피보나치 수치의 일반화

수학에서 피보나치 숫자는 다음과 같이 재귀적으로 정의된 시퀀스를 형성한다.

${\displaystyle F_{n}={\begin{case}0&n=0\\\1&n=1\\\\\\\\F_{n-1}+F_{n-2}&n>1\end{case}}$

즉, 두 개의 시작 값 후에 각 숫자는 앞의 두 숫자의 합이다.

피보나치 수열은 예를 들어 0과 1이 아닌 다른 숫자로 시작해서 다음 숫자를 생성하기 위해 두 개 이상의 숫자를 추가하거나, 숫자 이외의 개체를 추가하는 등 여러 가지 방법으로 광범위하게 연구되고 일반화되었다.

음의 정수로 확장

$F{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$- ${\displaystyle 2_{}}$= F${\displaystyle {}_{}}$- ${\displaystyle F_{}}$ - ${\displaystyle {}_{}}$- ${\displaystyle 1_{}}$ ${\$를 사용하면 피보나치 숫자를 음의 정수로 확장할 수 있다$.$그래서 우리는 다음을 얻는다.

... −8, 5, −3, 2, −1, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, ...

${\displaystyle {및}_{}}$ $F{\displaystyle {}_{}}$- n${\displaystyle {}_{}}$=${\displaystyle }$(${\displaystyle }$- 1${\displaystyle {}^{}}$) n${\displaystyle {}^{}}$+ ${\displaystyle 1^{}}$ ${\displaystyle F_{}}$ n ${\$^[1]

NegaFibonacci 코드화를 참조하십시오.

모든 실제 또는 복잡한 숫자로 확장

피보나치 수에는 그들의 영역에 있는 실제 숫자(그리고 때로는 복잡한 숫자)를 포함하는 많은 가능한 일반화가 있다.이것들은 각각 황금비율 φ을 포함하며, 비넷의 공식을 기초로 한다.

${\displaystyle F_{n}={\frac {\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}}{-n}}{\sqrt{5}}}.}$

분석함수

${\displaystyle \operatorname {Fe}(x)={\frac {\varphi ^{x}-\varphi ^{-x}}{\sqrt{5}}}}}}}}$

${\displaystyle \mathrm{Fe}}$ ${\displaystyle (n}$)${\displaystyle }$= F ${\displaystyle n_{}}$ ${\$라는 속성을 가지고 있음짝수 정수 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$에 대한 $F_{n$$\}.$^[2] 마찬가지로 분석 함수:

${\displaystyle \operatorname {Fo}(x)={\frac {\varphi ^{x}+\varphi ^{-x}}{\sqrt{5}}}}}}}}$

${\displaystyle \mathrm{Fo}}$ ${\displaystyle }$( ${\displaystyle n}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle F_{}}$ n ${\$ 충족홀수 정수 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$에 대한 $F_{n$$\}.$

마지막으로, 이것들을 종합하면, 분석 기능

${\displaystyle \operatorname {Fib}(x)={\frac {\varphi ^{x}-\cos(x\pi )\varphi ^{-x}{\sqrt{5}}}}}}}}$

${\displaystyle \mathrm{Fib}}$ ${\displaystyle }$( ${\displaystyle n}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle F_{}}$ n ${\$ 충족모든 정수 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$에 대한 $F_{n$$\}.$^[3]

Since ${\displaystyle \operatorname {Fib} (z+2)=\operatorname {Fib} (z+1)+\operatorname {Fib} (z)}$ for all complex numbers ${\displaystyle z}$, this function also provides an extension of the Fibonacci sequence to the entire complex plane.따라서 복합 변수의 일반화된 피보나치 함수를 계산할 수 있다. 예를 들어,

${\displaystyle \operatorname {Fib}(3+4i)\약 -5248.5-14195.9i}$

벡터 공간

또한 피보나치 시퀀스라는 용어는 정수의 $함수{\displaystyle }$ g ${\displaystyle g}$에서 g ${\displaystyle (n}$+ ${\displaystyle 2}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle (n}$)${\displaystyle }$+ g ${\displaystyle (n}$+ ${\displaystyle 1}$)$${\$displaysty g(n+2)=g(n)+g(n+1)}$에 더 일반적으로 적용된다$.$These functions are precisely those of the form ${\displaystyle g(n)=F(n)g(1)+F(n-1)g(0)}$, so the Fibonacci sequences form a vector space with the functions ${\displaystyle F(n)}$ and ${\displaystyle F(n-1)}$ as a basis.

