뺄셈

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뺄셈은 컬렉션에서 개체를 제거하는 연산을 나타내는 산술 연산입니다.뺄셈은 마이너스 기호 -로 나타냅니다.예를 들어, 옆 그림에는 복숭아가 5 - 2개 있습니다. 즉, 복숭아는 5개이고 복숭아는 2개가 제거되어 총 3개가 됩니다.따라서 5와 2의 차이는 3입니다. 즉, 5 - 2 = 3입니다.뺄셈은 주로 산술에서 자연수와 관련이 있지만 음수, 분수, 무리수, 벡터, 소수, 함수,^[1] 행렬을 포함한 다른 종류의 객체를 사용하여 물리적이고 추상적인 양을 제거하거나 감소시키는 것을 나타낼 수도 있다.

뺄셈은 몇 가지 중요한 패턴을 따릅니다.순서를 바꾸면 답의 부호가 바뀝니다.이것은 또한 연관성이 없으며, 즉 한 사람이 두 개 이상의 숫자를 뺄 때, 뺄셈을 수행하는 순서가 중요하다는 것을 의미합니다.0은 가법 항등식이기 때문에 이를 빼도 숫자는 변경되지 않습니다.뺄셈은 덧셈과 곱셈과 같은 관련 연산에 관한 예측 가능한 규칙도 따릅니다.이 모든 규칙들은 정수의 뺄셈에서 시작하여 실수와 그 이상을 통해 일반화함으로써 증명될 수 있다.이러한 패턴을 따르는 일반 이항 연산은 추상 대수학에서 연구된다.

자연수에 대해 뺄셈을 수행하는 것은 가장 간단한 수치 작업 중 하나입니다.아주 작은 숫자의 뺄셈은 어린 아이들도 쉽게 할 수 있다.예를 들어 초등교육에서 학생들은 십진법에서 숫자를 빼는 법을 배웁니다. 한 자리 숫자부터 시작해서 점차적으로 더 어려운 문제를 해결합니다.

진보된 대수와 컴퓨터 대수학에서 식 A− B 같은 뺄셈이 연루된 일반적으로 추가에 속기 기호 A+(−B)으로 취급 받는다.따라서, A− B두 용어, 즉 A와 −B을 포함하고 있다.이 연대와 교환이 보다 쉴 수 있다.

표기법 및 용어

뺄셈은 보통 용어 사이에 마이너스 기호 "-"를 사용하여 씁니다. 즉, 인픽스 표기법입니다.결과는 등호로 표시됩니다.예를들면,

${\displaystyle 2}$- ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle =}$({$displaystyle 2-1=1})('$2 - 1 = 1'로 발음)

${\displaystyle 4}$- ${\displaystyle 2}$ $=$ ('4 - 2 = 2'로$발음)$

${\displaystyle 6}$- ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle =}$ (\$displaystyle$6 - 3 $= 3$ $$) ("6 빼기 3 = 3"으로 발음)

${\displaystyle 4}$- ${\displaystyle 6}$ $=$ -$$ ('4 - 6 = - 2'로$발음)$

또한 기호가 표시되지 않더라도 감산이 "이해"되는 상황도 있습니다.

• 작은 숫자가 빨간색으로 표시된 두 개의 숫자 열은 일반적으로 열에서 작은 숫자를 빼야 하며, 그 차이는 한 줄 아래에 기록되어야 함을 나타냅니다.이것은 회계에서 가장 일반적입니다.

공식적으로 감산되는 숫자는 서브헨드라고 ^[2][3]불리며, 감산되는 숫자는 ^[2][3]미니엔드라고 불립니다.결과는 ^[2][3][1][4]차이입니다.그것은,

${\displaystyle \mathrm{mi}}$ ${\displaystyle \mathrm{n}}$ ${\displaystyle \mathrm{u}}$ e ${\displaystyle \mathrm{n}d\mathrm{}}$ - s ${\displaystyle \mathrm{b}}$ ${\displaystyle \mathrm{t}}$ ${\displaystyle \mathrm{r}}$ ${\displaystyle \mathrm{a}}$ ${\displaystyle \mathrm{h}}$ ${\displaystyle \mathrm{e}}$ n ${\displaystyle \mathrm{d}}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle \mathrm{di}}$ ${\displaystyle \mathrm{f}}$ ${\displaystyle \mathrm{e}}$ ${\displaystyle \mathrm{r}}$ ${\displaystyle \mathrm{e}}$ n ${\displaystyle \mathrm{c}}$ $e$ \$displaystyle${ $minuend$} - { \$rm${ minuend } =$rm$ { rm { $minrahend }}$= $displayrm$ { displayrm } }

