순서 위상

수학에서 순서 위상은 어떤 전체 순서 집합에서 정의될 수 있는 특정한 위상이다.그것은 완전히 순서가 정해진 임의의 집합에 대한 실수의 토폴로지를 자연스럽게 일반화한 것이다.

X가 완전히 순서 집합인 경우 X의 순서 위상은 "개방 광선"의 하위 베이스에 의해 생성된다.

\{x\mid a<x\

\{x\mid x<b\}

모든 a, b in X에 대해. 단, X는 최소한 두 개의 요소를 가지고 있는데, 이는 개방된 간격을 말하는 것과 같다.

{\displaystyle (a,b)=\{x\mid a.

위의 광선과 함께 주문 위상의 기초가 된다.X의 오픈 세트는 그러한 오픈 간격과 광선의 조합이다.

위상학적 공간 X는 그 순서에 의해 유도되는 순서 위상과 X의 주어진 위상이 일치하도록 그 요소들에 총 순서가 존재하는 경우 주문 가능한 공간이라고 불린다.순서 위상은 X를 완전히 정상적인 하우스도르프 공간으로 만든다.

R, Q, Z, N의 표준 위상은 순서 위상이다.

유도 순서 위상

Y가 X의 부분 집합인 경우, X는 완전히 순서가 정해진 집합이고, Y는 X의 총 순서를 상속한다.따라서 집합 Y에는 순서 위상, 유도 순서 위상이 있다.X의 부분 집합으로서 Y는 또한 하위 공간 위상도 가지고 있다.아공간 위상은 최소한 유도 순서 위상만큼 미세하지만 일반적으로 동일하지는 않다.

예를 들어, 합리적으로 부분 집합 Y = {–1} ∪ {1/n}_n∈N을(를) 고려하십시오.서브 스페이스 토폴로지에서는 싱글톤 세트 {–1}이(가) Y로 개방되지만 유도 순서 토폴로지에서는 –1을 포함하는 모든 오픈 세트가 공간의 모든 구성원을 포함해야 한다.

위상이 순서 위상이 아닌 선형 순서의 하위 공간의 예

비록 Y)의 부분 공간 위상은 섹션 그 위에∪{1/n}n∈N{–1}Y에 그래서 그 부분 공간 토폴로지는 이산 토폴로지(토폴로지 Y에 이 유도자 명령에 의해, 실제로도 이 부분 공간 위상 수학의 모든 지점(즉, singleton{y}Y의 모든 y에 Y에 열려 있는)격리되어 Y, 이것은 그럼에도 불구하고 주문 형태 생성되지는 않을 것이며 표시되어 있다. 에서Y의 모든 부분 집합이 열린 집합이며, 모든 집합의 이산 위상은 순서 위상이다.Y에 이산 위상을 생성하는 Y에 대한 총 순서를 정의하려면 -1을 Y의 가장 큰 요소로 정의하고 다른 점에 대해 동일한 순서를 유지하여 Y에 유도된 순서를 수정하면 된다. 따라서 이 새로운 순서(call say)₁에서 우리는 모든 n for N에 ₁대해 1/n < –1을 갖게 된다.그 다음,₁ <에 의해 생성된 Y의 순서 위상에서는 Y의 모든 지점이 Y로 격리된다.

우리는 여기서 선형적으로 순서가 정해진 위상 공간 X의 부분집합 Z를 정의하여, 위상이 순서 위상인 공간의 하위 공간 위상임에도 불구하고 하위 공간 위상이 순서 위상이 되지 않도록 하고자 한다.

$Z=\{-1\}\cup (0,1)$ = $Z=\{-1\}\cup (0,1)$ { $Z=\{-1\}\cup (0,1)$ - $Z=\{-1\}\cup (0,1)$ $Z=\{-1\}\cup (0,1)$ , $Z=\{-1\}\cup (0,1)$ ) $Z=\{-1\}\cup (0,1)$ 을 $Z=\{-1\}\cup (0,1)$ (를) 실제 라인에 두십시오.이전과 동일한 인수는 Z의 하위공간 위상이 Z의 유도 순서 위상과 같지 않음을 보여주지만, Z의 하위공간 위상은 Z의 어떤 순서 위상과 같을 수 없다는 것을 보여줄 수 있다.