보다 일반적으로 $g{\displaystyle }$ ${\displaystyle g}$의 범위는 (Z-module로 간주됨) 모든 아벨 그룹으로 간주될$$ 수 있다.그런 다음 피보나치 시퀀스도 같은 방식으로 2차원 $Z{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ Z$}$ -모듈을$$ 형성한다.

유사한 정수 시퀀스

피보나치 정수 시퀀스

피보나치 정수 시퀀스의 2차원 $Z{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ Z$}$ $-모듈$은 g${\displaystyle }$(${\displaystyle n}$+ ${\displaystyle 2}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle g}$(${\displaystyle n}$)${\displaystyle }$+ g${\displaystyle }$(${\displaystyle n}$+ ${\displaystyle 1}$) ${\displaystyle g(n+2)=g(n)+g(n+1)}$을 만족하는 모든 정수 시퀀스로 구성된다$.$두 가지 초기 값으로 표현된다.

${\displaystyle g(n)=F(n)g(1)+F(n-1)g(0)=g(1){\frac {\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}}{\sqrt {5}}}+g(0){\frac {\varphi ^{n-1}-(-\varphi )^{1-n}}{\sqrt {5}}},}$

여기서 $\phi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \varphi }$은(는) 황금 비율이다.

연속된 두 원소 사이의 비율은 황금비율로 수렴되는데, 이때 연속적으로 0인 순서와 두 첫 번째 항의 비율이 (${\displaystyle }$-${\displaystyle \phi {}^{}}$)${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$인 경우( -$$φ ) - 1인 경우(-\$displaystyle(-\varphi )^{-1}$인 경우는 제외한다$.$

순서는 양식으로 쓸 수 있다.

${\displaystyle a\barphi ^{n}+b(-\varphi )^{-n}}$

$여기$서 $a{\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle a=0}$ b${\displaystyle }$= 0$${\$displaystyle b=0}$인 경우에만$$. 이 형식에서 가장 단순하지 않은 $예$는 a${\displaystyle }$= ${\displaystyle b}$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle a=b=1$}이며$,$ 이는 루카스 숫자의 순서다.

${\displaystyle L_{n}=\varphi ^{n}+(-\varphi )^{-n}.}$

$L{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle L_{1}=1}$ 및$$ $L{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle L_{2}=3$ .속성에는 다음이 포함된다.

${\displaystyle {\displaysty}\varphi ^{n}&=\left\fract\1+{\sqrt{5}}{2}}\오른쪽)^{n}={\frac{L(n)+F(n){\sqrt{5}{2}},\L(n)&=F(n-1)+F(n+1)\end{정렬}}}$

모든 비경쟁적 피보나치 정수 시퀀스는 와이토프 배열의 행 중 하나로 (아마도 한정된 위치 수에 의한 이동 후) 나타난다.피보나치 수열 자체가 1열이고, 루카스 수열의 전환이 2열이다.^[4]

피보나치 정수 시퀀스 modulo n을 참조하십시오.

루카스 시퀀스

피보나치 수열의 다른 일반화는 다음과 같이 정의된 종류의 루카스 수열이다.

${\$$\U$$PU(n+1)-QU(n)\end{aigned$

where the normal Fibonacci sequence is the special case of ${\displaystyle P=1}$ and ${\displaystyle Q=-1}$. Another kind of Lucas sequence begins with ${\displaystyle V(0)=2}$, ${\displaystyle V(1)=P}$. Such sequences have applications in number theory and primality proving.

$Q{\displaystyle }$=${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle Q=-1}$이 시퀀스를 P-Fibonacci 시퀀스라고 하는데, 예를 들어 Pell 시퀀스를 2-Fibonacci 시퀀스라고도 한다.

3-피보나치 수열은

0, 1, 3, 3, 10, 103, 103, 109, 360, 1189, 3927, 12970, 42837, 141481, 467280, 154321, 5097243, 168350, 55602393, 183642229, 606529080, …(OEIS의 경우 순차 A006190)

4-피보나치 순서는

0, 1, 4, 4, 17, 72, 305, 1292, 5473, 23184, 98209, 416020, 1762289, 7465176, 31622993, 133957148, 567451585, 2403763488, …(OEIS의 경우 순차 A001076).