이 모든 용어는 라틴어에서 유래했습니다.Subtraction은 라틴어 동사 하위 계층에서 파생된 영어 단어이며, 하위 계층인 from under와 trahere to pull의 합성어이다.그래서 뺄셈은 밑에서 뽑거나 ^[5]빼는 것이다.동사 접미사 -nd를 사용하면 "subtrahend", "뺄셈"^[a]이 됩니다.마찬가지로 "감소하다"에서 "감소하다"를 뜻하는 "소요하다"를 얻는다.

정수 및 실수를 중.

Integers

왼쪽 끝에는 a, 오른쪽 끝에는 c라는 레이블이 붙은 길이 b의 선분을 상상해 보십시오.a에서 c에 도달하려면 오른쪽으로 b스텝이 필요합니다.이 오른쪽 이동은 수학적으로 다음과 같이 모델링됩니다.

a + b = c.

c에서 왼쪽으로 b스텝 가면 a로 돌아갑니다.왼쪽으로의 이 이동은 감산 방식으로 모델링됩니다.

c - b = a.

다음으로 1, 2, 3이라는 숫자가 붙은 선분입니다.위치 3에서 왼쪽으로 이동하지 않고 3을 유지하므로 3 - 0 = 3입니다.위치 1에 도달하려면 왼쪽으로 2단계 걸어야 하므로 3 - 2 = 1입니다.이 사진은 3번 위치의 왼쪽으로 3단계 간 후에 무슨 일이 일어날지 설명하기에 불충분합니다.이러한 연산을 나타내려면 회선을 연장해야 합니다.

임의의 자연수를 빼려면 모든 자연수(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...)를 포함하는 선으로 시작합니다.3에서 왼쪽으로 3단계 걸으면 0이 되므로 3 - 3 = 0이 됩니다. 그러나 3 - 4는 다시 선을 벗어나므로 여전히 유효하지 않습니다.자연수는 뺄셈에 유용한 맥락이 아니다.

해결책은 정수선(..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...)을 고려하는 것입니다.이렇게 하면 3단계에서 왼쪽으로 4단계 걸으면 -1단계까지 갈 수 있습니다.

3 - 4 = - 1 。

자연 번호

자연수의 뺄셈은 닫히지 않습니다.minuend가 subrahend보다 크거나 같지 않으면 차이가 자연수가 아닙니다.예를 들어, 11에서 26을 빼서 자연수를 줄 수 없습니다.이러한 경우 다음 두 가지 방법 중 하나를 사용합니다.

1. 11에서 26을 뺄 수 없다고 결론짓습니다. 뺄셈은 부분 함수가 됩니다.
2. 11에서 26을 빼면 -15가 됩니다.

진정한 숫자

실수 필드는 덧셈 및 곱셈 역수를 산출하는 단항 연산과 덧셈 및 곱셈의 두 가지 이진 연산만 지정하도록 정의할 수 있습니다.다른 수(미분)에서 실수(미분)를 뺀 것은 미분 및 미분(미분)의 덧셈 역수를 더한 것으로 정의할 수 있다.예를 들어, 3 - π = 3 + (-199)입니다.또는 이러한 단항 연산을 요구하는 대신, 뺄셈과 나눗셈의 이진 연산을 기본으로 삼을 수 있다.

특성.

Anti-commutativity

뺄셈은 반가환법으로, 왼쪽에서 오른쪽으로의 차이에 있는 항을 반대로 하면 결과가 원래 결과의 음수가 됩니다.상징적으로 a와 b가 두 개의 숫자라면

a - b = -(b - a).

Non-associativity

뺄셈은 비관련성이며 반복 뺄셈을 정의하려고 할 때 발생합니다.일반적으로 표현은

"a − b − c"

는 (a - b) - c 또는 a - (b - c) 중 하나를 의미한다고 정의할 수 있지만, 이 두 가지 가능성은 다른 답을 낳습니다.이 문제를 해결하려면 작업 순서를 설정해야 합니다.순서에 따라 결과가 달라집니다.