논쟁이 뒤따른다.모순을 통해 <에 의해 생성된 순서 위상이 Z의 하위공간 위상과 같다고 하는 엄격한 총계질서 <가 있다고 가정하는 것이 아니라, <가 Z의 유도된 순서라고 가정하는 것이 아니라, 하위공간 위상을 생성하는 Z에 임의로 주어진 총계질서가 있다고 가정한다.다음에서 구간 표기법은 <관계>에 대해 해석해야 한다.또한 $A<B$ $A<B$ 와 B가 설정된 경우 $A<B$ < B ${\displaystyle A>는$ A와 B의 각 A에 $a<b$ < $a<b$ ${\displaystyle a>$ 를 의미한다.

Let M = Z \ {-1}, 단위 간격.M이 연결되어 있다.m, n ∈ M 및 m < -1 < n, ( $(-\infty ,-1)$ - $(-\infty ,-1)$ , $(-\infty ,-1)$ - 1 $(-\infty ,-1)$ ) ${\displaystyle(-\inflt ,-1)}$ 및 $(-\infty ,-1)$ $(-1,\infty )$ ( $(-1,\infty )$ - $(-1,\infty )$ , $(-1,\infty )$ ) ${\displaystyle(-1,\infty )}$ 이(가) M을 분리하면 $(-1,\infty )$ 모순이다.따라서 M < {-1} 또는 {-1} < M. 일반성을 상실하지 않고 {-1} < M. {-1}은(는) Z에서 열려 있기 때문에 M에는 간격(-1, p)이 비어 있는 점이 있다고 가정한다.{-1} < M> 때문에 우리는 -1이 Z의 p보다 작은 유일한 요소라는 것을 알고 있으므로 p는 M의 최소 요소라는 것을 알고 있다.그런 다음 M \ {p} = A ∪ B, 여기서 A와 B는 비어 있지 않은 개방 및 해제된 M의 하위 집합(개방 간격에서 점을 제거하면 두 개의 개방 간격이 생긴다).연결성에 의해 Z\B의 어떤 지점도 B의 두 지점 사이에 있을 수 없고, Z\A의 어떤 지점도 A의 두 지점 사이에 있을 수 없다.따라서 A < B>나 B < A. 일반성을 잃지 않고 A < B>라고 가정한다. A가 A의 어떤 점이라면 p < a와 (p,a) $\subseteq$ ${\$ 디스플레이 $스타일 \subseteq$ } $\subseteq$ $.$ 그러면 (-1,a)=[p,a] 따라서 [p,a]가 열린다.{p}∪A=[p,a)∪A이므로 {p}∪A는 M의 공개 서브셋이므로 M = ({p}∪A) ) B는 M의 두 개의 분리 공개 서브셋의 결합이므로 M이 연결되지 않는 모순이다.

왼쪽 및 오른쪽 순서 토폴로지

몇 가지 변형된 순서 토폴로지를 제공할 수 있다.

$(a,\infty )=\{x\in X\mid x>a\}$ 의 올바른 순서 위상은^[1] X와 함께 형식(, $(a,\infty )=\{x\in X\mid x>a\}$ )의 모든 구간 $(a,\infty )=\{x\in X\mid x>a\}$ ∞ $(a,\infty )=\{x\in X\mid x>a\}$ ) = { $(a,\infty )=\{x\in X\mid x>a\}$ X $(a,\infty )=\{x\in X\mid x>a\}$ x $(a,\infty )=\{x\in X\mid x>a\}$ } ${\displaystyle (a,\inft )=\{x\in$ X\ $mid x>$ a $(a,\infty )=\{x\in X\mid x>a\}$ 을(와)의 모든 구간을 기준으로 하는 위상이다.
X의 왼쪽 순서 위상은 X와 함께 형식( $(-\infty ,a)=\{x\in X\mid x<a\}$ - $(-\infty ,a)=\{x\in X\mid x<a\}$ , $(-\infty ,a)=\{x\in X\mid x<a\}$ )의 모든 구간을 기준으로 하는 위상이다 $(-\infty ,a)=\{x\in X\mid x<a\}$ = { $mid$ X $(-\infty ,a)=\{x\in X\mid x<a\}$ x < $(-\infty ,a)=\{x\in X\mid x<a\}$ } ${\displaystyle(-\infty,a)=\{x\in$ X\ $mid$ x $<a$

왼쪽 및 오른쪽 순서 위상은 일반 위상에서 counterrexamp를 제공하는 데 사용할 수 있다.예를 들어, 경계 집합의 왼쪽 또는 오른쪽 순서 토폴로지는 하우스도르프가 아닌 콤팩트한 공간의 예를 제공한다.