5-피보나치 수열은

0, 1, 5, 2, 135, 135, 701, 3640, 18901, 98145, 509626, 2646275, 13741001, 71351280, 370497401, 1923838285, 9989688826, ...(OEIS의 경우 시퀀스 A052918)

6-피보나치 수열은

0, 1, 6, 37, 228, 1405, 8655, 53353, 328776, 2026009, 124830, 76934989, 474094764, 2921503573, 18003116202, ...(OEIS의 경우 순차 A005668)

The n-Fibonacci constant is the ratio toward which adjacent ${\displaystyle n}$-Fibonacci numbers tend; it is also called the nth metallic mean, and it is the only positive root of ${\displaystyle x^{2}-nx-1=0}$. For example, the case of ${\displaystyle n=1}$ is ${\displaystyle$${\frac{1+{\sqrt{5}}{5}}{$2$\}\}:$ 황금 비율이며, $n{\displaystyle }$= 2 ${\displaystyle n=2}$의 경우는 $1{\displaystyle \mathrm{}}$+ ${\$ 또는 은 비율이다.일반적으로 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$의 경우는 $n{\displaystyle \frac{}{}}$+ ${\displaystyle \frac{\sqrt{{n\mathrm{}}^{}}}{}}$ ${\displaystyle \frac{2\sqrt{{}^{}}}{}}$+ 4 ${\displaystyle \frac{2}{\mathrm{}}}$ ${\$ 입니다$.$^{[citation needed]}

일반적으로 $U{\displaystyle }$(${\displaystyle n}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle U(n)}$은(P,-Q)-피보나치 시퀀스, V(n)은 (P,-Q)-루카스 시퀀스 호출이 가능하다$$.

(1,2)-피보나치 순서는

0, 1, 1, 3, 5, 11, 21, 43, 85, 171, 341, 683, 1365, 2731, 5461, 10923, 21845, 43691, 87381, 174763, 349525, 699051, 1398101, 2796203, 5592405, 11184811, 22369621, 44739243, 89478485, ... (sequence A001045 in the OEIS)

(1,3)-피보나치 순서는

1, 1, 4, 7, 19, 40, 97, 217, 217, 1159, 2683, 6160, 14209, 32689, 75316, 173383, 399331, 919480, 2117473, 4875913, 1122833, 25856071, 59541067, …(OEIS의 경우 순차 A006130)

(2,2)-피보나치 순서는

0, 1, 2, 6, 16, 44, 120, 328, 896, 2448, 6688, 18272, 49920, 136384, 372608, 1017984, 2781184, 7598336, 20759040, 56714752, ...(OEIS의 경우 시퀀스 A002605)

(3,3)-피보나치 순서는

0, 1, 3, 3, 4, 45, 171, 648, 2457, 9315, 35316, 133893, 507627, 1924560, 7296561, 27663363, 104879772, 397629405, 1507527531, 5715470808, …(OEIS의 경우 순서 A030195)

피보나치 수보다 높은 순서

순서 n의 피보나치 순서는 각 시퀀스 요소가 이전 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$ 요소의$$$$ 합계인 정수 순서다(순서의 첫 $번째{\displaystyle }$ n ${\displaystyle n}$ 요소는 제외).일반적인 피보나치 숫자는 순서 2의 피보나치 순서다.사례 $n{\displaystyle }$= ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle n=3}$ 및$$ $n{\displaystyle }$= ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle n=4}$은(는) 철저히 조사되었다$$.최대 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$인 부품에 음이 아닌 정수의 구성 수는 순서 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$의 피보나치 시퀀스다$.$최대 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$개의$$ 연속 0s를 포함하는$$ $길이{\displaystyle }$ m$${\$displaystyle m$}의 문자열 수열도 순서 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$의 피보나치 수열이다$.$

이러한 시퀀스, 제한 비율 및 제한 비율의 한계는 1913년 마크 바에 의해 조사되었다.^[5]

트리보나치 수

트리보나치 숫자는 피보나치 숫자와 같으나 미리 정해진 두 개의 항으로 시작하는 대신, 순서는 미리 정해진 세 개의 항으로 시작하고 그 후의 각 항은 앞의 세 항의 합이다.처음 몇 개의 트리보나치 숫자는 다음과 같다.