전신

정수의 맥락에서 1을 빼는 것도 특별한 역할을 합니다. 임의의 정수 a에 대해 정수(a - 1)는 a보다 작은 최대 정수이며 a의 이전 정수라고도 합니다.

측정의 단위

킬로그램이나 파운드와 같은 측정 단위를 사용하여 두 숫자를 뺄 때는 동일한 단위를 가져야 합니다.대부분의 경우 차이의 단위는 원래 숫자와 동일합니다.

Percentages

백분율 변경은 백분율 변경과 백분율 포인트 변경의 두 가지 이상의 형식으로 보고할 수 있습니다.백분율 변화는 두 수량의 상대적 변화를 백분율로 나타내며 백분율 점 변화는 단순히 두 백분율을 뺀 ^[6][7][8]값입니다.

예를 들어 공장에서 제조된 위젯의 30%가 불량이라고 가정합니다.6개월 후 위젯의 20%가 불량입니다.퍼센티지 변화율입니다.20% - 30%/30% = -1/3 = -33+1/3%이며 백분율 점 변화는 -10% 포인트입니다.

계산에서는

보법은 양의 덧셈만을 사용하여 하나의 숫자를 다른 숫자에서 빼는 기술이다.이 방법은 기계식 계산기에 일반적으로 사용되었으며, 오늘날에도 여전히 사용되고 있습니다.

바이너리 숫자	한 사람의 보충하다
0	1
1	0

다른 숫자 x(최소값)에서 2진수 y(하위값)를 빼려면 1의 y 보완값을 x에 더하고 1을 합계에 더합니다.결과의 선두 자리수 「1」은 파기됩니다.

2진법(기수 2)에서는 특히 유용합니다. 왜냐하면 1의 보수는 각 비트를 반전시키면 매우 쉽게 얻을 수 있기 때문입니다('0'을 '1'로 변경).그리고 1을 더해서 두 개의 보완을 얻으려면 캐리어를 최하위 비트로 시뮬레이션해야 합니다.예를 들어 다음과 같습니다.

01100100(x, 10진수 100) - 00010110(y, 10진수 22)

합계가 됩니다.

01100100 (x) + 11101001 (y의 1의 곱) + 1 (2의 곱을 구함) ——————————— 101001110

첫 번째 "1"을 놓으면 답이 01001110(10진수 78과 동일)입니다.

뺄셈의 학교에서의 가르침.

초등학교에서 뺄셈을 가르치는 방법은 나라마다 다르며, 국가 내에서는 다른 시기에 다른 방법을 채택하고 있다.미국에서는 전통적인 수학으로 알려져 있는데, 특정 과정은 1학년 말(또는 2학년 동안)에 학생들에게 여러 자리 정수에서 사용할 수 있도록 가르치고, 4학년 또는 5학년 때 소수점 표현을 포함하도록 확장된다.

미국에서는

현재 거의 모든 미국 학교에서는 차용 또는 재결성을 이용한 뺄셈 방법(분해 알고리즘)과 ^[9][10]목발이라고 불리는 표시 시스템을 가르치고 있습니다.빌리는 방법은 이전에도 알려져 교과서에 발표되었지만, 미국 학교에서 목발을 사용하는 것은 윌리엄 A 이후로 확산되었다. Brownell은 목발이 이 ^[11]방법을 사용하는 학생들에게 유익하다고 주장하는 연구를 발표했습니다.이 제도는 빠르게 유행하여 당시 미국에서 사용되던 다른 감산 방법을 대체했다.

유럽에서는

몇몇 유럽 학교들은 덧셈법으로도 알려진 오스트리아식이라고 불리는 감산법을 사용한다.이 방법에는 차입이 없습니다.국가에 ^[12][13]따라 다른 목발(기억력을 돕는 표시)도 있다.

