc., 35 (3): 600–628, doi:10.1090/S0002-9947-1933-1501705-4, JSTOR 1989851
Zierler, Neal (1959), "Linear recurring sequences", J. SIAM, 7 (1): 31–38, doi:10.1137/0107003, JSTOR 2099002, MR 0101979

외부 링크

피보나치 수열모듈로 m
피보나치 수치에 관한 연구
피보나치 시퀀스는 q, r modulo m으로 시작한다.
Johnson, Robert C., Fibonacci resources
피보나치 미스터리 - 유튜브의 번호표지, 제임스 그리임 박사와 노팅엄 대학과의 동영상

[mathworld-1] Weisstein, Eric W. "Pisano Period". MathWorld.

[2] 피보나치 숫자와 관련된 산술 함수.악타 산티아카 16세(1969년).2011년 9월 22일 회수

[3] 모듈형 피보나치 시대성에 관한 정리오늘의 정리(2015년).2016년 1월 7일 회수.

[4] 프레이드 & 브라운 (1992년)

[5] Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A001175: graph". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. 주기 모듈로 1~24를 나타내는 그래프.이미지의 각 행은 하단의 1에서 상단의 24까지 다른 모듈로 기본 n을 나타낸다.열은 왼쪽의 F(0) 모드 n에서 오른쪽의 F(59) 모드 n까지 피보나치 숫자 mod n을 나타낸다.각 셀에서 밝기는 잔류물의 값을 나타내며, 0의 경우 어두운 색에서 n-1의 경우 거의 흰색으로 표시한다.왼쪽의 푸른 정사각형은 첫 번째 기간을 나타내며, 푸른 정사각형의 수는 피사노 번호다.

[renault-6] "The Fibonacci Sequence Modulo M, by Marc Renault". webspace.ship.edu. Retrieved 2018-08-22.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

Search

피사노 시대

네임스페이스

더

목차

정의

특성.

테이블

피보나치 수 피사노 시대

피사노 시대

주기의 0 수

일반화

수 이론

피보나치 정수 시퀀스 모듈로 n

메모들

참조

외부 링크