0, 0, 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44, 81, 149, 274, 504, 927, 1705, 3136, 5768, 10609, 19513, 35890, 66012, … (OEIS의 후속 A000073)

이 시리즈는 1914년 아그로노모프에 의해 공식적으로 처음 설명되었지만,^[6] 의도하지 않게 처음 사용된 것은 찰스 R의 <종의 기원>에 있다. 다윈.코끼리 개체수의 증가를 예시하는 예에서 그는 아들 조지 H. 다윈의 계산에 의존했다.^[7]트리보나치라는 용어는 1963년 파인버그에 의해 제안되었다.^[8]

트리보나치 상수

${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt[{3}]{19+3{\sqrt {33}}}}+{\sqrt[{3}]{19-3{\sqrt {33}}}}}{3}}={\frac {1+4\cosh \left({\frac {1}{3}}\cosh ^{-1}\left(2+{\frac {3}{8}}\right)\right)}{3}}\appr$$소$ 1$.8392867555214161,}($OEIS의 순서 A058265)

인접한 트리보나치 수의 비율이다.다항식 $x{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}^{}}$- ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle 2{}^{}}$- x${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle$ x$^{3}-x^{2}-x-1=0$의 루트이며, $x{\displaystyle }$+${\displaystyle 3^{}}$= ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle x+x^{-3}=2}$ 등식도 만족한다$.$그것은 스너브 큐브를 연구하는 데 중요하다.

관계 ${\displaystyle {3\mathrm{}}^{}}$3 + ${\displaystyle 2{}^{}}$2 + ${\displaystyle =}$ = ${\displaystyle 1}${\$displaystyle \xi$^{$3}+\xi$^{2$}+\xi =1}$로 표현되는 트리보나치 상수의 역수는 다음과 같이 쓸 수 있다$.$

${\displaystyle \xi =\frac{\sqrt[3]{17+3\sqrt{33}}-\sqrt[3]{-17+3\sqrt{33}}-1}{3}=\frac{3}{1+\sqrt[3]{19+3\sqrt{33}}+\sqrt[3]{19-3\sqrt{33}}}\approx \mathrm{0.543689012.}}$${\displaystyle \xi ={\frac {{\sqrt[{3}]{17+3{\sqrt {33}}}}-{\sqrt[{3}]{-17+3{\sqrt {33}}}}-1}{3}}={\frac {3}{1+{\sqrt[{3}]{19+3{\sqrt {33}}}}+{\sqrt[{3}]{19-3{\sqrt {33}}}}}}\approx 0.543689012.$${}($OEIS에서 순서 A192918)

트리보나치 숫자도 에 의해^[9] 주어진다.

${\displaystyle T(n)=\left\lfloor 3b\,{\frac {1}{3}}\좌측(a_{+}+a_{-}+1\우측)\우측)^{n}}{b^{2}-2b+4}}\오른쪽\rceil }$

여기서 $\lfloor {\displaystyle }$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle \rceil }$ ${\displaystyle \lfloor \cdot \rceil }$은 가장 가까운 정수 함수를 나타내며$$

${\displaystyle{\pm origned}a_{\pm }&={\sqrt[{3}]{19\pm 3{\sqrt{33}}}}\\\sqrt[{3}}}]{586+6{\sqrt{33}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\,\,\,\end{정렬}}}$

테트라나치 수

테트라나치 숫자는 미리 정해진 네 개의 항으로 시작하며, 각 항은 앞의 네 개의 항을 합한 것이다.처음 몇 개의 테트라나치 번호는 다음과 같다.

0, 0, 0, 0, 1, 2, 4, 8, 15, 29, 56, 108, 208, 401, 773, 1490, 2872, 5536, 10671, 20569, 39648, 76424, 147312, 283953, 547337, (OEIS의 경우 순차 A000078)

테트라나치 상수는 인접한 테트라나치 수의 비율이다.It is a root of the polynomial ${\displaystyle x^{4}-x^{3}-x^{2}-x-1=0}$, approximately 1.927561975482925 (sequence A086088 in the OEIS), and also satisfies the equation ${\displaystyle x+x^{-4}=2}$.

테트라나치 상수는 다음과 같은 표현으로 급진적인 용어로 표현된다.

${\displaystyle x={\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{4}}{\sqrt {{\tfrac {11}{3}}-{\tfrac {4}{3}}{\sqrt[{3}]{{\tfrac {3}{2}}{\sqrt {1689}}+{\tfrac {65}{2}}}}+{\tfrac {4}{3}}{\sqrt[{3}]{{\tfrac {3}{2}}{\sqrt {1689}}-{\tfrac {65}{2}}}}}}+}$