왼쪽 순서 위상은 부울 대수에서 많은 설정-이론적 목적에 사용되는 표준 위상이다.^{[clarification needed]}

순서형 공간

임의의 순서 번호 λ에 대해, 순서 번호의 공간을 고려할 수 있다.

[0,\data )=\\{\mid \mid \da <\da \da \}

[0,\buffa ]=\{\buffer \mid \req \leq \buffda \}}

자연 순서 위상과 함께.이런 공간을 서수공간이라고 한다.(보통 순서형 번호의 설정-이론적 구성에서 우리는 0 = [0,162]와 λ + 1 = [0,162]가 있다.)분명히 이러한 공간은 λ이 무한 서수일 때 대부분 관심사가 된다. 그렇지 않으면(유한 서수의 경우), 순서 위상은 단순히 이산 위상일 뿐이다.

λ = Ω(첫 번째 무한 서수)일 때, 공간[0,Ω]은 일반적인 (여전히 이산적인) 위상과 함께 N에 불과하며, [0,Ω]은 N의 원포인트 압축이다.

특히 관심 있는 것은 = = Ω₁, 모든 카운트 가능한 서수 집합, 그리고 첫 번째 헤아릴 수 없는 서수일 경우다.소자 Ω은₁ [0,Ω₁]의 소자 순서가 소자 Ω을₁ 한계로 가지고 있지 않더라도 하위 집합[0,Ω₁]의 한계점이다.특히 [0,Ω₁]은 일차 카운트할 수 없다.그러나 카운트 가능한 로컬 베이스가 없는 [0,Ω₁]의 유일한 지점은 Ω이기₁ 때문에 하위 공간 [0,Ω₁]은 먼저 카운트할 수 있다.일부 추가 속성은 다음을 포함한다.

[0,Ω₁] 또는 [0,Ω₁]은(는) 분리 가능하거나 두 번째 카운트 가능하지 않음
[0,Ω₁]은 콤팩트한 반면, [0,Ω₁]은 순차적으로 컴팩트하고 카운트할 수 있는 컴팩트하지만 컴팩트나 파라콤팩트는 아니다.

위상 및 서수

위상학적 공간으로서의 서수

모든 서수 번호는 순서 위상(순서가 잘 되어있기 때문에 특별히 서수가 완전히 순서됨)과 함께 내포함으로써 위상적 공간으로 만들 수 있다. 반대로 지시자가 위상적 공간으로 생각될 때 의미가 있는 것은 항상 순서 위상이다.(우리가 위상학적 공간으로서 적절한 클래스를 기꺼이 받아들인다면, 모든 서수들의 클래스 또한 순서 위상의 위상적 공간이라는 점에 유의한다.)

서수 α의 한계점 집합은 정확히 α보다 작은 한계 서수의 집합이다.α 이하인 후계자 서수(및 0)는 α 단위의 격리된 점이다.특히 유한 서수 및 Ω은 이산 위상학적 공간이며, 그 너머의 서수는 이산하지 않는다.서수 α는 만약 α가 후속 서수일 경우에만 위상학적 공간으로 압축된다.

한계 서수 α의 닫힌 집합은 우리가 이미 정의한 의미에서, 즉 한계 서수 아래에 모든 충분히 큰 서수를 포함할 때마다 한계 서수를 포함하는 집합에 불과하다.

어떤 서수라도 물론 추가 서수의 공개 하위 집합이다.또한 서수의 위상은 다음과 같은 귀납적인 방법으로 정의할 수 있다: 0은 빈 위상학적 공간이며, α+1은 α의 원포인트 압축을 취하여 얻으며, Δ는 유도 한계 위상(interval)을 갖추고 있다.α가 후속 서수인 경우 α는 콤팩트하며, 이 경우 1점 콤팩트화 α+1은 α와 점의 분리 결합이다.

