흩어진 공간

수학에서 흩어진 공간은 비어 있지 않은 밀도-인-자체 부분집합을 포함하지 않는 위상학적 공간 X이다.^[1]^[2]동등하게, X의 모든 비어 있지 않은 부분 집합 A는 A에서 분리된 점을 포함한다.

위상 공간의 부분집합은 하위 공간 위상과 함께 산란된 공간인 경우 산란 집합이라고 한다.

예

별개의 공간은 모두 흩어져 있다.
순서 위상이 있는 모든 서수 번호는 분산되어 있다.실제로 비어 있지 않은 모든 부분 집합 A는 최소 원소를 포함하고 있으며, 그 원소는 A에서 격리된다.
특정 포인트 위상, 특히 시에르핀스키 공간을 가진 스페이스 X가 흩어져 있다.T자₁ 공간이 아닌 흩어져 있는 공간의 예다.
흩어진 집합의 폐쇄가 반드시 흩어지는 것은 아니다.예를 들어 유클리드 평면 ${\mathbb {R}}^{2}$ ${\mathbb {R}}^{2}$ ${\$ 2}} $개의$ 점들이 경계에 가까워질수록 밀도와 밀도가 높아지는 것으로 간주할 수 있는 무한 이산형 집합 A를 단위 ${\mathbb {R}}^{2}$ 디스크에 취한다.예를 들어, 반경이 1에 점점 가까워지는 원점을 중심으로 한 일련의 n-곤의 정점들의 조합을 취한다.그러면 A의 폐쇄는 스스로 밀집되어 있는 반경 1의 원 전체를 포함할 것이다.

위상학적 공간 X에서 밀도-인-자체 부분 집합의 폐쇄는 완벽한 집합이다.따라서 X는 비어 있지 않은 완벽한 세트를 포함하지 않는 경우에만 분산된다.
흩어진 공간의 모든 부분 집합이 흩어진다.흩어지는 것은 유전 재산이다.
흩어진 공간 X는 모두 T₀ 공간이다.(증거: X에서 y, 그 중 적어도 하나는 x $\{x,y\}$ $\{x,y\}$ ${\displaystyle \{x,y$ \}}}. $\{x,y\}$ 즉 X에 y가 $\{x,y\}$ 있지 않은 x의 근방이 있다는 뜻)
T공간에₀ 흩어진 두 세트의 조합이 흩어진다.^[3]^[4]여기서₀ T 가정이 필요하다는 점에 유의하십시오.예를 들어, $X=\{a,b\}$ = $X=\{a,b\}$ { $X=\{a,b\}$ , $X=\{a,b\}$ } $X=\{a,b\}$ {\ $displaystyle X=\{a,b\}}$ 이(가) 비분리된 토폴로지를 가진 $X=\{a,b\}$ 경우 $\{a\}$ $\{a\}$ {\ $displaystyle$ \{ $a\}$ 과 $\{a\}$ $(와$ ) { $\{b\}$ {\ $displaystystyle$ $\{$ b $X$ 이(가) 모두 흩어져 있지만 $\{b\}$ , 이들의 $X$ 인 X ${\$ dispoint)는 분리되지 않는다.
흩어진 T자₁ 하나하나가 완전히 단절되어 있다.

(proof: C가 X의 비어 있지 않은 연결 부분 집합인 경우, C에서 분리된 점 x를 포함한다.그래서 싱글톤

\{x\}

{

\{x\}

\{x\}

\{x\}

은(는) C로 열려 있고(x는 격리되어 있기 때문에) C로 닫혀 있다

\{x\}

(T₁ 속성 때문에).C가 연결되어 있기 때문에 {

\{x\}

\{x\}

\{x\

과(와) 같아야 한다

\{x\}

이는 X의 연결된 모든 구성요소가 단일점을 가지고 있음을 보여준다.)

(증거: 완벽한 + 산란 분해와 위의 두 번째 계산 가능한 산란 공간과 두 번째 계산 가능한 분산 공간의 부분 집합이 두 번째 계산 가능한 공간이라는 사실을 함께 사용하십시오.

더욱이, 두 번째 계수 가능한 X의 모든 닫힌 부분집합은 X의 완벽한 부분집합과 X의 분산된 부분집합으로 고유하게 쓰여질 수 있다.^[8]이것은 특히 칸토르-벤딕슨 정리의 내용물인 폴란드 어느 공간에서도 차지하고 있다.

엥겔킹, 리스자드, 제너럴 토폴로지, 헬더만 베를라크 베를린, 1989.ISBN 3-88538-006-4
Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978]. Counterexamples in Topology (Dover reprint of 1978 ed.). Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-486-68735-3. MR 0507446.
Willard, Stephen (2004) [1970], General Topology (Dover reprint of 1970 ed.), Addison-Wesley