${\displaystyle +{\tfrac {1}{4}}{\sqrt {{\sqrt {\left({\tfrac {11}{3}}+{\tfrac {8}{3}}{\sqrt[{3}]{{\tfrac {3}{2}}{\sqrt {1689}}+{\tfrac {65}{2}}}}-{\tfrac {8}{3}}{\sqrt[{3}]{{\tfrac {3}{2}}{\sqrt {1689}}-{\tfrac {65}{2}}}}\right)^{2}+339}}+{\tfrac {22}{3}}+{\tfrac {4}{3}}{\sqrt[{3}]{{\tfrac {3}{2}}{\sqrt {1689}}+{\tfrac {65}{2}}}}-{\tfrac {4}{3}}{\sqrt[{3}]{{\tfrac {3}{2}}:{\sqrt{1689}-{\tfrac {65}{2}}}}}}}}}$

상위주문

펜타나치, 헥사나치, 헵타나치 수가 계산되었다.펜타나치 숫자는 다음과 같다.

0, 0, 0, 0, 1, 2, 4, 8, 16, 31, 61, 120, 236, 464, 912, 1793, 3525, 6930, 13624, (OEIS의 경우 순서 A001591)

헥사나치 수:

0, 0, 0, 0, 0, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 63, 125, 248, 492, 976, 1936, 3840, 7617, 15109, … (OEIS에서 순서 A001592)

Heptanacci 숫자:

0, 0, 0, 0, 0, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 127, 253, 504, 1004, 2000, 3984, 7936, 15808, … (OEIS에서 연속 A122189)

옥타나치 숫자:

0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 255, 509, 1016, 2028, 4048, 8080, 16128, … (OEIS의 경우 순서 A079262)

Enneanacci 숫자:

0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 511, 1021, 2040, 4076, 8144, 16272, … (OEIS의 경우 순서 A104144)

$n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$ -nacci$$ 시리즈의 연속적인 항 비율의 한계는 $x{\displaystyle }$ +${\displaystyle x^{}}$-${\displaystyle {}^{}}$n = ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle$ x$+x^{-n}=2}($OEIS: A103814, OEIS: A118427, OEIS: A118428)의 루트를 형성한다.

두 연속 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$ -nacci$$ 숫자의 비율$$ $r{\displaystyle }$ ${\displaystyle r}$에 대한 대체 재귀 공식은 다음과 같이 표현할 수 있다.

${\displaystyle r}$= ${\displaystyle \underset{k}{\overset{}{}}}$= 0 ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$- ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}{}^{}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{\mathrm{r}}}}$ -${\displaystyle k^{}}$ ${\$

특수 사례 $n{\displaystyle }$= ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle n=2}$은(는) 황금 섹션 ${\displaystyle \mathrm{\phi }}$= 1${\displaystyle }$+ ${\displaystyle 1\frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{\phi }{}}$ ${\$을(를) 생성하는 전통적인 피보나치 시리즈 입니다$.$

위의 비율 공식은 임의의 번호에서 $생성$된 n ${\displaystyle n$} -nacci$$ 시리즈에 대해서도 그대로 유지된다.이 비율의 한계는 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ n}이$($가) 증가함에 따라 2이다."infinacci" 시퀀스는, 만약 설명될 수 있다면, 무한히 많은 0이 그 시퀀스를 산출할 것이다.

[..., 0, 0, 1,] 1, 2, 4, 8, 16, 32, …

두 개의 힘일 뿐이지

> ${\displaystyle n>0}$에 대한 비율의 한계는 특성 방정식의^[10] 양의$$ $루트{\displaystyle }$ r ${\displaystyle r}$이다.

${\displaystyle x^{n}-\sum _{i=0}^{n-1}x^{i}=0.}$

루트 $r{\displaystyle }$ ${\displaystyle r}$은(는) 간격 2- - )에 있으며$$ r< ${\displaystyle$ 2 $(1-2^{-n$$r<2}.$특성 방정식의 음근은 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$이(가) 짝수일$$ 때 간격(-1, 0)에 있다.이 루트 및 특성 방정식의 각 복합 루트는 -n< < $[\displaystyle 3^{-n}<$ r $<1$^[10]

> ${\displaystyle n>0}$에 대한 양의 루트 $r{\displaystyle }$ ${\displaystyle r}$에 대한 영상 시리즈는^[10]

${\displaystyle 2-2\sum _{i>0}{\frac {1}{{i}}{\binom {(n+1)i-2}{{{2^{(n+1)i}}}}}$

5 ≤ n ≤ 11일 때 활성산소의 관점에서 특성 방정식의 해법은 없다.^[10]

n-nacci 시퀀스의 k번째 요소는 다음과 같다.