두 가지 주요 방법 비교

두 방법 모두 뺄셈을 자리 값별로 한 자리 뺄셈 프로세스로 나눕니다.최소 유효 자릿수부터 시작하여 서브헨드를 뺍니다.

s_jj−1...s₁

처음부터

m_kk−1 m... m₁,

여기서_i 각 s와_i m은 숫자이며, s가 m을_1i 초과하지 않는_i 한 m - s₂, m - s 등을₂ 적습니다₁.그렇지_i 않으면 m이 10씩 증가하고 다른 숫자가 수정되어 이 증가를 수정합니다.미국식 방법은 minuend digit_i+1 m을 1개 줄임으로써 수정됩니다(또는 빌리는 0이 아닌 디지트가 있을 때까지 왼쪽으로 계속됩니다).유럽식 방법에서는 서브헨드 디짓s를_i+1 1씩 증가시켜 수정합니다.

예: 704 - 512.

$\ display style \ begin { rrr } & \ color { red }-1 \ \ & C&D &U\\&7&0&4\&5&1&2\hline &1&2\\end{array}{\begin{array}{l}{\color {Red}\long left arrow \;{\rm {Minuend}\\\\\\\\\long left arrow {\rw}\rm}\rw {\rm}\rm}\rm {\rm}\rm}\rm {\rm} \rm} \rw\\\\\rm}$

최소값은 704, 하위값은 512입니다.최소 자릿수는 m₂ = 7, m = 0 및 m₁ = 4입니다₃.하위 자릿수는 s₃ = 5, s₂ = 1₁ 및 s = 2입니다. 1 자리부터 시작하면 4는 2 이상이므로 결과 자리에는 차이 2가 기록됩니다.10의 자리에서는 0이 1보다 작기 때문에 0은 10만큼 증가하고 1과의 차이인 9가 10의 자리에 기록됩니다.미국식 방법은 소수점 수백 자리 숫자를 1자리씩 줄임으로써 10자리 증가를 보정합니다.즉, 7은 관통되어 6으로 대체됩니다.그 다음 뺄셈은 6이 5보다 작지 않은 수백 자리까지 진행되므로, 그 차이는 결과의 100 자리까지 기록됩니다.이제 다 끝났고 결과는 192입니다.

오스트리아 방식으로는 7을 6으로 줄이지 않습니다.오히려 100자릿수를 1자리씩 늘립니다.(학교에 따라) 이 숫자 근처 또는 아래에 작은 마크가 표시됩니다.그리고 1을 더하고 5를 더하면 7이 되는 숫자가 몇 개인지 물어보는 방식으로 뺄셈이 진행됩니다.정답은 1이고, 결과 100의 자리에 적습니다.

학생이 항상 미국식 방법에서 정신적 감산표를 사용한다는 점에서 추가적인 미묘함이 있다.오스트리아 방식은 종종 학생들이 덧셈표를 거꾸로 사용하도록 권장한다.위의 예에서는 1과 5를 더하고 6을 얻고 7에서 빼는 대신, 학생은 1과 5를 더하면 7이 되는 숫자를 고려하도록 요구됩니다.

손으로 뺄셈

오스트리아법

예제:

• 

  1 + ... = 3

• 

  그 차이는 행 밑에 쓰여 있다.

• 

  9 + ... = 5
  필요한 합계(5)가 너무 작습니다.

• 

  여기에 10을 더하고 다음으로 높은 부분 아래에 1을 붙입니다.

• 

  9 + ... = 15
  이제 이전과 같은 차이를 찾을 수 있습니다.

• 

  (4 + 1) + ...= 7

• 

  그 차이는 행 밑에 쓰여 있다.

• 

  총차이.

왼쪽에서 오른쪽으로 빼기

예제:

• 

  7 − 4 = 3
  이 결과는 연필로만 표시됩니다.

• 

  Minuend의 다음 자리가 하위 자릿수보다 작기 때문에 연필로 그린 숫자에서 하나를 빼고 다음 숫자에 10을 더합니다.

• 

  15 − 9 = 6

• 

  minuend의 다음 숫자는 subrahend보다 작지 않기 때문에 이 숫자를 유지합니다.

• 

  3 − 1 = 2

미국식

이 방법에서는 오른쪽에서 왼쪽으로 시작하는 그 위의 숫자에서 서브헨드의 각 숫자를 감산한다.맨 위 숫자가 너무 작아서 맨 아래 숫자를 빼지 못할 경우 10을 더합니다. 이 10은 맨 위 자리부터 왼쪽으로 "빌린" 숫자입니다. 여기서 1을 뺍니다.그런 다음 다음 모든 숫자를 뺄 때까지 다음 숫자를 빼고 필요에 따라 빌립니다.예제:

• 

  3 − 1 = ...