위상학적 공간으로서 모든 서수들은 하우스도르프(Hausdorff)이며 심지어 정상이다.또한 완전히 분리(연결된 구성요소는 점이다), 흩어진다(모든 비 빈 서브공간은 고립된 점을 가지고 있다; 이 경우, 단지 가장 작은 원소를 취한다), 0차원(위상에는 개방된 기초가 있다: 여기서, 개방된 간격(β, β')을 클로닝 간격의 결합(β, β+1)=[β+1,γ]으로 작성한다.단, 일반적으로 극단적으로 분리되지 않는다(예를 들어, 닫힘이 개방되지 않은 Ω의 짝수 번호와 같은 오픈 세트가 있다).

위상 공간 Ω과₁ 그 후속 공간 Ω₁+1은 카운트할 수 없는 위상 공간의 텍스트북 예로서 자주 사용된다.예를 들어, 위상 공간 ω1+1에, ω1 하위 집합 ω1의 폐쇄 ω1의 한계치로 갖는 요소를 ω1:ω1는 요소 요소지 않더라도 시퀀스의 가산 집합과 같은 세트의 순서를 셀 수 있게 많은 가산 집합, 이 집합의 공무원 노조는 노조 때문에, 여전히 가산, 이 결혼은 위다.bound 시퀀스 원소의 d로, 따라서 시퀀스의 한계(있는 경우).

공간 Ω은₁ 1번 카운트할 수 있지만 2번 카운트할 수는 없으며, Ω₁+1은 콤팩트함에도 불구하고 이 두 가지 속성 중 어느 것도 가지고 있지 않다.또한 Ω에서₁ R(실제 라인)까지의 모든 연속 함수는 결국 일정하므로 Ω의₁ 스톤-체크 압축은 원포인트 압축과 마찬가지로 Ω₁+1이다(스톤-체크 압축이 Ω보다 훨씬 큰 Ω과 극명하게 대조된다).

순서형 색인 시퀀스

만약 α가 한계 서수이고 X가 집합이라면, X의 원소들의 α-색인 순서는 단지 α에서 X까지의 함수를 의미한다.이 개념, 즉 트랜스파이널 시퀀스 또는 순서형 색인 시퀀스는 시퀀스 개념을 일반화한 것이다.통상적인 순서는 케이스 α = Ω에 해당한다.

X가 위상학적 공간이라면, 우리는 X의 원소들의 α-색인 순서가 그물로서 수렴할 때 한계 x로 수렴된다고 말하는데, 다시 말해 x의 어떤 근린 U가 주어졌을 때 모든 allβ에 대해 X가_ι U에 있는 것과 같은 순서 β<α가 있다고 말한다.

Ordinal-indexed 시퀀스 더 평범한(ω-indexed)시퀀스보다 위상에 한계의 결정에. 예를 들어,ω1(omega-one, 모든 가산 명사의 서수적 수의 집합이이며 가장 작은 무수한 번호 순서),ω1+1(때문에 제한 서수)의 극한점, 및 와는 이용이ω1-indexed 시퀀스의 제한이 강력합니다apsΩ보다₁ 작은 임의의 서수: 그러나, Ω으로 된 일반적인₁ (Ω-Ω) 시퀀스의 제한은 아니다. 이러한 제한은 그 요소들의 결합보다 작거나 같기 때문에, 그 자체가 계수 가능한 집합의 결합이기 때문이다.

However, ordinal-indexed sequences are not powerful enough to replace nets (or filters) in general: for example, on the Tychonoff plank (the product space $(\omega _{1}+1)\times (\omega +1)$ ), the corner point $(\omega _{1},\omega )$ is a limit point (it is in t그는 $\omega _{1}\times \omega$ $\omega _{1}\times \omega$ 의 오픈 서브셋인 $\opega _{1}\migration \omega }$ 의 닫힘)이 있지만, 서수 순서 제한은 아니다 $\omega _{1}\times \omega$

참고 항목

메모들

^ Steen & Seebach, 페이지

참조

Steen, Lynn A. and Seebach, J. Arthur Jr.; Topology, Holt, Rinehart 및 Winston의 Counterrexamps. ISBN 0-03-079485-4.
Stephen Willard, General Topology, (1970) Addison-Wesley Publishing Company, Reading Massachusetts.
이 글에는 크리에이티브 커먼스 귀속/공유-알레이크 라이센스에 따라 라이센스가 부여된 PlanetMath의 Order 토폴로지의 자료가 통합되어 있다.

[1] Steen & Seebach, 페이지

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