${\displaystyle F_{k}^{n}^{{n}=\좌측\l바닥 {\r^{k-1}(r-1)}{{(n+1)r-2n}}{{(n+1)r-2n}\right\rceil ,}$

여기서 $\lfloor {\displaystyle }$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle \cdot }$ \$$\$displaystyle \lplaystyle$ \$cdot$ \$rceil$ $}$은 가장 가까운 정수 함수를 $나타내며{\displaystyle }$r$${\$displaystyle$ n$}$ -cici$$ 상수로$,$ $x{\displaystyle }$+ ${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle n^{}}$ = ${\displaystyle 2}$ ${\displaysty x+x^{-n}=2}$의 루트$$.^[11]

코인토싱 문제는 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle$n} -nacci$$ 시퀀스와 관련이 있다.이상화된 $코인$의 m$${\$displaystyle m}$ $던지기$에 n$${\displaystyle m} 연속$$ 꼬리가 발생하지 않을 $확률$은 1 ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}{}_{}^{}}$ F${\displaystyle m_{}^{}}$ + ${\displaystyle 2_{}^{}}$ ${\displaystyle n_{}^{}}$ ${\displaystyle {)}_{}^{}}${\$displaystyle {\1}{2^{m}F_{m+2}}^{n$^[12]

피보나치어

피보나치어는 그 수치상의 상대와 유사하게 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle F_{n}=F(n):={\begin{case}{\text{b}&n=0;\\\text{a}=1&n=\F(n-1)+F(n-2)&n>1.\\end{case}}$

여기서${\displaystyle }$+ ${\displaystyle +}$은 두 문자열의 연결을 나타낸다.피보나치 문자열의 순서는 다음과 같다.

b, a, ab, aba, abaaba, abaabaababaababaab, … (OEIS에서 순서 A106750)

각 피보나치 문자열의 길이는 피보나치 숫자로, 마찬가지로 각 피보나치 숫자에 해당하는 피보나치 문자열이 존재한다.

피보나치 문자열은 일부 컴퓨터 알고리즘에서 최악의 경우에 대한 입력으로 나타난다.

"a"와 "b"가 두 가지 다른 물질이나 원자 결합 길이를 나타낸다면, 피보나치 문자열에 해당하는 구조는 피보나치 퀘이시크리스탈이며, 특이한 스펙트럼 특성을 가진 주기적인 퀘이시크리스탈 구조물이다.

콘볼루션 피보나치 시퀀스

경련 피보나치 수열은 한 번 이상 피보나치 수열에 경련 연산을 적용하여 얻는다.구체적으로, 정의^[13]

${\displaystyle F_{n}^{(0)=F_{n}}}$

그리고

${\displaystyle F_{n}^{(r+1)=\sum _{i=0}^{n}}F_{i}F_{n-i}^{(r)}}}}}}$

처음 몇 개의 시퀀스는

${\displaystyle r}$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle r=1}$: 0, 0, 1, 2, 5, 10, 20, 38, 71, … (OEIS의 순서 A001629).

${\displaystyle r}$= ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle r=2$ : 0, 0, 0, 1, 3, 9, 22, 51, 111, … (OEIS의 순서 A001628).

${\displaystyle r}$= ${\displaystyle 3}$ $[\displaystyle r=3}$: 0, 0, 0, 0, 1, 4, 14, 40, 105, … (OEIS의 순서 A001872).

반복을 사용하여 시퀀스를 계산할 수 있음

${\displaystyle F_{n+1}^{(r+1)}=F_{n}^{(r+1)}+F_{n-1}^{(r+1)}+F_{n}^{(r)}}}$

$r{\displaystyle }$ ${\displaystyle r}$ th$$ convolution의 생성 기능은

${\displaystyle s^{(r)}{{k=0}=\sum _{k=0}^{n}^{{n}^{n}}=\좌측({\frac}{1-x-x^{2}}\오른쪽)^{r}}}}}$

순서는 관계에 의한 피보나치 다항식의 순서와 관련된다.

${\displaystyle F_{n}^{(r)}=r!F_{n}^{(r)}(1)}$

where ${\displaystyle F_{n}^{(r)}(x)}$ is the ${\displaystyle r}$th derivative of ${\displaystyle F_{n}(x)}$. Equivalently, ${\displaystyle F_{n}^{(r)}}$ is the coefficient of ${\displaystyle (x-1)^{r}}$ when ${\displaystyle F_{x}($$x)}$은$({\displaystyle }$는) ( x${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$) ${\displaystyle (x-1)}$ 의 권한으로 확장된다$.$

첫 번째 콘볼루션인 $F{\displaystyle {}_{}^n}$ (${\displaystyle 1_{}^{}}$ ) ${\$은(는) 피보나치 및 루카스 숫자로 다음과 같이 쓸 수 있다$$.

