극단적으로 분리된 공간

수학에서 극단적으로 단절된 공간은 모든 오픈 세트의 닫힘이 열려 있는 위상학적 공간이다.(극단적으로 단절된 공간이라는 단어는 대부분의 사전에서 나타나지 않지만, '극단적으로 단절된 공간'^[1]이라는 용어는 정확하다.극단적으로 단절된 용어가 사용되기도 하지만 부정확하다.)

극단적으로 단절된 공간도 콤팩트하고 하우스도르프도 스톤칸 공간이라고 부르기도 한다.이것은 스톤 공간과는 다른데, 보통 완전히 단절된 컴팩트한 하우스도르프 공간이다.스톤 스페이스와 부울 알헤브라의 이중성에서 스톤 알헤브라의 공간은 완전한 부울 알헤브라에 해당한다.

극단적으로 분리된 첫 번째 계수의 수집 공간인 하우스도르프는 분리되어야 한다.특히 미터법 공간의 경우 극단적으로 분리되는 속성(모든 오픈 세트의 닫힘이 열려 있음)은 이산(모든 세트가 열려 있음)의 속성과 동일하다.

예

• 모든 분리된 공간은 극단적으로 분리되어 있다.모든 불분명한 공간은 극단적으로 분리되고 연결된다.
• 분리된 공간의 스톤-체크 압축은 극단적으로 분리된다.
• 아벨리안 폰 노이만 대수학의 스펙트럼은 극단적으로 단절되어 있다.
• $모든{\displaystyle }$ 정류형 AW*-algebra는 C${\displaystyle }$( ${\displaystyle X}$) ${\displaystyle C(X)}$과 이형이며, 여기서 $X$ ${\displaystyle X}$은(는) 극단적으로 분리되고, 콤팩트하며, 하우스도르프(Hausdorff)이다.
• 코피나이트 위상이 있는 무한 공간은 극단적으로 분리되고 연결된다.더 일반적으로 모든 초연결 공간은 극단적으로 분리된다.
• 베이스${\displaystyle \{\{x}$, ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \}}$,${\displaystyle }${ ${\displaystyle x}$, y${\displaystyle }$, ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \}\}}$ ${\displaystyle \{$x,$y\}},\{x,y,z\}\}}}}$이(가) 있는 세 지점의 공간은 극단적으로 분리되고 연결된 공간의 유한한 예를 제공한다$$.

등가 특성화

글리슨(1958)에 의한 정리에서는 콤팩트 하우스도르프 공간 범주의 투영 객체가 정확히 극단적으로 단절된 컴팩트 하우스도르프 공간이라고 말한다.이 사실에 대한 간단한 증거는 빗물(1959년)에 의해 제시된다.

소형 하우스도르프 공간은 분리된 공간의 스톤-체크 압축을 수축한 경우에만 극단적으로 분리된다.^[2]

적용들

하르티그(1983)는 극단적으로 분리된 공간의 경우로 축소함으로써 리에츠-마르코프-카쿠타니 표현 정리를 증명하고, 이 경우 표현 정리는 기초적인 방법으로 증명할 수 있다.

참고 항목

• 완전히 분리된 공간

참조

• A. V. Arkhangelskii (2001) [1994], "Extremally-disconnected space", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• Gleason, Andrew M. (1958), "Projective topological spaces", Illinois Journal of Mathematics, 2 (4A): 482–489, doi:10.1215/ijm/1255454110, MR 0121775
• Hartig, Donald G. (1983), "The Riesz representation theorem revisited", American Mathematical Monthly, 90 (4): 277–280, doi:10.2307/2975760
• Johnstone, Peter T. (1982). Stone spaces. Cambridge University Press. ISBN 0-521-23893-5.
• Rainwater, John (1959), "A Note on Projective Resolutions", Proceedings of the American Mathematical Society, 10 (5): 734–735, doi:10.2307/2033466, JSTOR 2033466
• Semadeni, Zbigniew (1971), Banach spaces of continuous functions. Vol. I, PWN---Polish Scientific Publishers, Warsaw, MR 0296671