• 

  우리는 줄 아래에 차분을 쓴다.

• 

  5 − 9 = ...
  최소값(5)이 너무 작습니다!

• 

  그래서 여기에 10을 더합니다.10은 왼쪽 숫자에서 "빌린" 것으로, 1만큼 내려갑니다.

• 

  15 − 9 = ...
  이제 뺄셈이 작동하고, 우리는 그 차이를 선 아래에 씁니다.

• 

  6 − 4 = ...

• 

  우리는 줄 아래에 차분을 쓴다.

• 

  총차이.

무역 제일주의

모든 차입이 모든 ^[14]차감 전에 이루어지는 미국 방식의 변형입니다.

예제:

• 

  1 - 3 = 불가능합니다.
  1에 10을 더합니다.10은 가까운 5에서 "빌린" 것이므로 5는 1만큼 낮아집니다.

• 

  4 - 9 = 불가능합니다.
  1단계와 같이 진행하겠습니다.

• 

  오른쪽에서 왼쪽으로 작업:
  11 − 3 = 8

• 

  14 − 9 = 5

• 

  6 − 4 = 2

부분적인 차이

부분차이법은 차입이나 반출이 발생하지 않기 때문에 다른 수직감산법과 다르다.대신, 최소값이 하위 항목보다 큰지 작은지에 따라 더하기 또는 빼기 기호를 사용합니다.부분 차이의 합은 총 ^[15]차이입니다.

예제:

• 

  작은 숫자는 큰 숫자에서 뺍니다.
  700 − 400 = 300
  minuend가 subrahend보다 크기 때문에 이 차이는 플러스 기호가 붙습니다.

• 

  작은 숫자는 큰 숫자에서 뺍니다.
  90 − 50 = 40
  minuend가 subrahend보다 작기 때문에 이 차이는 마이너스 기호가 붙습니다.

• 

  작은 숫자는 큰 숫자에서 뺍니다.
  3 − 1 = 2
  minuend가 subrahend보다 크기 때문에 이 차이는 플러스 기호가 붙습니다.

• 

  +300 − 40 + 2 = 262

비수직적 방식

카운트업

디지트 단위로 차이를 찾는 대신 서브헨드와 미니엔드 사이의 숫자를 ^[16]셀 수 있습니다.

예: 1234 - 567 =는 다음 단계를 통해 찾을 수 있습니다.

• 567 + 3 = 570
• 570 + 30 = 600
• 600 + 400 = 1000
• 1000 + 234 = 1234

각 단계의 값을 더하면 총 차이가 3 + 30 + 400 + 234 = 667입니다.

뺄셈을 분해

암산에 유용한 또 다른 방법은 뺄셈을 작은 ^[17]단계로 나누는 것이다.

예: 1234 - 567 =는 다음과 같은 방법으로 해결할 수 있습니다.

• 1234 - 500 = 734
• 734 - 60 = 674
• 674 - 7 = 667

같은 변경

같은 변경방법에서는 minuend 및 subrahend에서 같은 숫자를 더하거나 빼도 답이 변경되지 않는다는 사실을 사용합니다.1은 단순히 서브헨드에서 ^[18]0을 얻는 데 필요한 양을 더하는 것입니다.

예제:

"1234 - 567 ="는 다음과 같이 해결할 수 있습니다.

• 1234 − 567 = 1237 − 570 = 1267 − 600 = 667

「 」를 참조해 주세요.

• 감소
• 기초 산술
• 보완 방법
• 음수
• 플러스 기호와 마이너스 기호

메모들

레퍼런스

참고 문헌

• 브로우넬, W.A. (1939년)재구성을 통한 학습:3학년 산수의 실험 연구, 듀크 대학 출판부.
• 미국에서의 감산:A Historical Perspective, Susan Ross, Mary Pratt-Cotter, The Mathematic Educator, 제8권, 제1호(원간) 및 제10권, 제1호(재인쇄) PDF

외부 링크

• "Subtraction", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• 인쇄 가능 워크시트: 감산 워크시트, 한 자리 감산, 두 자리 감산, 네 자리 감산 및 기타 감산 워크시트
• 뺄셈 게임(컷 더 노)
• 주판 중에서 선택한 일본 주판의 감산: 구슬의 신비