${\displaystyle F_{n}^{n(1)={\frac {nL_{n}-F_{n}}{5}}}}}$

그리고 재발에 따르다.

${\displaystyle F_{n+1}^{(1)=2F_{n}^{n1}^{{n1}+F_{n-1}^{{n-2}F_{n-2}^{{n-3}^{1}}}}$

$r{\displaystyle }$> ${\displaystyle r>1}$에 대해 유사한 표현식을 찾을 수 있으며, r ${\displaystyle r}$이(가) 증가함에 따라 복잡성이 증가한다.숫자 $F{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle n_{}^{}}$( $){\$는 호소야의 삼각형의 행합이다$$.

피보나치 숫자와 마찬가지로 이러한 시퀀스에 대한 몇 가지 조합적 해석이 있다.예를 들어, ${\displaystyle F_{}^{}}$n (${\displaystyle 1_{}^{}}$ )$${\$displaystyle F_{n}^{(1)}$는${\displaystyle }$n - ${\displaystyle 2}${\$displaystyle n-2}$을(를) 한 번 정확히 사용한 0, 1, 2만 포함하는 순서의 합으로 작성할 수 있는$$ 방법이다.${\displaystyle \mathrm{특히}}$ $F{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle 4_{}^{}}$( 1${\displaystyle {}_{}^{}}$)${\displaystyle {}_{}^{}}$= 5 ${\displaystyle F_{4}^{(1)=5}$와 2는 0 + 1 + 1, 0 + 2, 1 + 1, 1 + 1 + 1 + 0, 2 + 0으로 쓸 수 있다.^[14]

기타 일반화

피보나치 다항식은 피보나치 수의 또 다른 일반화다.

$P{\displaystyle (n}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle P(n}$- 2${\displaystyle }$)${\displaystyle }$+ ${\displaystyle P(n}$- ${\displaystyle 3}$) ${\displaystyle P(n)=P(n-2)+P(n-3)}$에 의해 Padovan 시퀀스가 생성된다$.$

나라야나의 젖소 순서는 재발 $N{\displaystyle }$( ${\displaystyle k}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle N}$( ${\displaystyle \mathrm{k}}$- 1${\displaystyle }$)${\displaystyle }$+ N${\displaystyle }$( ${\displaystyle k}$- ${\displaystyle 3}$) ${\displaystyle N(k)=N(k-1)+N(k-3)}$에 의해 생성된다$.$

A random Fibonacci sequence can be defined by tossing a coin for each position ${\displaystyle n}$ of the sequence and taking ${\displaystyle F(n)=F(n-1)+F(n-2)}$ if it lands heads and ${\displaystyle F(n)=F(n-1)-F(n-2)}$ if it lands tails.푸르스텐베르크와 케스틴의 연구는 이 순서가 거의 일정한 비율로 기하급수적으로 증가한다는 것을 보증한다: 상수는 동전 던지기에서 독립적이며 디바카르 비스와나스가 1999년에 계산한 것이다.지금은 비스와나트의 상수로 알려져 있다.

repfigit 또는 Keith 번호는 그 숫자가 그 숫자로 피보나치 시퀀스를 시작할 때 결국 원래 숫자에 도달하는 정수다.4와 7로 시작하는 피보나치 수열(4, 7, 11, 18, 29, 47)이 47에 이르기 때문에 예가 47이다.숫자 내에 3자리 숫자가 있을 경우 트리보나치 시퀀스, 숫자가 4자리 숫자일 경우 테트라나치 번호 등이 재구성이 될 수 있다.처음 몇 가지 재구성 사항은 다음과 같다.

14, 19, 28, 47, 61, 71, 197, 742, 1104, 1537, 2208, 2580, 3684, 4788, 7385, 7647, 7909, … (OEIS의 경우 순차 A007629)

관계 $S{\displaystyle }$( ${\displaystyle n}$)${\displaystyle }$= S${\displaystyle }$( ${\displaystyle \mathrm{n}}$- 1${\displaystyle }$)${\displaystyle }$+ ${\displaystyle S}$( ${\displaystyle \mathrm{n}}$- 2${\displaystyle }$) ${\displaystyle S(n)=S(n-1)+S(n-2)}$을(를) 만족하는 시퀀스 집합은 용어 추가에 따라 닫히고$$ 상수에 의한 용어 곱에 따라 벡터 공간으로 볼 수 있다.그러한 순서는 두 원소의 선택에 의해 독특하게 결정되므로 벡터 공간은 2차원적이다.If we abbreviate such a sequence as ${\displaystyle (S(0),S(1))}$, the Fibonacci sequence ${\displaystyle F(n)=(0,1)}$ and the shifted Fibonacci sequence ${\displaystyle F(n-1)=(1,0)}$ are seen to form a canonical basis for this space, yielding the identity:

${\displaystyle S(n)=S(0)F(n-1)+S(1)F(n)}$

그러한 모든 시퀀스 S에 대해.예를 들어 S가 루카스 수열 2, 1, 3, 4, 7, 11, ...이라면 우리는 얻는다.

${\displaystyle L}$(${\displaystyle }$n )${\displaystyle }$= ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \mathrm{F}}$( ${\displaystyle n}$- ${\displaystyle 1}$)${\displaystyle }$+ ${\displaystyle F}$(${\displaystyle n}$) ${\displaystyle L(n)=2F(n-1)+F(n)}$.

N 생성 피보나치 수열

N에서 생성된 피보나치 수열(여기서 N은 양의 이성수)을 정의할 수 있다.

${\displaystyle N=2^{a_{1}}\cdot 3^{a_{2}}\cdot 5^{a_{3}}\cdot 7^{a_{4}}\cdot 11^{5}}\cdot 13^{a_{6}}\cdot ...\cdot p_{r}^{a_{r},}$

여기서 p는_r r번째 전성기라고 정의하면

${\displaystyle F_{N}(n)=a_{1}F_{N}(n-1)+a_{2}F_{N}(n-2)+a_{3}F_{N}(n-3)+a_{4}F_{N}(n-4)+a_{5}F_{N}(n-5)+...}$

$n{\displaystyle }$= ${\displaystyle \mathrm{r}}$- 1 ${\displaystyle n=r-1$ $F{\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle n}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle F_{N}(n)-$1$,$ n< - ${\displaystyle n>,$$F{\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle n)}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle F_{N}(n)=0$^{[citation needed]}

순서	N	OEIS 시퀀스
피보나치 수열	6	A000045
펠 수열	12	A000129
제이콥스탈 수열	18	A001045
트리보나치 수열	30	A000073
테트라나치 수열	210	A000288
파도바 수열	15	A000931
나라야나의 젖소 순서	10	A000930

세미 피보나치 수열

The semi-Fibonacci sequence (sequence A030067 in the OEIS) is defined via the same recursion for odd-indexed terms ${\displaystyle a(2n+1)=a(2n)+a(2n-1)}$ and ${\displaystyle a(1)=1}$, but for even indices ${\displaystyle a(2n)=a(n)}$, ${\displays$$tyle n\geq 1$ 이상 색인 조건 $s{\displaystyle }$( ${\displaystyle n}$)${\displaystyle }$= a${\displaystyle }$( ${\displaystyle \mathrm{2n}}$- $){\displaystyle s$${\displaystyle (}$$n)=a(2n-1)$의 $bis섹션{\displaystyle }$ A030068은 s${\displaystyle }$(n${\displaystyle }$+ 1 )${\displaystyle }$=${\displaystyle s}$(${\displaystyle n}$) + ${\displaystyle a}$ (n ) +${\displaystyle }$a ($){\displaystystysty s(n)=s)+a$(n$)}}}}}}}}}}}$을 확인하며$$ 엄격히 증가하고 있다.반 피보나치 숫자 세트를 산출한다.

1, 2, 3, 5, 6, 9, 11, 16, 17, 23, 26, 35, 37, 48, 53, 69, 70, 87, 93, 116, 119, 145, 154, ... (OEIS의 경우 순차 A030068)

$s{\displaystyle }$( ${\displaystyle n}$)${\displaystyle }$= a${\displaystyle }$( ${\displaystyle 2^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$( 2 ${\displaystyle \mathrm{n}}$- 1${\displaystyle }$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle \mathrm{k}}$= ${\displaystyle 0}$,${\displaystyle }$.${\displaystyle }$. . . . ${\displaystyle$ s$(n)=a(2^{k})(2n-1)$ $,k=0,1$,...}$$.

참조

외부 링크

• "Tribonacci number", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]